Đề thi giữa kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có đáp án) - Đề 06

Đáp án đúng là: C

Từ đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( { - 1;\,1} \right)$; nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: D

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = - 1$ (đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua điểm này).

Đáp án đúng là: B

Xét đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {0;\,2} \right]$ như hình vẽ: Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại $x = 0$; $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 2$.

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị trên, ta thấy: Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 1$, tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$.

Đáp án đúng là: D

Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b$ và hai số thực $h,\,k$, ta có:

+) $k\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a + k\overrightarrow b$; $k\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a - k\overrightarrow b$;

+) $\left( {h + k} \right)\overrightarrow a = h\overrightarrow a + k\overrightarrow a$;

+) $h\left( {k\overrightarrow a } \right) = \left( {hk} \right)\overrightarrow a$.

Vậy khẳng định ở đáp án D sai.

Đáp án đúng là: A

Với $M\left( {3; - 4;2} \right)$ thì $\overrightarrow {OM} = \left( {3; - 4;2} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow u = 4\overrightarrow i - \overrightarrow j + 6\overrightarrow k = 4\overrightarrow i + \left( { - 1} \right)\overrightarrow j + 6\overrightarrow k$.

Suy ra $\overrightarrow u = \left( {4; - 1;6} \right)$.

Đáp án đúng là: B

TXĐ của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Ta có: $y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$; $y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ hoặc $x = 3$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$, giá trị cực đại ; đạt cực tiểu tại $x = 3$, giá trị cực tiểu ${y_{CT}} = 6$.

Đáp án đúng là: A

Tập xác định của hàm số là $\left( {0; + \infty } \right)$. Do đó, hàm số $y = x\ln x$ liên tục và xác định trên đoạn $\left[ {1;\,\,e} \right]$.

Ta có: $y' = \ln x + 1$. Trên khoảng $\left( {0;e} \right)$, không tồn tại giá trị của $x$ để $y' = 0$.

Có $y\left( 1 \right) = 0;\,\,y\left( e \right) = e$.

Từ đó suy ra $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\,e} \right]} y = y\left( 1 \right) = 0$.

Đáp án đúng là: B

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

Ta có: $y = \frac{{2{x^2} - 9x + 3}}{{x + 1}} = 2x - 11 + \frac{8}{{x + 1}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {2x - 11} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{8}{{x + 1}} = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {2x - 11} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{8}{{x + 1}} = 0$.

Vậy đường thẳng $y = 2x - 11$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có:

+ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 1$ nên ta loại phương án C.

+ Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng đi xuống từ trái qua phải nên $a,\,m$ trái dấu. Vậy phương án đúng là A.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 2 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 5$.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S.

Hướng dẫn giải

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:

– Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( { - 1;\,0} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$; nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$. Vậy ý a) đúng.

– Hàm số đã cho có $3$ điểm cực trị: $x = - 1$ (điểm cực tiểu), $x = 0$ (điểm cực đại) và $x = 1$ (điểm cực tiểu). Do đó, ý b) đúng.

– Trên đoạn $\left[ { - 1;\,1} \right]$, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = 0$, $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;\,1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 3$. Do đó, ý c) đúng.

– Ta có $f\left( x \right) + 3 = 0$$\Leftrightarrow f\left( x \right) = - 3$.

Đường thẳng $y = - 3$ và đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ không cắt nhau nên phương trình $f\left( x \right) = - 3$ không có nghiệm, tức là phương trình $f\left( x \right) + 3 = 0$ vô nghiệm.

Vậy ý d) sai.

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}$.

– Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

– Ta có $y' = \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$; $y' > 0$ với mọi $x \ne - 1$.

– Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$. Do đó, ý a) sai.

– Hàm số đã cho không có cực trị. Do đó, ý b) sai.

– Tiệm cận:

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 3}}{{x + 1}} = 1;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 3}}{{x + 1}} = 1$. Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng $y = 1$.

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{x - 3}}{{x + 1}} = - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{x - 3}}{{x + 1}} = + \infty$. Do đó, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng $x = - 1$.

Vậy ý c) đúng.

– Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = x + 2m\,\,\left( d \right)$ và đồ thị hàm số $y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right)$ là: $\frac{{x - 3}}{{x + 1}} = x + 2m$$\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2m} \right) = x - 3$$\Leftrightarrow {x^2} + 2mx + 2m + 3 = 0$.

Xét hàm số $g\left( x \right) = {x^2} + 2mx + 2m + 3$.

$\left( d \right)$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi phương trình $g\left( x \right) = 0$ có hai nghiệm ${x_1};\,{x_2}$ khác $- 1$ và ${x_1}{x_2} < 0$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\g\left( { - 1} \right) \ne 0\end{array}\\{\frac{c}{a} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m - 3 > 0\\1 - 2m + 2m + 3 \ne 0\\2m + 3 < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 3\end{array} \right.\\m < - \frac{3}{2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow m < - \frac{3}{2}$.

Vì $m \in \mathbb{Z},\,\,m \in \left[ { - 2\,024;\,2\,024} \right]$ nên $m \in \left\{ { - 2\,024;\, - 2\,023;\,...; - 2} \right\}$.

Vậy có $2\,023$ giá trị của $m$ thỏa mãn.

Do đó, ý d) đúng.

a) Đ, b) S, c) S, d) S.

Hướng dẫn giải

– Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SC}$. Do đó, ý a) đúng.

– Ta có $\left| {\overrightarrow {SA} } \right| = SA = 1;\,\,\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = 1;\,\,\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = \sqrt 2$. Do đó, ý b) sai.

– Từ giả thiết, ta thấy tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và tam giác $SAB$ đều.

Do đó, $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0$ và $\left( {\overrightarrow {SA} ,\,\overrightarrow {AB} } \right) = 180^\circ - \widehat {SAB} = 120^\circ$.

Ta có: $\overrightarrow {SC} \cdot \overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB}$

$= \overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {AB} = \left| {\overrightarrow {SA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos 120^\circ = - \frac{1}{2}$.

Do đó, ý c) sai.

– Ta có: $\cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SC} \cdot \,\overrightarrow {AB} }}{{\left| {\overrightarrow {SC} } \right| \cdot \,\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{{1 \cdot 1}} = - \frac{1}{2}$. Vậy ý d) sai.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Ta có: $\overrightarrow {A'D'} = \left( {1 - 1; - 1 - 0;1 - 1} \right) = \left( {0; - 1;0} \right)$. Do đó, ý a) đúng.

– Gọi tọa độ của điểm $B$ là $\left( {{x_B};\,{y_B};{z_B}} \right)$, ta có tọa độ của vectơ $\overrightarrow {BC}$ là:

$\left( {3 - {x_B};5 - {y_B}; - 5 - {z_B}} \right)$.

Do đó, ý b) sai.

– Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {A'D'}$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}3 - {x_B} = 0\\5 - {y_B} = - 1\\ - 5 - {z_B} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 3\\{y_B} = 6\\{z_B} = - 5\end{array} \right.$. Vậy $B\left( {3;6; - 5} \right)$. Do đó, ý c) đúng.

– Ta có: $\overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {BB'}$. Khi đó, theo quy tắc hình hộp, ta có:

$\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DD'}$$= \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD'}$.

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow {BD'}$ là $\left( { - 2;\, - 7;6} \right)$.

Vậy tọa độ của vectơ tổng $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DD'}$ là $\left( { - 2;\, - 7;6} \right)$. Do đó, ý d) đúng.

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: $y' = 3{x^2} - 6x + m + 1$.

Hàm số đã cho có hai điểm cực trị khi $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt, tức là ${\Delta _{y'}} > 0$

$\Leftrightarrow {\left( { - 3} \right)^2} - 3\left( {m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow 6 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 2$.

Vì $m \in \mathbb{Z},\,m > 0$ nên $m = 1$. Vậy có 1 giá trị của $m$ thỏa mãn.

Đáp số: $1$.

Xét hàm số $f\left( t \right) = - {t^3} + 30{t^2} + 1\,000$ với $0 \le t \le 30$.

Ta có $f'\left( t \right) = - 3{t^2} + 60t$.

Trên khoảng $\left( {0;30} \right)$, $f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 20$.

$f\left( 0 \right) = 1\,000;\,f\left( {20} \right) = 5\,000;\,f\left( {30} \right) = 1\,000$.

Suy ra $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;30} \right]} f\left( t \right) = 5\,000$ tại $t = 20$.

Vậy sau $20$ phút thì số vi khuẩn lớn nhất.

Đáp số: $20$.

Ta có: $\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DF}$$= - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {DC}$

$= - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)$

$= \left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right) + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}$

$= \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}$.

Khi đó, $\frac{a}{b} = \frac{1}{3};\,\,\frac{c}{d} = \frac{1}{3};\,\,\frac{r}{s} = \frac{2}{3}$.

Do đó, $M = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{r}{s}$$= \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$. Suy ra $x = 4;y = 3$.

Vậy $P = x + y = 4 + 3 = 7$.

Đáp số: $7$.

Đặt $\overrightarrow F = \left( {x;y;z} \right)$, ta có:

$x = 200 \cdot \cos 60^\circ \cdot \cos 45^\circ = 50\sqrt 2$;

$y = - 200 \cdot \cos 60^\circ \cdot \cos 45^\circ = - 50\sqrt 2$;

$z = 200 \cdot \sin 60^\circ = 100\sqrt 3$.

Do đó, $\overrightarrow F = \left( {50\sqrt 2 ; - 50\sqrt 2 ;100\sqrt 3 } \right)$.

Suy ra $a = 50,b = 50,c = 100$. Vậy $K = a - 2b + c = 50 - 2 \cdot 50 + 100 = 50$.

Đáp số: $50$.

Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là $x$ (nghìn đồng, $x > 0$).

Vì cứ tăng giá thêm $1\,$ nghìn đồng thì số khăn bán ra mỗi tháng sẽ ít hơn $100$ chiếc nên tăng $x$ nghìn đồng thì số khăn bán ra giảm $100x$ chiếc.

Do đó, tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: $3\,000 - 100x$ (chiếc).

Lúc đầu bán với giá $30$ nghìn đồng, mỗi chiếc khăn có lãi $12$ nghìn đồng. Sau khi tăng giá, mỗi chiếc khăn thu được số lãi là: $12 + x$ (nghìn đồng).

Khi đó, lợi nhuận một tháng thu được sau khi tăng giá là:

$L\left( x \right) = \left( {3\,000 - 100x} \right)\left( {12 + x} \right)$$= - 100{x^2} + 1\,800x + 36\,000$ (nghìn đồng).

Xét hàm số $L\left( x \right) = - 100{x^2} + 1\,800x + 36\,000$ với $x \in \left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có: $L'\left( x \right) = - 200x + 1\,800$. Trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$, $L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 9$.

Bảng biến thiên của hàm số $L\left( x \right)$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy: trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$, hàm số $L\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = 9$.

Như vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất phải tăng giá bán mỗi chiếc khăn lên $9$ nghìn đồng, tức là giá bán mới của mỗi chiếc khăn là $39$ nghìn đồng.

Đáp số: $39$.

Gọi $O$ là tâm của đáy $ABCD$.

Vì $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$, $SA = SB = SC = SD$ và $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.

Ta có: $\widehat {ASC} = 60^\circ$, suy ra $\widehat {ASO} = 30^\circ$.

Hợp lực của bốn sợi xích là:

$\overrightarrow F = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = \left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} } \right) + \left( {\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} } \right)$$= 2\overrightarrow {SO} + 2\overrightarrow {SO} = 4\overrightarrow {SO}$.

Để đèn chùm đứng yên thì hợp lực của các sợi xích phải cân bằng với trọng lực $\overrightarrow P$, điều đó có nghĩa là $4\overrightarrow {SO} = \overrightarrow P$, suy ra $4\left| {\overrightarrow {SO} } \right| = \left| {\overrightarrow P } \right|$, hay $SO = \frac{P}{4}$.

Độ lớn của trọng lực tác động lên đèn chùm là: $P = mg = 3 \cdot 9{,}8 = 29{,}4$ (N).

Do đó, $SO = \frac{{29{,}4}}{4} = 7{,}35$.

Ta có: $SA = \frac{{SO}}{{\cos \widehat {ASO}}} = \frac{{7{,}35}}{{\cos 30^\circ }} = \frac{{49\sqrt 3 }}{{10}} \approx 8{,}5$.

Vậy độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng khoảng 8,5 N.

Đáp số: $8{,}5$.