Đề thi giữa kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có đáp án) - Đề 02

Đáp án đúng là: C

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng $\left( {0;\,2} \right)$, $f'\left( x \right) < 0$, do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng này.

Đáp án đúng là: D

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm $x = 1$ và đạt cực đại tại điểm $x = - 1$.

Đáp án đúng là: B

Căn cứ vào đồ thị hàm số trên, ta thấy $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;\,0} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = - 4$.

Đáp án đúng là: A

Quan sát hình vẽ, ta thấy:

+ Đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

+ Đường thẳng $y = - 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Đáp án đúng là: B

Từ đồ thị đã cho, ta thấy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {0; - 1} \right)$. Do đó, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng $y = - x - 1$.

Đáp án đúng là: D

Đồ thị hàm số đã cho nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

Giao điểm này có tọa độ là $\left( {1;\, - 1} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Theo lý thuyết, ta có: với hai vectơ $\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b$ bất kì và số thực $k$, ta có $k\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a - k\overrightarrow b$.

Đáp án đúng là: B

+ Tập xác định của hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{2 - x}}$ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$ nên hàm số này không thể nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

+ Hàm số $y = - {x^3} - 3x + 2024$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Ta có $y' = - 3{x^2} - 3 = - 3\left( {{x^2} + 1} \right) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Do đó, hàm số này nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy chọn đáp án B.

+ Tương tự, ta chứng minh được hai hàm số ở các phương án C và D không nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $y' = 3\left( {x - 3} \right) \cdot {e^x} + {\left( {x - 3} \right)^2} \cdot {e^x} = {e^x} \cdot \left( {x - 3} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)$.

Khi đó, trên khoảng $\left( {2;\,\,4} \right)$, $y' = 0$ khi $x = 3$.

$y\left( 2 \right) = {e^2};\,\,y\left( 3 \right) = 0;\,\,y\left( 4 \right) = {e^4}$.

Từ đó suy ra $\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;\,4} \right]} y = y\left( 4 \right) = {e^4}$.

Đáp án đúng là: D

Từ bảng biến thiên, ta thấy:

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = + \infty$, do đó đường thẳng $x = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho;

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2$, do đó đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Trong các hàm số đã cho ở các phương án, chỉ hàm số ở phương án D thỏa mãn.

Đáp án đúng là: B

Do đồ thị có tiệm cận đứng là $x = 2$ nên $d < 0.$

Giao điểm của đồ thị và trục tung có tung độ $\frac{c}{d} < 0 \Rightarrow c > 0.$

Hệ số góc của tiệm cận xiên là $a.$ Mặt khác, từ hình vẽ hệ số góc của tiệm cận xiên là dương nên $a > 0.$

Lại có $y' = \frac{{a{x^2} + 2adx + bd - c}}{{{{\left( {x + d} \right)}^2}}}$ và hai điểm cực trị của hàm số có giá trị dương.

Suy ra ${x_1}{x_2} = \frac{{bd - c}}{a} > 0 \Rightarrow bd - c > 0 \Rightarrow bd > c \Rightarrow b < 0$.

Vậy có 2 số có giá trị dương trong các số $a,b,c,d$.

Đáp án đúng là: C

Vì $ABCD$ là tứ diện đều cạnh $a$ nên $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$.

Do đó, $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right)$

$= \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC}$$= a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2}{a^2}$.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Quan sát bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng $\left( {0;1} \right)$ và $\left( {3;\, + \infty } \right)$, do đó ý a) sai.

– Ta có $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ “–” sang “+” tại các điểm $x = 0$, $x = 3$ và đổi dấu từ “+” sang “–” tại điểm $x = 1$. Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị nên ý b) đúng.

– Hàm số $y = f\left( x \right)$ có giá trị nhỏ nhất bằng $0$ tại $x = 0$ và $x = 3$ nên ý c) đúng.

– Hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = + \infty$ nên đồ thị hàm số này không có đường tiệm cận. Vậy ý d) đúng.

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $y = {e^x} - x + 3$.

– Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

– Ta có $y' = {e^x} - 1$; $y' = 0$ khi $x = 0$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

– Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$. Do đó, ý a) sai.

– Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x = 0$ và không có cực đại. Do đó, ý b) sai.

– Với $x = 0$, ta có $y = {e^0} - 0 + 3 = 4$ nên đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left( {0;4} \right)$.

Từ đó suy ra đồ thị hàm số đã cho không đi qua gốc tọa độ.

Vậy ý c) và ý d) đúng.

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên các mặt của hình hộp này là hình bình hành.

Do đó, $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {A'D'}$. Vậy ý a) đúng.

– Ta có $\overrightarrow {DB} = - \overrightarrow {BD}$ và $\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {D'B'} = - \overrightarrow {B'D'}$.

Vậy các vectơ đối của vectơ $\overrightarrow {DB}$ là $\overrightarrow {BD} ,\,\,\overrightarrow {B'D'}$. Do đó ý b) sai.

– Vì $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {D'C'}$ nên $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {D'C'} + \overrightarrow {D'C'} = 2\overrightarrow {D'C'}$.

Vậy ý c) sai.

– Ta có $\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AA'} ,\,\,\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {C'A'}$. Suy ra $\overrightarrow {BB'} - \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {C'A'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AC'}$.

Vậy ý d) đúng.

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Theo quy tắc ba điểm, ta có:

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD}$$= \overrightarrow {AD} + \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} } \right) = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB}$.

Vậy ý a) đúng.

– Do $AB,\,AC,\,AD$ đôi một vuông góc nên ta có:

$\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} = 0$.

Vậy ý) b sai.

– Vì $AB = 1$ nên ${\overrightarrow {AB} ^2} = 1$.

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên ta có:

$\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)$

$= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} - {{\overrightarrow {AB} }^2} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} } \right)$

$= \frac{1}{2}\left( {0 - 1 + 0 - 0} \right) = - \frac{1}{2}$.

Vậy ý c) sai.

– Ta tính được $AM = \frac{{\sqrt 2 }}{2},\,\,BD = \sqrt 2$, suy ra

$\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BD} }}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BD} } \right|}} = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \sqrt 2 }} = - \frac{1}{2}$.

Vậy $\left( {\overrightarrow {AM} ,\,\,\overrightarrow {BD} } \right) = 120^\circ$. Do đó, ý d) đúng.

Ta có $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x + 9$; $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ và đạt cực tiểu tại $x = 3$ nên suy ra $a = 1,\,\,b = 3$.

Khi đó, $M = 2a - 3b = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 3 = - 7$.

Đáp số: $- 7$.

Ta có $y' = {e^{x + 2}} + 5 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Do đó, hàm số $y = {e^{x + 2}} + 5x - m$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên hàm số này cũng đồng biến trên $\left[ {0;\,\,3} \right]$. Suy ra $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,3} \right]} y = y\left( 3 \right) = {e^{3 + 2}} + 5 \cdot 3 - m = {e^5} + 15 - m$.

Theo bài ra: $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,3} \right]} y = y\left( 3 \right) = {e^5} \Leftrightarrow {e^5} + 15 - m = {e^5} \Leftrightarrow m = 15$.

Đáp số: $15$.

Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $A'D'$ và $C'D'$ nên ta suy ra $MN\,{\rm{//}}\,A'C'$.

Do đó, $\left( {\overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {A'B} } \right) = \left( {\overrightarrow {A'C'} ,\,\overrightarrow {A'B} } \right) = \widehat {C'A'B}$.

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên tam giác $C'A'B$ là tam giác đều.

Suy ra $\widehat {C'A'B} = 60^\circ$. Vậy $\varphi = 60^\circ$.

Đáp số: $60$.

Ta mô hình hóa bài toán đã cho như hình trên với $H,\,K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên bờ dọc $BD$ và bờ ngang $CD$. Khi đó, theo bài ra có $AH = 12\,\,{\rm{m}},\,\,AK = 5\,\,{\rm{m}}$.

Suy ra $DK = AH = 12\,\,{\rm{m}},\,\,DH = AK = 5\,\,{\rm{m}}$.

Đặt $BH = x\,\,\,\left( {{\rm{m}},\,x > 0} \right)$.

Ta có $AH\,{\rm{//}}\,BC,\,\,AK\,{\rm{//}}\,DH$ nên $\frac{{BH}}{{HD}} = \frac{{BA}}{{AC}} = \frac{{DK}}{{KC}}$.

Suy ra $KC = \frac{{HD \cdot DK}}{{BH}} = \frac{{5 \cdot 12}}{x} = \frac{{60}}{x}$ (m).

Diện tích khu nuôi cá riêng là:

$S = \frac{1}{2}BD \cdot DC = \frac{1}{2}\left( {x + 5} \right)\left( {\frac{{60}}{x} + 12} \right) = 6x + \frac{{150}}{x} + 60$ (m2).

Xét hàm số $S\left( x \right) = 6x + \frac{{150}}{x} + 60$ với $x \in \left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có $S'\left( x \right) = 6 - \frac{{150}}{{{x^2}}} = \frac{{6{x^2} - 150}}{{{x^2}}}$. Trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$, $S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 5$.

Bảng biến thiên của hàm số $S\left( x \right)$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ như sau:

	– +

Từ bảng biến thiên, ta có $\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} S\left( x \right) = 120$ tại $x = 5$.

Vậy diện tích nhỏ nhất có thể giăng dưới là $120$ m2.

Ngoài ra, ta có thể dùng bất đẳng thức:

$S = 6x + \frac{{150}}{x} + 60 \ge 2\sqrt {6x \cdot \frac{{150}}{x}} + 60 = 120$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $6x = \frac{{150}}{x} \Leftrightarrow x = 5 \in \left( {0;\, + \infty } \right)$.

Đáp số: $120$.

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Ta có $y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$. Giả sử $M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right) \in \left( C \right)$, $\left( {{x_0} \ne 1} \right)$ suy ra tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ có phương trình là $y = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0} - 1}}{{{x_0} - 1}}$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = - \infty$ nên đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của $\left( C \right)$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = 2;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = 2$ nên đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của $\left( C \right)$.

Suy ra $I\left( {1;\,\,2} \right)$.

Điểm $A\left( {1;\,\frac{{2{x_0}}}{{{x_0} - 1}}} \right)$ là giao điểm của tiệm cận đứng và tiếp tuyến, điểm $B\left( {2{x_0} - 1;\,2} \right)$ là giao điểm của tiệm cận ngang và tiếp tuyến.

Ta có chu vi của tam giác $IAB$ bằng:

$IA + IB + AB = \frac{2}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}} + 2\left| {{x_0} - 1} \right| + \sqrt {4{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2} + \frac{4}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}}$.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có $IA + IB + AB \ge 2\sqrt 4 + \sqrt {4 \cdot 2} = 4 + \sqrt 8$.

Đẳng thức xảy ra khi $\left| {{x_0} - 1} \right| = 1 \Leftrightarrow {x_0} = 0$ hoặc ${x_0} = 2$.

Vậy chu vi tam giác $IAB$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $4 + \sqrt 8$ khi $M\left( {0;1} \right)$ hoặc $M\left( {2;3} \right)$.

Suy ra $a = 4,b = 8$ nên $a - b + 4 = 0$.

Đáp số: $0$.

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

Hợp lực tác động vào ba vật là $\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OE}$.

Ta có $\widehat {AOB} = \left( {\overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {OB} } \right) = \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} } \right) = 110^\circ$. Suy ra $\widehat {OAD} = 70^\circ$.

Áp dụng định lý côsin trong tam giác $OAD$, ta có:

$O{D^2} = O{A^2} + A{D^2} - 2OA \cdot AD \cdot \cos \widehat {OAD} = {9^2} + {4^2} - 2 \cdot 9 \cdot 4 \cdot \cos 70^\circ = 97 - 72\cos 70^\circ$.

Vì $OC \bot \left( {OBDA} \right)$ nên $OC \bot OD$. Suy ra $ODEC$ là hình chữ nhật.

Do đó, tam giác $OCE$ vuông tại $C$ nên

$O{E^2} = O{C^2} + E{C^2} = {7^2} + 97 - 72\cos 70^\circ = 146 - 72\cos 70^\circ$.

Suy ra $OE = \sqrt {146 - 72\cos 70^\circ } \approx 11$.

Vậy độ lớn của hợp lực của ba lực đã cho bằng khoảng 11 N.

Đáp số: $11$.