Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Phan Bội Châu (Bình Định) năm 2023-2024 (có đáp án)

Tứ phân vị thứ nhất $\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}$ thuộc nhóm ${\rm{[}}20;40)$

Chọn D

Hàm số xác định khi $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}$

Chọn C

Dựa vào đồ thị hàm $y = \sin x$. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)$

Chọn D

Giá trị đại diện của nhóm : $\frac{{20 + 40}}{2} = 30$

Chọn D

Số hạng tổng quát của dãy số là :${u_n} = \frac{1}{{{5^n}}}$

Chọn B

Ta có $\cos \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{{7\pi }}{{30}} + \sin \frac{\pi }{{15}}\sin \frac{{7\pi }}{{30}} = \cos (\frac{\pi }{{15}} - \frac{{7\pi }}{{30}}) = \cos ( - \frac{\pi }{6}) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Chọn D

Ta có : $\cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos 2a + \cos 2b} \right]$.

$\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = - \frac{7}{9}$; $\cos 2b = 2{\cos ^2}b - 1 = - \frac{7}{8}$

Do đó : $\cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos 2a + \cos 2b} \right] = \frac{1}{2}\left( { - \frac{7}{9} - \frac{7}{8}} \right) = - \frac{{119}}{{144}}$.

Chọn D

Phương trình $\sin x = 1$ trên đoạn ${\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}$: có nghiệm $x = \frac{\pi }{2}$.

Chọn B

Dựa vào đường tròn lượng giác $\sin \alpha < 0;\,\,\cos \alpha < 0$

Chọn C

Giả sử cấp số cộng thu được là $2;\,a;\,b;\,c\,;22$. Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}2 + b = 2a\\a + c = 2b\\b + 22 = 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = 12\\c = 17\end{array} \right.$

Chọn A

Đáp án A là cấp số nhân với công bội $q = - 1$

Đáp án A là cấp số nhân với công bội $q = \frac{1}{3}$

Đáp án A là cấp số nhân với công bội $q = 0$

Chọn C

Ta có ${M_0} = {a_3} + \frac{{{m_3} - {m_2}}}{{({m_3} - {m_2}) + ({m_3} - {m_4})}}.h = 20 + \frac{{7 - 6}}{{(7 - 6) + (7 - 5)}}.10 = \frac{{70}}{3}$

Chọn A

Ta có $y = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x$ là hàm số chẳn

Chọn C

Áp dụng công thức ${u_{n + 1}} = {u_n} + d$ ta có dạng khai triển: $- \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}...$.

Chọn C

Ta có ${M_e} = {a_3} + \frac{{\frac{n}{2} - ({m_1} + {m_2})}}{{{m_3}}}.({a_3} - {a_2}) = 20 + \frac{{\frac{{25}}{2} - (4 + 6)}}{7}.10 = \frac{{165}}{7}$

Chọn B

Áp dụng công thức ${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}$ ta có ${u_4} = {u_1}{q^3} \Rightarrow {q^3} = \frac{{{u_4}}}{{{u_1}}} = - 8 \Rightarrow q = - 2$

Lại có ${u_6} = {u_1}{q^5} = 5.{( - 2)^5} = - 160$.

Chọn C

Ta có $\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} - x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\\frac{\pi }{2} - x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\,,(k \in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}$

Chọn B

Vì $\pi > 1$ nên phương trình $\sin x = \pi$ vô nghiệm.

Chọn A

Vì Hàm số $y = \cot x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$ nên đáp án C sai.

Chọn C

Theo công thức tổng quát của cấp số nhân: ${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}$ do đó $\frac{1}{{{{10}^{103}}}} = - 1.{\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} \Rightarrow n - 1 = 103 \Leftrightarrow n = 104$

Chọn D

Công sai d của cấp số cộng : $d = {u_4} - {u_3} = 4 - 7 = - 3$

Chọn D

Ta có:

$$\begin{array}{l}A = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)\\\,\,\,\,\, = \sin \alpha + \cos \alpha + \sin \alpha - \cos \alpha = 2\sin \alpha \end{array}$$

Chọn A

Ta có

$\sin x + \cos x = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin \frac{\pi }{4}.\sin x + \cos \frac{\pi }{4}.\cos x} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)$.

Chọn B

Mỗi đường tròn định hướng có bán kính $R = 1$, tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.

Chọn B

Những số nguyên dương chia hết cho $7$ có dạng $7n$

Do đó ${u_n} = 7n$.

Chọn B

Hàm số $y = \sin \omega x,\,\,\omega > 0$ tuần hoàn với chu kì $\frac{{2\pi }}{\omega }$. Do đó $y = 2023\sin \frac{1}{2}x$ tuần hoàn với chu kì $4\pi$.

Chọn A

Áp dụng công thức ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d$

Ta có ${u_{10}} = - 2 + 9.3 = 25$

Chọn C

Ta có ${18^0} = 18.\frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{{10}}\,(rad)$

Chọn B

Ta có ${u_1} = 2;\,{u_2} = 2{u_1} - 1 = 3;\,{u_3} = 2{u_2} - 1 = 5$.

Chọn B

Vì $A,\,B\,,C$ là ba góc tam giác nên $A + B + C = {180^0}$

Khi đó $\cos (A + C) = \cos ({180^0} - B) = - \cos B$

Chọn D

Giả sử cấp số cộng đã cho có số hạng đầu ${u_1}$và công sai $d$

Theo đề ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_{20}} = 135\\{u_{35}} = 240\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 19d = 135\\{u_1} + 34d = 240\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = 7\end{array} \right.$

Khi đó ${u_{90}} = {u_1} + 89d = 2 + 89.7 = 625$

Chọn A

Áp dụng công thức tổng quát của cấp số nhân ${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}$

Khi đó ${u_5} = {u_1}{q^4} = - 3.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^4} = - \frac{{16}}{{27}}$

Chọn A

Ta có : ${u_5} = \frac{{2.5 - 1}}{{{5^2} + 3}} = \frac{9}{{28}}$

Chọn D

Ta có : $\sin 2x = \sin \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x = (\pi - \frac{\pi }{4}) + k2\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{8} + k\pi \\x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})$$

Ta có

Thời gian trung bình (phút) để hoàn thành bài tập của các em học sinh là:

$\overline x = \frac{{2.2 + 4.6 + 7.10 + 4.14 + 3.18}}{{20}} = 10{,}4$(phút).

Ta có: $\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Rightarrow h = 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) + 12 \le 15$

Mực nước của kênh là cao nhất khi và chỉ khi: $\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = 1$

$\Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi$$\Leftrightarrow t = 1 + 12k,k \in \mathbb{Z}$

Vì $t > 0 \Leftrightarrow 1 + 12k > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{1}{{12}}$. Chọn $k = 0 \Rightarrow t = 1$.

Vậy thời gian ngắn nhất để mực nước kênh cao nhất là 1 giờ.

Ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2},{x_3}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì

${x_1} + {x_2} + {x_3} = - \frac{b}{a} \Leftrightarrow {x_2} + 2{x_2} = - \frac{b}{a} \Leftrightarrow 3{x_2} = - \frac{b}{a} \Leftrightarrow {x_2} = - \frac{b}{{3a}} = - \frac{{ - 9}}{3} = 3$

Suy ra

${3^3} - {9.3^2} + 23.3 + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0 \Leftrightarrow {m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0 \Leftrightarrow m = - 1,m = 2,m = 3$

Với $m = - 1,m = 2,m = 3$thì ${m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0$ nên ${m^3} - 4{m^2} + m - 9 = - 15$

Do vậy, với $m = - 1,m = 2,m = 3$ ta có phương trình

${x^3} - 9{x^2} + 23x - 15 = 0 \Leftrightarrow (x - 3)\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1,x = 3,x = 5$

Ba số 1,3,5 lập thành cấp số cộng. Vậy $m = - 1,m = 2,m = 3$là các giá trị cần tìm. Do đó ${( - 1)^3} + {2^3} + {3^3} = 34$