Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Thiệu Hóa (Thanh Hóa) năm 2023-2024 (có đáp án)

Chọn A

$\begin{array}{l}{\rm{cos}}\left( {3x + \frac{{2023\pi }}{2}} \right) - \sin \left( {3x - 2023\pi } \right) = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \cos 3x\cos \frac{{2023\pi }}{2} - \sin 3x.\sin \frac{{2023\pi }}{2} - \left( {\sin 3x\cos 2023\pi - \cos 3x\sin 2023\pi } \right) = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \sin 3x + \sin 3x = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \sin 3x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array}$

Chọn A

Bốn số $5;{\rm{ }}x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}320$ là một cấp số nhân với ${u_1} = 5;{u_4} = 320$

Ta có ${u_4}{\rm{ }} = {u_1} \cdot {q^3} \Leftrightarrow 320{\rm{ }} = 5 \cdot {q^3} \Leftrightarrow {q^3}{\rm{ }} = 64 \Leftrightarrow q{\rm{ }} = 4.$

Suy ra $x = 5 \cdot 4 = 20;\,\,y = 5 \cdot {4^2} = 80.$

Chọn B

Ta có: ${u_1} = 18$, ${u_2} = 54 = {u_1}q \Rightarrow q = \frac{{54}}{{18}} = 3$.

$\begin{array}{l}{u_n} = 39366\\ \Leftrightarrow {u_1}{q^{n - 1}} = 39366\\ \Leftrightarrow {18.3^{n - 1}} = 39366\\ \Leftrightarrow {3^{n - 1}} = 2187\\ \Leftrightarrow {3^{n - 1}} = {3^7}\\ \Leftrightarrow n = 8\end{array}$

${S_8} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 18.\frac{{1 - {3^8}}}{{1 - 3}} = 59040$

Chọn C

Ta có $2\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$.

Chọn C

$\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,\;k \in \mathbb{Z}$

Chọn A

Ta có $\cos 2\alpha = \cos \alpha \cdot \cos \alpha - \sin \alpha \cdot \sin \alpha = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 1 - 2{\sin ^2}\alpha$.

Chọn B

Câu A sai vì hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Câu B đúng vì hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$..

Chọn B

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên $\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right).$

Chọn D

$$\begin{array}{l}\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha .\tan \beta }} = 1\\ \Rightarrow \alpha + \beta = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array}$$

Vì $\alpha ,\,\,\beta$ là hai góc nhọn nên $\Rightarrow \alpha + \beta = \frac{\pi }{4}$.

Chọn A

Ta có ${u_2} = 3{u_1} + 2 = 3( - 1) + 2 = - 1.$

${u_3} = 3{u_2} + 3 = 3 \cdot ( - 1) + 3 = 0$.

Vậy ${u_3} = 0.$

Chọn C

${u_7} = {u_1} + 6d = 0{,}5$

Chọn D

Ta có ${u_2} = {u_1} \cdot q \Rightarrow q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{9}{3} = 3.$

Vậy công bội của cấp số nhân $q = 3.$

Chọn C

$$\sin \left( {a - b} \right) = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b$$

Chọn A

Ta có $1 + {\cot ^2}a = \frac{1}{{{{\sin }^2}a}} \Rightarrow {\cot ^2}a = \frac{1}{{{{\sin }^2}a}} - 1 = \frac{{25}}{9} - 1 = \frac{{16}}{9}.$

$E = \frac{{\cot a + \tan a}}{{\cot a - \tan a}} = \frac{{{{\cot }^2}a + 1}}{{{{\cot }^2}a - 1}} = \frac{{\frac{{16}}{9} + 1}}{{\frac{{16}}{9} - 1}} = \frac{{25}}{9} \cdot \frac{9}{7} = \frac{{25}}{7}.$

Chọn D

Gọi số ghế của mỗi hàng lập thành cấp số cộng với ${u_1} = 8$ , $d = 2$.

${S_{16}} = \frac{{16}}{2}\left( {2.8 + 15.2} \right) = 368$

Chọn D

Ta có $\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}.$

Chọn B

Ta có $\sin (\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}.$

Chọn D

Hàm số$y = 2023\sin 2x$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{2} = \pi$

Chọn C

Ta có ${u_5} = \frac{5}{{{2^5}}} = \frac{5}{{32}} \Rightarrow$ A, D sai.

${u_3} = \frac{3}{{{2^3}}} = \frac{3}{8} \Rightarrow$B sai.

${u_4} = \frac{4}{{{2^4}}} = \frac{1}{4} \Rightarrow$C đúng.

Chọn D

Hàm số $y = \tan x$ có chu kì ${T_1} = \pi$

Hàm số $y = \cot 3x$ có chu kì ${T_2} = \frac{\pi }{3}$.

Vì ${T_1} = 3{T_2}$ nên $y = \tan \,x + \cot 3x$ có chu kì $T = \pi$

Chọn D

Gọi d là công sai của cấp số cộng $\left( {{U_n}} \right)$.

Ta có ${u_3} = {u_1} + 2d \Leftrightarrow 10 = 2 + 2 \cdot d \Leftrightarrow d = 4.$

Vậy công sai của cấp số cộng $\left( {{U_n}} \right)$ là $d = 4.$

Chọn B

$$\begin{array}{l}\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}$$

Chọn D

Ta có $\tan x=\sqrt{3}=\tan \frac{π}{3}\Leftrightarrow x=\frac{π}{3}+kπ(k\in ℤ)$.

Chọn C

Hàm số $y = - 2\sin x$ là hàm số lẻ vì

Tập xác định $D = \mathbb{R}$

$\forall x \in D$

$- x \in D$ và $y\left( { - x} \right) = - 2\sin \left( { - x} \right) = 2\sin x = - y\left( x \right)$

Chọn B

Ta có $\sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos \frac{\pi }{4}$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{x = - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

Vì $x \in [0;2\pi ]$ nên chọn $k = 1$

Hay $x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + 2\pi = \frac{{23\pi }}{{12}};\,\,x = - \frac{{7\pi }}{{12}} + 2\pi = \frac{{17\pi }}{{12}}$.

Vậy phương trình$\sqrt 2 {\rm{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1$có 2 nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;2\pi } \right]$.

Chọn B

$$\begin{array}{l}{S_{2023}} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{2023}}\\ = \left( {\frac{1}{2} + 1} \right) + \left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + 1} \right] + \left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3} + 1} \right] + ... + \left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2023}} + 1} \right]\\ = \left[ {\frac{1}{2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3} + ...{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2023}}} \right] + 2023.1\\ = S' + 2023\end{array}$$

$S' = \frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} + ...{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2023}}$ là tổng của $2023$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân với ${u_1} = \frac{1}{2}$ và công bội $q = \frac{1}{2}$

$S' = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = \left( {\frac{1}{2}} \right)\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2023}}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2023}} = 1 - \frac{1}{{{2^{2023}}}}$

Vậy ${S_{2023}} = 1 - \frac{1}{{{2^{2023}}}} + 2023 = 2024 - \frac{1}{{{2^{2023}}}}$

Chọn C

· Xét ${u}_{n}=\frac{1}{n},$ ta có ${u}_{n+1}-{u}_{n}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n-n-1}{n(n+1)}=\frac{-1}{n(n-1)}<0\forall n\in N.$ Suy ra ${u_n} = \frac{1}{n}$ là dãy số giảm.

· Xét ${u_n} = \frac{{n + 5}}{{3n + 1}},$ ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1 + 5}}{{3(n + 1) + 1}} - \frac{{n + 5}}{{3n + 1}} = \frac{{n + 6}}{{3n + 4}} - \frac{{n + 5}}{{3n + 1}}$

$\begin{array}{l} = \frac{{(n + 6)(3n + 1) - (n + 5)(3n + 4)}}{{(3n + 4)(3n + 1)}}\\ = \frac{{3{n^2} + 19n + 6 - 3{n^2} - 19n - 20}}{{9{n^2} + 15n + 4}} = \frac{{ - 14}}{{9{n^2} + 15n + 4}} < 0 & \forall n \in \mathbb{N}\end{array}$

Suy ra ${u_n} = \frac{{n + 5}}{{3n + 1}}$ là dãy số giảm.

· Xét ${u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}},$ ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2(n + 1) - 1}}{{n + 1 + 1}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}$

$\begin{array}{l} = \frac{{(2n + 1)(n + 1) - (2n - 1)(n + 2)}}{{(n + 2)(n + 1)}}\\ = \frac{{2{n^2} + 3n + 1 - 2{n^2} - 3n + 2}}{{{n^2} + 3n + 2}} = \frac{3}{{{n^2} + 3n + 2}} > 0 & \forall n \in N.\end{array}$

Suy ra ${u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}$ là dãy số tăng.

· Xét ${u_n} = \frac{1}{{{2^n}}},$ ta có $\frac{{u}_{n+1}}{{u}_{n}}=\frac{1}{{2}^{n+1}}:\frac{1}{{2}^{n}}=\frac{{2}^{n}}{{2}^{n+1}}=\frac{1}{2}<1\forall n\in N.$ Suy ra ${u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}$ là dãy số giảm.

Chọn B

Ta có${u_3} = {u_1} + 2d = 2 + 2 \cdot 4 = 10.$

Chọn A

$\begin{array}{l}A = \cos (5\pi - x) - \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right) + \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right) + \cot (3\pi - x)\\ = - \cos x + \cos x + \cot x - \cot x\\ = 0\end{array}$

Chọn B

Xét ${u_n} = \frac{{n + 1}}{n}$, ta có ${u_1} = \frac{{1 + 1}}{1} = 2 \Rightarrow$ A sai.

${u_n} = \frac{{n - 1}}{n}$, ta có ${u_1} = \frac{{1 - 1}}{1} = 0 \Rightarrow$ C sai.

${u_n} = \frac{{{n^2} - n}}{{n + 1}}$, ta có ${u_1} = \frac{{{1^2} - 1}}{{1 + 1}} = 0 \Rightarrow$ D sai.

${u_n} = \frac{n}{{n + 1}}$, ta có ${u_1} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2} \Rightarrow$ B đúng.

Chọn A

${u_9} = {u_1} + 8d \Rightarrow d = - 2$

${u_4} = {u_1} + 3d = - 1$

Chọn A

Hàm số xác định khi $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Chọn A

$$\begin{array}{l}\cos 2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{8} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}$$

a) Giải phương trình ${\rm{sin}}\,{\rm{2x = }}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\,$.

Ta có:

$\sin 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ $\Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right)$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x\, = {\rm{ }}\frac{\pi }{3}{\rm{ }} + {\rm{ }}k2\pi \\2x\, = \frac{{2\pi }}{3}{\rm{ }} + {\rm{ }}k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x\, = {\rm{ }}\frac{\pi }{6}{\rm{ }} + {\rm{ }}k\pi \\x\, = \frac{\pi }{3}{\rm{ }} + {\rm{ }}k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$

b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y = 7 + 3{\cos ^4}x - 3{\sin ^4}x$

$$y = 7 + 3{\cos ^4}x - 3{\sin ^4}x = 7 + 3\cos 2x$$

Vì $- 1 \le \cos 2x \le 1$ nên $4 \le y = 7 + 3\cos 2x \le 10$

Giá trị lớn nhất bằng 10 khi ${\rm{x}}\,{\rm{ =k\pi }}$ , nhỏ nhất bằng 4 khi ${\rm{x}}\,{\rm{ = }}\frac{{\rm{\pi }}}{2}{\rm{ + k\pi }}$

a) Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} + {u_5} = 15\\{u_1} + {u_6} = 27\end{array} \right..$ Tính tổng số hạng đầu của cấp số cộng trên.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} + {u_5} = 15\\{u_1} + {u_6} = 27\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 15\\2{u_1} + 5d = 27\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 21\\d = - 3\end{array} \right.$

Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng đã cho là:

${S_{10}} = \frac{{10\left( {2{u_1} + 9d} \right)}}{2} = 5\left( {2.21 + 9.\left( { - 3} \right)} \right) = 75.$

b) Tìm giá trị dương để $5x - 4;3x;5x + 4$ lập thành cấp số nhân.

Để $5x - 4;3x;5x + 4$lập thành cấp số nhân thì

$\left\{ \begin{array}{l}3x = (5x - 4).q\\5x + 4 = 3x.q\end{array} \right. \Leftrightarrow {\left( {3x} \right)^2} = (5x - 4)(5x + 4)$.

$\Leftrightarrow 16{\left( x \right)^2} = 16 \Leftrightarrow x = \pm 1 \Rightarrow x = 1$.

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ $t$ của năm $2023$ được cho bởi một hàm số $y = 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10$ với $t \in \mathbb{Z}$ và $0 < t \le 365$. Vào ngày, tháng nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

Vì

Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất $\Leftrightarrow y = 14 \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] = 1$

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 149 + 356k.$

Do $0<t\le 365\overset{}{\rightarrow }0<149+356k\le 365\Leftrightarrow -\frac{149}{356}<k\le \frac{54}{89}\overset{k\in ℤ}{\rightarrow }k=0$.

Với $k=0\overset{}{\rightarrow }t=149$ rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2023 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày hoặc dựa vào dữ kiện $0 < t \le 365$ thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày).

Gọi $x$ là số quả dưa hấu mà ông A thu hoạch được.

Khi đó số quả dưa hấu mà người thứ nhất mua và được tặng là: $\frac{1}{2}x + 1 = \frac{{x + 2}}{2}$

Số quả dưa hấu mà người thứ hai mua và được tặng là: $\frac{1}{2}\left( {x - \frac{{x + 2}}{2}} \right) + 1 = \frac{{x + 2}}{{{2^2}}}$

...

Số quả dưa hấu mà người thứ chín mua và được tặng là: $\frac{{x + 2}}{{{2^9}}}$

Khi đó:$\frac{{x + 2}}{2} + \frac{{x + 2}}{{{2^2}}} + ... + \frac{{x + 2}}{{{2^9}}} = x \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^9}}}} \right) = x$

$\Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\frac{1}{2}.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^9}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = x \Leftrightarrow \frac{{511}}{{512}}\left( {x + 2} \right) = x \Leftrightarrow x = 1022$.