Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Ngũ Hành Sơn (Đà Nẵng) năm 2023-2024 (có đáp án)

Chọn A

Góc lượng giác tia đầu là $Ou$; tia cuối là $Ov$quay theo chiều dương có số đo là

sđ $(Ou,Ov)={60}^{^{\circ}}+k{.360}^{^{\circ}}.$

Chọn B

Ta có $180^\circ = \pi \left( {radian} \right) \Rightarrow 250^\circ = \frac{{25\pi }}{{18}}\left( {radian} \right)$

Chọn A

Cung có số đo $\frac{\pi }{{16}}$(radian) tương ứng số đo là $n = \frac{{180}}{{16}} = \frac{{45}}{4} = 11{,}25^\circ$

Độ dài l của cung tròn trên là: $l = 2\pi .R.\frac{n}{{360}} = 2\pi .20.\frac{{11{,}25}}{{360}} = \pi .\frac{{11{,}25}}{9} \approx 3{,}93$ (cm).

Chọn B

Với góc lượng giác $\alpha$ với $- \frac{\pi }{2} < \alpha < 0$thì $\sin \alpha < 0.$

Chọn A

Với góc $\alpha$thỏa $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$thì $\cos \alpha > 0$

Ta có ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$mà $\cos \alpha > 0 \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Chọn B

Ta có $cos\left( {\pi + \alpha } \right) = cos\left( {\pi - \left( { - a} \right)} \right) = - cos\left( { - \alpha } \right) = - cos\alpha$nên khẳng định câu B sai.

Chọn D

Ta có $\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$nên công thức câu D đúng.

Chọn C

Ta có $cos2\alpha = 2co{s^2}\alpha - 1 = 2.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} - 1 = \frac{1}{8}$.

Chọn D

Tập xác định của hàm số $y = \cos x$ bằng $\mathbb{R}.$

Chọn D

Chỉ có hàm số $y = \cos x$là hàm số chẵn vì ta có $\cos x = cos\left( { - x} \right)$$\forall x \in R$

Chọn B

Hàm số $y = \sin 3x$tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{3}.$

Chọn C

Hàm số $y = \frac{{\sin x}}{{\cos x - 1}}$xác định $\Leftrightarrow \cos x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne 1$

$\Leftrightarrow x \ne k2\pi$(với $k \in Z$)

Vậy tập xác định của hàm số $y = \frac{{\sin x}}{{\cos x - 1}}$là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.$

Chọn B

Vì $- 1 \le \sin x \le 1{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in {\rm{ R}}$nên $0 \le 1 - \sin x \le 2{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in {\rm{R}}$

Chọn D

Phương trình $[\begin{matrix}x={α}^{^{\circ}}+k{360}^{^{\circ}} \\ x={180}^{^{\circ}}-{α}^{^{\circ}}+k{360}^{^{\circ}}\end{matrix}(k\in ℤ).$

Chọn A

Phương trình $\cot x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow \cot x = \cot \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)$$\Leftrightarrow x = \frac{{ - \pi }}{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Chọn C

Phương trình $\cos x = \frac{m}{2}$vô nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{m}{2} > 1\\\frac{m}{2} < - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.$.

Chọn C

Ta có $2\sin x = 1 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \sin x = sin\left( {\frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.$

Xét $- \pi \le \frac{\pi }{6} + k2\pi \le \pi \Leftrightarrow - 1 \le \frac{1}{6} + 2k \le 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{{12}} \le k \le \frac{5}{{12}}$.

Mà $k \in Z \Rightarrow k = 0$nên $x = \frac{\pi }{6}$thỏa mãn .

Xét $k \in Z \Rightarrow k = 0$$- \pi \le \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \le \pi \Leftrightarrow - 1 \le \frac{5}{6} + 2k \le 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 11}}{{12}} \le k \le \frac{1}{{12}}$

Mà $k \in Z \Rightarrow k = 0$nên $x = \frac{{5\pi }}{6}$thỏa mãn.

Vậy phương trình $2\sin x = 1$ có $2$nghiệm trên $\left[ { - \pi ;\pi } \right]$.

Chọn D

Xét dãy số $13;11;8;7;5.$ta thấy ${u_1} = 13 > {u_2} = 11 > {u_3} = 8 > {u_4} = 7 > {u_5} = 5$

Do đó dãy số $13;11;8;7;5$là dãy số giảm.

Chọn B

Từ công thức của dãy số trên ta có ${u_3} = {u_2} + {u_1} = 1 + 1 = 2$.

${u_4} = {u_3} + {u_2} = 2 + 1 = 3$; ${u_5} = {u_4} + {u_3} = 3 + 2 = 5$.

Vậy 5 số hạng đầu tiên của dãy số đó là $1;1;2;3;5.$\

Chọn B

Công thức tổng quát của dãy số gồm các số chính phương tăng dần là

$${u_n} = {\left( {n - 1} \right)^2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}.$$

Chọn B

Xét dãy số $- 1;1;3;5;7$ta có ${u_1} = - 1;{u_2} = 1;{u_3} = 3;{u_4} = 5;{u_5} = 7$

Nhận xét ${u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = {u_5} - {u_4} = 2$nên dãy số $- 1;1;3;5;7$là cấp số cộng

Chọn C

Ta có ${u_n} = {u_{n - 1}} + d$nên khẳng định C là đúng.

Chọn D

Ta có ${S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + .... + {u_n} = \frac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right)$$= \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right).d} \right]$

Thay vào ta có

$561 = \frac{n}{2}\left[ {2 + 4.\left( {n - 1} \right)} \right]$$\Leftrightarrow 2{n^2} - n - 561 = 0$

Giải ra ta được $n = 17$.

Vậy cần lấy ra $17$ số hạng đầu tiên của cấp số đó để được tổng là $561$.

Chọn A

Vì ba số $x + 1;{\rm{ }}2x + 1;{\rm{ }}x + 7$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên ta có

$2(2x + 1) = x + 1 + x + 7$ $\Leftrightarrow 4x + 2 = 2x + 8$$\Leftrightarrow x = 3$

Chọn C

Xét dãy số $3;6;12;24$ta có ${u_1} = 3;{u_2} = 6;{u_3} = 12;{u_4} = 24$

Khi đó nhận xét $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} = 2$nên dãy $3;6;12;24$là cấp số nhân với công bội $q = 2$.

Chọn D

Ta có ${S_n} = {u_1} + {u_2} + ..... + {u_n} = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}}} \right)$.

Hay ${S_n} = \frac{{{u_1}\left( {{q^n} - 1} \right)}}{{q - 1}}$.

Chọn B

Ta có ${u_3} = {u_2}.q = - 6q > 0 \Rightarrow q < 0$

Mà ${u_6} = {u_2}.{q^4} \Rightarrow - 486 = - 6.{q^4}$$\Rightarrow {q^4} = 81 \Rightarrow q = - 3$( vì $q < 0$)

Lời giải

Chọn A

Vì $x;{\rm{ }}x + 6;{\rm{ }}y$là ba số hạng liên tiếp của 1 cấp số nhân có công bội $q = 2$nên ta có

$x + 6 = 2x$và $y = 2\left( {x + 6} \right)$$\Leftrightarrow x = 6$ và $y = 2\left( {6 + 6} \right) = 24$

Chọn D

Mẫu số liệu ghép nhóm đã cho có tất cả $5$nhóm.

Chọn C

Trong mẫu số liệu ghép nhóm, giá trị đại diện của nhóm $\left[ {a;b} \right)$được tính là: $\frac{{a + b}}{2}$.

Chọn B

Trong mỗi khoảng điểm kiểm tra; giá trị đại diện là trung bình cộng của hai giá trị đầu mút nên ta có bảng sau

Điểm trung bình của 36 học sinh lớp 11 A là:

$\frac{{1.1 + 5.3 + 9.5 + 14.7 + 7.9}}{{36}} \simeq 6{,}2$.

Chọn D

Cỡ mẫu là: $n = 10 + 15 + 18 + 20 + 23 = 86$hay $n$ là số chẵn

Gọi ${x_1};{x_2};.....;{x_{309}}$là thời gian ngủ của 86 học sinh và giả sử dãy này được xếp theo thứ tự tăng dần

Do đó trung vị là: $\frac{{{x_{43}} + {x_{44}}}}{2}$.

Do hai giá trị ${x_{43}};{x_{44}}$đều thuộc nhóm $\left[ {6;\;7} \right)$do đó nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là $\left[ {6;7} \right)$.

Chọn C

Cỡ mẫu là: $n = 54 + 78 + 120 + 45 + 12 = 309$.

Gọi ${x_1};{x_2};.....;{x_{309}}$là mức giá mua nhà của 309 khách hàng và giả sử dãy này được xếp theo thứ tự tăng dần

Trung vị là ${x_{155}} = {Q_2}$

Tứ phân vị thứ 3 là ${Q_3} = \frac{{{x_{232}} + {x_{233}}}}{2}$

Do ${x_{232}};{x_{233}}$đều thuộc nhóm $\left[ {18;22} \right)$do đó nhóm này chứa ${Q_3}$.

Chọn C

Tần số lớn nhất là $14$nên nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm $\left[ {3;3{,}5} \right)$.

Chọn D

Nhóm có tần số lớn nhất (nhóm chứa mốt) là nhóm $\left[ {156;159} \right)$

Độ dài của nhóm là: $h = 159 - 156 = 3$.

Ta có ${a_3} = 156;{m_3} = 40;{m_2} = 13;{m_4} = 21$

Khi đó Mốt là

${M_o} = {a_3} + \frac{{{m_3} - {m_2}}}{{\left( {{m_3} - {m_2}} \right) + \left( {{m_3} - {m_4}} \right)}}.h$

$$\begin{array}{l} = 156 + \frac{{40 - 13}}{{40 - 13 + 40 - 21}}.3\\ \simeq 157{,}76\end{array}$$

Ta có $\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \alpha .\cos \frac{\pi }{3} - \sin \alpha .\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\cos \alpha - \sqrt 3 .\sin \alpha }}{2}$

Vì góc $\alpha$thỏa mãn $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$nên ta có $cos\alpha < 0$

Mặt khác lại có $si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1 \Rightarrow cos\alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }$( vì $\cos \alpha < 0$)

Thay$\sin \alpha = - \frac{4}{5} \Rightarrow cos\alpha = - \sqrt {1 - \frac{{16}}{{25}}} = \frac{{ - 3}}{5}$

Từ đó thay $\sin \alpha = - \frac{4}{5}$ và $cos\alpha = \frac{{ - 3}}{5}$ta được $\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) =$$\frac{{\cos \alpha - \sqrt 3 .\sin \alpha }}{2} = \frac{{4\sqrt 3 - 3}}{{10}}$.

Ta có : ${u_2} = {u_1}.q$và ${u_3} = {u_1}.{q^2}$và ${u_4} = {u_1}.{q^3}$

Thay vào ta có ${u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 26$và ${u_1}\left( {{q^3} - 1} \right) = 52 \Leftrightarrow {u_1}\left( {{q^2} + q + 1} \right)\left( {q - 1} \right) = 52$

$\Leftrightarrow 26\left( {q - 1} \right) = 52 \Leftrightarrow q - 1 = 2 \Leftrightarrow q = 3$

Mặt khác: ${u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 26 \Leftrightarrow {u_1}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) = 26 \Leftrightarrow {u_1} = 2$.

Nên ${u_5} = {u_1}.{q^4} = {2.3^4} = 162$.

Gọi $n\left( {n \in {N^*}} \right)$là số ngày mỗi hs nuôi heo đất để số tiền đạt được là $5658800$

Xét cấp số cộng ${u_n}\left( {n \in {N^*}} \right)$với ${u_1} = 2000;d = 200$

Ta có ${S_n} = {u_1} + {u_2} + .... + {u_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right).d} \right] = \frac{{5658800}}{{43}}$( vì lớp 11 A có tổng cộng 43 học sinh mà mỗi học sinh sau n ngày đều có số tiền nuôi heo đất là )

Hay là $\frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right).d} \right] = 131600$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{n}{2}\left( {4000 + \left( {n - 1} \right).200} \right) = 131600\\ \Leftrightarrow 100{n^2} + 1900n - 131600 = 0\end{array}$

Giải phương trình ta được $n = 28$( loại đi $n = - 47$vì $n \in {N^*}$)

Vậy sau $28$ngày thì số tiền nuôi heo đất của lớp 11 A thu được là $5658800$ đồng.

Phương trình $\left( {2\cos x + \sin x - \cos 2x} \right)\cos x = 1 + \sin x$

$\Leftrightarrow \left( {2\cos x + \sin x - 2{{\cos }^2}x + 1} \right).\cos x = 1 + \sin x$

$\Leftrightarrow \left( {\sin x + 1} \right).\cos x + 2{\cos ^2}x\left( {1 - \cos x} \right) = 1 + \sin x$

$$\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x\left( {1 - \cos x} \right) = \left( {1 + \sin x} \right)\left( {1 - \cos x} \right)$$

$$\Leftrightarrow \left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \sin x - 2{{\cos }^2}x} \right) = 0$$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\1 + \sin x - 2{\cos ^2}x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\2{\sin ^2}x + \sin x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\\sin x = - 1\\\sin x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + l2\pi \\x = \frac{\pi }{6} + m2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + n2\pi \end{array} \right.$(với $k;k;m;n \in Z$)

Kết luận: $x = k2\pi$;$x = \frac{{ - \pi }}{2} + l2\pi$;$x = \frac{\pi }{6} + m2\pi$;$x = \frac{{5\pi }}{6} + n2\pi$là các nghiệm của phương trình