Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Chuyên Trần Phú (Hải Phòng) năm 2023-2024 (có đáp án)

Chọn B

Giá trị đại diện của nhóm $\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)$ là $\frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}.$

Chọn D

Thống kê số nguyện vọng đăng kí vào đại học của các học sinh lớp C như sau

Cỡ của mẫu là $n = 5 + 18 + 13 + 7 = 43$

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{43}}$là số nguyện vọng đăng kí vào đại học của học sinh lớp C. Giả sử dãy này được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó trung vị là ${x_{22}}$. Do đó giá rị này ${x_{22}}$thuộc nhóm $\left[ {3{,}5;6{,}5} \right)$ nên nhóm này chứa trung vị.

Do đó $p = 2;{a_2} = 3{,}5;{m_2} = 18;{m_1} = 5;{a_3} - {a_2} = 6{,}5 - 3{,}5 = 3$

Ta có ${M_e} = 3{,}5 + \frac{{\frac{{43}}{2} - 5}}{{18}}.3 = 6{,}25$

Chọn D

Vì $1rad = {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^0} \Rightarrow \frac{{ - 3\pi }}{{16}} = {\left( {\frac{{ - 3\pi }}{{16}}.\frac{{180}}{\pi }} \right)^0} = {\left( {\frac{{ - 135}}{4}} \right)^0} = - {33^0}45'$

Chọn B

Ta có $\tan 2a = \tan \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a - b} \right)} \right] = \frac{{\tan \left( {a + b} \right) + \tan \left( {a - b} \right)}}{{1 - \tan \left( {a + b} \right).\tan \left( {a - b} \right)}} = \frac{{7 + 4}}{{1 - 7.4}} = - \frac{{11}}{{27}}$

Chọn A

Đặt t=sin x, điều kiện cho $t \in \left[ { - 1;1} \right]$

Khi đó $y = {t^2} - 4t - 5$ với $t \in \left[ { - 1;1} \right]$ có $a = 1 > 0$; $x = - \frac{b}{{2a}} = 2 \Rightarrow f(2) = - 9$

Bảng biến thiên

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$ là – 8 khi $t = 1$ hay $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Chọn A

Ta có ${u_1} = 0 = \frac{{1 - 1}}{1}$; ${u_2} = \frac{1}{2} = \frac{{2 - 1}}{2}$;${u_3} = \frac{2}{3} = \frac{{3 - 1}}{3}$;…;${u_n} = \frac{{n - 1}}{n}.$

Chọn C

Phương trình $\cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 = \cot \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{ - \pi }}{6} + \frac{{k\pi }}{1};$

Và $\frac{k}{1}$là phân số tối giản nên $m = 1,n = 6$

Khi đó, giá trị của $n - m = 6 - 1 = 5$

Chọn C

Biểu thức $A = \sin \left( {\pi + x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + \cot \left( {2\pi - x} \right) + \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right)$

Biểu thức $= - \sin x + \sin x - \cot x + \cot x = 0$

Chọn A

$\sin x.\left( {2\cos x - \sqrt 3 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\2\cos x - \sqrt 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \cos \frac{\pi }{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}$

Chọn A

$\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}$

Do $x \in \left[ {\pi ;5\pi } \right]$hay $\pi \le \frac{\pi }{4} + k2\pi \le 5\pi ,\;k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 1 \le \frac{1}{4} + k2 \le 5,\;k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{3}{8} \le k \le \frac{{19}}{8},\;k \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1\\k = 2\end{array} \right.$

Chọn A

Phương trình lượng giác $\cos x - m = 0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \cos x = m$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <- 1\end{array} \right.$

Chọn A

Hàm số $y = \sin x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$

Do đó hàm số $y = \sin \left( {3x + 5} \right)$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{3}.$ vì $\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow x \pm \frac{{2\pi }}{3} \in \mathbb{R}$

Và ${m_1} + {m_2} = 7 + 14 = 21$$f\left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \sin \left[ {3\left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + 5} \right] = \sin \left( {3x + 5} \right) = f(x)$ và $T = \frac{{2\pi }}{3} > 0.$ bé nhất

Chọn D

Cỡ mẫu $n = 128$

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là $\frac{{{x_{32}} + {x_{33}}}}{2}$; Do đó ${x_{32}},{x_{33}}$ thuộc nhóm $\left[ {{\rm{25}};30} \right)$ nên nhóm này chứa ${Q_1}$

Do đó $p = 3$; ${a_3} = 25$; ${m_3} = 25$, ${m_1} + {m_2} = 21$; ${a_4} - {a_3} = 30 - 25 = 5$

Do đó ${Q_1} = 25 + \frac{{\frac{{128}}{4} - 21}}{{25}}.5 = \frac{{136}}{5}$

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là $\frac{{{x_{96}} + {x_{97}}}}{2}$; Do đó ${x_{96}},{x_{97}}$ thuộc nhóm $\left[ {{\rm{35}};40} \right)$ nên nhóm này chứa ${Q_3}$

Do đó $p = 5$; ${a_5} = 35$; ${m_5} = 21$, ${m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4} =$; ${a_4} - {a_3} = 30 - 25 = 5$

Do đó ${Q_1} = 25 + \frac{{\frac{{128}}{4} - 21}}{{25}}.5 = \frac{{136}}{5}$

Chọn B

Ta có $\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a$ mà

$$\sin a = \frac{5}{{13}};\,\,\left( {\frac{\pi }{2} < a < \pi } \right) \Rightarrow \cos a = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}a} = - \sqrt {1 - \frac{{25}}{{169}}} = - \frac{{12}}{{13}}$$

$$\,\cos b = \frac{3}{5}\,\,;\left( {0 < b < \frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \sin b = \sqrt {1 - {{\cos }^2}b} = \sqrt {1 - \frac{9}{{25}}} = \frac{4}{5}$$

Do đó $\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a = \frac{5}{{13}}.\frac{3}{5} - \frac{{12}}{{13}}.\frac{4}{5} = - \frac{{33}}{{65}}$

Chọn B

$\cos 2a = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 2{\cos ^2}a - 1 = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {\cos ^2}a = \frac{5}{8}$

$\sin a = \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}a} = \pm \sqrt {1 - \frac{5}{8}} = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{4}$

Do đó giá trị của $\left| {\sin 2a\cos a} \right| = \left| {2\sin a.{{\cos }^2}a} \right| = \left| {2.\left( { \pm \frac{{\sqrt 6 }}{4}} \right).\frac{5}{8}} \right| = \frac{{5\sqrt 6 }}{{16}}$.

Chọn C

Để phương trình $\sin 2x = 7m + 3$ có nghiệm $x \in \left[ {0\;;\;\frac{{7\pi }}{{12}}} \right]$

$\Leftrightarrow 0 \le x \le \frac{{7\pi }}{{12}} \Leftrightarrow 0 \le 2x \le \frac{{7\pi }}{6} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le \sin 2x \le 1 \Rightarrow - \frac{1}{2} \le 7m + 3 \le 1 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le m \le - \frac{2}{7}$

Chọn C

$2\cos \,x + \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Chọn B

Xét ${u_n} = {\left( { - 3} \right)^{n + 1}}$: ${u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( { - 3} \right)^{n + 2}} - {\left( { - 3} \right)^{n + 1}} = - 4.{\left( { - 3} \right)^{n + 1}}$do đó không là cấp số cộng

Xét ${u_n} = 3n + 1.$${u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) + 1 - 3n + 1 = 3$là cấp số cộng

Chọn C

Giả sử đa giác đã cho có $n$ cạnh thì chu vi đa giác đó là ${S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}$ với ${u_1};{u_2};...;{u_n}$lần lượt là số đo các cạnh của đa giác $\left( {0 < {u_1} < {u_2} < ... < {u_n} = 44{\kern 1pt} {\kern 1pt} cm} \right)$

Suy ra ${S_n} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right).n}}{2}$ hay $158 = \frac{{\left( {{u_1} + 44} \right)}}{2}.n \Leftrightarrow 316 = \left( {{u_1} + 44} \right).n \Leftrightarrow n = \frac{{316}}{{{u_1} + 44}}$

Do $n \in \mathbb{N}$ nên ${u_1} + 44$ là ước nguyên dương của $316$ mà $316 = {2^2}.79$

Suy ra ${u_1} + 44 \in \left\{ {2;4;79;158;316} \right\}$

Với ${u_1} + 44 = 2 \Leftrightarrow {u_1} = - 42 < 0$loại

Với ${u_1} + 44 = 4 \Leftrightarrow {u_1} = - 40 < 0$loại

Với ${u_1} + 44 = 79 \Leftrightarrow {u_1} = 35 \Rightarrow n = \frac{{316}}{{79}} = 4$

Với ${u_1} + 44 = 158 \Leftrightarrow {u_1} = 114 \Rightarrow n = \frac{{316}}{{114 + 44}} = 2$loại do đa giác không có cạnh bằng 2

Với ${u_1} + 44 = 316 \Leftrightarrow {u_1} = 272 \Rightarrow n = 1$loại do đa giác không có cạnh bằng 1

Vậy đa giác đã cho có 4 cạnh

Ta đổi độ sang rad có ${30^0} = \frac{\pi }{6}$

Áp dụng công thức tính độ dài của cung tròn $l = R\alpha = 15.\frac{\pi }{6} = \frac{{5\pi }}{2}\left( {cm} \right)$

Chọn B

Tứ phân vị thứ nhất $\left( {{Q_1}} \right)$là giá trị ở đó $25\%$số liệu mẫu nhỏ hơn và $75\%$ số liệu mẫu lớn hơn.

Là định nghĩa của tứ phân vị thứ nhất

Còn lại không thỏa mãn

Chọn B

Trong mỗi khoảng doanh thu, giá trị đại diện l trung bình cộng của hai giá trị hai đầu mút nên ta có bảng

Số ngày bán hàng là $n = 20$

Doanh thu bán hàng trong 20 ngày trung bình là $\overline x = \frac{{2.6 + 7.8 + 7.10 + 12.3 + 14.1}}{{20}} = 9{,}4$

Chọn D

Tần số lớn nhất là 10 nên nhóm chứa một là ${\rm{[1}}0{,}5;20{,}5)$. Ta có $j = 2;{a_2} = 10{,}5,{m_2} = 10,{m_1} = 2,{m_3} = 6,h = 20{,}5 - 10{,}5 = 10$

Do đó ${M_0} = 10{,}5 + \frac{{10 - 2}}{{\left( {10 - 2} \right) + \left( {10 - 6} \right)}}.10 = 17{,}2$

Chọn A

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_n} = {u_{n - 1}} + 2n\\{u_{n - 1}} = {u_{n - 2}} + 2\left( {n - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {u_n} = {u_1} + 2\left( {2 + 3 + ... + n} \right) = \frac{1}{2} + \left( {n + 2} \right)\left( {n - 1} \right)$

Do đó ${u_{50}} = \frac{1}{2} + \left( {50 + 2} \right)\left( {50 - 1} \right) = 2548{,}5$

Chọn C

Ta có ${u_n} = {u_{n - 1}} - 3 \Leftrightarrow {u_n} - {u_{n - 1}} = - 3 = d$ do đó dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng với ${u_1} = 150$ và $d = - 3$

Tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là ${S_{100}} = \frac{{100}}{2}\left( {2.150 + 99.( - 3)} \right) = 150$

Chọn D

Hàm số $y = \frac{{\tan x}}{{\cos x - 1}}$xác định $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\cos x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k2\pi \end{array} \right..$

Chọn C

Ta có cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_n} = \frac{5}{{{2^n}}}$ nên ${u_1} = \frac{5}{2}$; công bộ $q = \frac{1}{2}$

Tổng của số hạng đầu của cấp số nhân là ${S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} \Rightarrow {S_3} = \frac{{\frac{5}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{2^3}}}} \right)}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{35}}{8}$

Chọn D

Ta có $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin 2\alpha = - \frac{3}{4}$

Chọn B

Do $\frac{{7\pi }}{4} < \alpha < 2\pi$ nên $\alpha \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)$ suy ra $\cos \alpha > 0;$$\sin \alpha < 0;$$\tan \alpha < 0;$$\cot \alpha < 0.$

Chọn D

Hàm số $y = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}.$ không là hàm số lẻ

Hàm số $y = \frac{{\cos x}}{{x + {x^2}}}.$không là hàm số lẻ vì tập xác định không đối xứng qua điểm 0

Hàm số $y = \frac{{\sin x}}{{1 - \sin x}}.$ không là hàm số lẻ

Hàm số $y = \frac{{\tan x}}{{1 + {{\sin }^2}x}}.$ là hàm số lẻ vì

Tập xác định $D = \mathbb{R}$

Có $f( - x) = \frac{{\tan \left( { - x} \right)}}{{1 + {{\sin }^2}\left( { - x} \right)}} = - \frac{{\tan x}}{{1 + {{\sin }^2}x}} = - f(x)$

Chọn A

Để tính số tiền thưởng vào cuối năm thứ 10, ta cần tính số tiền thưởng của năm đầu tiên và sau đó tăng dần theo tỷ lệ 5% mỗi năm

Số tiền thưởng của năm đầu tiên là 180 triệu đồng

Số tiền thưởng của năm thứ hai là $180 + 5\% *180 = 189$ triệu đồng

Số tiền thưởng của năm thứ ba là $189 + 5\% *189 = 198{,}45$ triệu đồng

…

Số tiền thưởng của năm thứ 10 là $180 + 5\% *180*9 = 261$ triệu đồng

Vậy số tiền thưởng gần nhất là 261 triệu đồng

Chọn A

Sau lần tăng giá thứ nhất thì giá của mặt hàng A là ${M_1} = 100 + 10\% = 110$

Sau lần tăng giá thứ hai thì giá của mặt hàng A là ${M_2} = 110 + 110.10\% = 121$

Chọn D

Ta có $n = 1 \Rightarrow {u_1} = \frac{6}{5}$ và $\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{\frac{3}{5}{2^n}}}{{\frac{3}{5}{2^{n - 1}}}} = 2$

Chọn A

Xét ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + 2}}{{n + 2}} - \frac{{an + 2}}{{n + 1}} = a - 2$

Để dãy $\left( {{u_n}} \right)$ tăng $\Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} > 0,\forall n$ hay $a - 2 > 0 \Leftrightarrow a > 2$

Tính $cos\alpha$ .Ta có ${\sin ^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1 \Rightarrow co{s^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$

$\Rightarrow cos\alpha = \pm \frac{1}{3}$ . Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow cos\alpha = - \frac{1}{3}$

Ta có $\sin \left( {\alpha- \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{4} - \cos \alpha \sin \frac{\pi }{4}$=$= \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{ - 1}}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \,\frac{{4 + \sqrt 2 }}{6}$

Ta có ${u_1} = 700,\,\,d = - 45$

Công thức truy hồi là ${u_{n + 1}} = {u_n} - 45$.

Công thức tổng quát là ${u_n} = {u_1} - 45(n - 1).$

Sau 6 năm sử dụng giá còn lại của xe là

${u_7} = {u_1} + 6{\rm{d}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{700}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{6}}{\rm{.45}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{430}}$triệu đồng.

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}{\rm{tanx}} \ne \sqrt 3 \\c{\rm{osx}} \ne 0\end{array} \right.$ (*)

$\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow \sin 2x - 2\cos x + \sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2\sin x\cos x + \sin x - 2\cos x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow (2\cos x + 1)(\sin x - 1) = 0\end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.k \in \mathbb{Z}$

Kết hợp điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là $x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi$ .

Số tiền du khách đặt cược trong mỗi lần chơi là một cấp số nhân có ${u_1} = 100\,000$ và công bội $q = 2.$ Du khách thua trong $5$ lần chơi đầu tiên nên tổng số tiền thua là

${S_5} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {2^5}} \right)}}{{1 - 2}} = 3100000$ đồng

Số tiền mà du khách đã đặt cược trong lần thứ 6 là${u_6} = {u_1}.{q^5} = 3200000$ đồng. Do số tiền đã nhận khi thắng bằng hai lần tiền đặt cược nên số tiền đã thắng ở lần chơi này là $2.3200000 - 3200000 = 3200000$.

Ta có $3200000 - 3100000 = 100000 > 0$ nên du khách thắng 100 nghìn đồng sau 6 lần chơi.