Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Trần Hưng Đạo (Gia Lai) năm 2023-2024 (có đáp án)

Chọn D

Ta có số nhân viên có thời gian đi từ nhà đến nơi làm việc từ $25$ phút đến dưới $30$ phút là $19$.

Chọn B

Ta có $y = \sin x$$\in \left[ { - 1;1} \right]$, $y = {\rm{cos}}x \in \left[ { - 1;1} \right]$, $y = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}) \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$. Loại A, C, D, chọn B.

Chọn C

Ta có $6 = 2.3;\,\,18 = 6.3;\,\,54 = 18.3$ nên dãy $2;\,\,6;\,\,18;\,\,54;...$ là cấp số nhân $q = 3$.

Chọn C

Ta có $\cos ( - x) = \cos x,\forall x \in \mathbb{R}$ nên $y = \cos x$ là hàm số chẵn.

Chọn C

Ta có $8 = 6 + 2;10 = 8 + 2;12 = 10 + 2;14 = 12 + 2;...$ nên dãy $6;8;10;12;14;...$là cấp số cộng.

Chọn C

Ta có công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm ${M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)$

Chọn D

Ta có công thức tính số hạng tổng quát cấp số nhân ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\,,n \ge 2.$

Chọn B

Ta có công thức $\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \sin b\cos a$.

Chọn C

Ta có ${u_n} = 7n - 3$ $\Rightarrow {u_6} = 7.6 - 3 = 39$.

Chọn D

Ta có $\left| { - \frac{{\sqrt 2 }}{3}} \right| \le 1$ nên phương trình có nghiệm là $\cos x = - \frac{{\sqrt 2 }}{3}$.

Chọn A

Ta có ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$.

Chọn B

Ta có $1 + 5 + 12 + 15 + 9 = 42$.

Chọn C

Ta có các phương án A, B, D đúng nên loại. C sai.

Chọn B

Ta có $\cot x = \cot \alpha \Rightarrow x = \alpha + k\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}$.

Chọn A

Ta có công thức tính số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm $\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} + \ldots + {m_k}{x_k}}}{n}$.

Chọn C

Ta có công thức $\sin 2a = 2\sin a.\cos a.$ Vậy C. $\sin 2a = \sin a.\cos a.$ sai.

Chọn B

Ta có $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên A, C, D đúng. B sai

Chọn C

Ta có công thức $\sin (\pi - \alpha ) = \sin \alpha .$

Chọn D

Ta có công thức $\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn B

Ta có công thức ${u_n} = {u_{n - 1}} + d,\;n \ge 2$.

Chọn B

Ta có công thức ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d \Rightarrow - 6 = 3 + 3d \Rightarrow d = - 3$.

Chọn A

Ta có $\cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = - \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn A

Ta có công thức ${u_2} = {u_1}q \Rightarrow q = - 20: - 5 = 4.$

Chọn A

Ta có công thức $\cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Do $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ nên $\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.$

Chọn A

Ta có công thức ${u_6} = {u_1} + (6 - 1)d = - 4 + 5.5 = 21$.

Chọn A

Ta có $25<\ 20<\ 15<\ 10<\ 5;\ ...$ nên dãy $25;\ 20;\ 15;\ 10;\ 5;\ ...$ giảm.

Chọn A

Ta có $\frac{{10{,}5 + 20{,}5}}{2} = 15{,}5;$ $\frac{{30{,}5 + 40{,}5}}{2} = 35{,}5$.

Chọn D

Ta có công thức ${u_4} = {u_1}{q^3} = - {2.5^3} = - 250$.

Chọn D

Ta có $y = \frac{5}{{\sin x + 1}}$ xác định khi $\sin x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne - \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})$.

Vậy $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z} \right\}.$

Chọn C

Ta có $\alpha = {55^0} = 55.\frac{\pi }{{180}} = \frac{{11}}{{36}}\pi$

Chọn C

Ta có công thức $\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 3 = {u_1} + d\\{u_5} = 21 = {u_1} + 4d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 3\\d = 6\end{array} \right.$. Suy ra ${S_{19}} = \frac{{19}}{2}\left[ {2.( - 3) + (19 - 1)6} \right] = 969.$

Chọn A

Ta có $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4}$.

${P^2} = {(\sin \alpha - \cos \alpha )^2} = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = > P = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Do $0 < \alpha < \frac{\pi }{4}$ nên $P = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Chọn B

Ta có $n = 64$.

Do ${x_{32}};{x_{33}} \in {\rm{[}}12{,}5;15{,}5) \Rightarrow p = 3;{a_3} = 15{,}5;{m_3} = 18;{m_1} + {m_2} = 18;{a_4} - {a_3} = 3$ nên

${M_e} = 15{,}5 + \frac{{\frac{{64}}{2} - 18}}{{18}} \times 3 = 17{,}8(3)$.

Chọn D

Ta có giá trị lớn nhất của hàm số $h(t) = 113\cos \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right)$ bằng $113$ (đạt tại $t = 0$) là chiều cao của ngọn sóng so với trục hoành. Suy ra chiều cao của sóng, khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng bằng hai lần chiều cao của sóng so với trục hoành là $226\,cm.$

Chọn B

Ta có công thức ${S_{10}} = {u_1}\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = - \frac{1}{2}.\frac{{1 - {{( - 3)}^{10}}}}{{1 - ( - 3)}} = 7381$.

a. Giải phương trình $\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

$$\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$

b. Tìm các nghiệm thuộc $\left( {0;2\pi } \right)$ của phương trình các phương trình trên.

Vì $x \in \left( {0;2\pi } \right)$ nên ta có:

$$\begin{array}{l}0 < \frac{\pi }{6} + k2\pi < 2\pi \Leftrightarrow - \frac{\pi }{6} < k2\pi < 2\pi - \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} < k < \frac{{11}}{{12}} \Rightarrow k = 0\,\,\left( {do\,k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}\\0 < - \frac{\pi }{6} + k2\pi < 2\pi \Leftrightarrow \frac{\pi }{6} < k2\pi < 2\pi + \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} < k < \frac{{13}}{{12}} \Rightarrow k = 1\,\,\left( {do\,k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow x = \frac{{11\pi }}{6}\end{array}$$

Vậy có hai nghiệm thỏa mãn: $x = \frac{\pi }{6},\,\,x = \frac{{11\pi }}{6}$.

a. Tần số lớn nhất là $16$ nên nhóm chứa mốt là nhóm $\left[ {50{,}5\,\,;\,\,55{,}5} \right)$

Ta có: $j = 3,\,\,{a_3} = 50{,}5\,\,;\,\,{a_4} = 55{,}5\,\,;\,{m_3} = 15;\,\,{m_2} = 9;\,\,{m_4} = 5;\,\,h = {a_4} - {a_3} = 5$

Do đó :

$$\begin{array}{l}{M_o} = {a_j} + \frac{{{m_j} - {m_{j - 1}}}}{{\left( {{m_j} - {m_{j - 1}}} \right) + \left( {{m_j} - {n_{j + 1}}} \right)}} \cdot h = {a_3} + \frac{{{m_3} - {m_2}}}{{\left( {{m_3} - {m_2}} \right) + \left( {{m_3} - {m_4}} \right)}} \cdot h\\\,\,\,\,\,\,\, = 50{,}5 + \frac{{15 - 9}}{{\left( {15 - 9} \right) + \left( {15 - 5} \right)}} \cdot 5 = 52{,}375\end{array}$$

Cỡ mẫu $n = 10 + 9 + 15 + 5 + 2 + 3 = 44$

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là $\frac{{{x_{33}} + {x_{34}}}}{2}$ thuộc nhóm $\left[ {50{,}5\,;\,55{,}5} \right)$ tương ứng $p = 3$.

$\,\,{a_3} = 50{,}5\,\,;\,\,{a_4} = 55{,}5\,\,;\,{m_3} = 15;\,{m_1} + \,{m_2} = 12 + 9 = 21;\,\,{a_4} - {a_3} = 5$

b. Ta có: ${Q_3} = {a_3} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - \left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}{{{m_3}}}.\left( {{a_4} - {a_3}} \right) = 50{,}5 + \frac{{\frac{{3.44}}{4} - 21}}{{15}}.5 = 54{,}5$

Ta có

$\begin{array}{l}\frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\cot }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = 7\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = 7\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\cos }^4}\alpha + {{\sin }^4}\alpha + {{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha }} = 7\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)}^2} - 2{{\sin }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha + 1}}{{{{\sin }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha }} = 7\\ \Leftrightarrow 2 - 2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha - 7{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha = 0\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha = \frac{2}{9} \Leftrightarrow {\sin ^2}2\alpha = \frac{8}{9}\end{array}$

Vậy $P = \cos 4\alpha + 2023 = 1 - 2{\sin ^2}2\alpha + 2023 = 1 - 2.\frac{8}{9} + 2023 = \frac{{18200}}{9}$.

Số hạt thóc từ ô đầu tiên đến ô thứ 64 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với ${u_1} = 1,\,q = 2$.

Tổng số hạt thóc người đó nhận được là tổng 64 số hạng đầu tiên một cấp số nhân đó.

Ta có: ${S_{64}} = \frac{{{u_1}\left( {{q^{64}} - 1} \right)}}{{q - 1}} = \frac{{{2^{64}} - 1}}{{2 - 1}} = {2^{64}} - 1$ (hạt thóc)

Theo giả thiết 1000 hạt thóc nặng 25 gam

Suy ra $40.000.000$ hạt thóc nặng 1 tấn.

Do đó ta có: ${2^{64}} - 1$ hạt thóc nặng $\frac{{{2^{64}} - 1}}{{{{4.10}^7}}} \approx 461$ tỉ tấn.

Vậy người đó sẽ nhận được một phần thưởng tương ứng nặng 461 tỉ tấn thóc.