Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Đà Nẵng) năm 2023-2024 (có đáp án)

Chọn B

Với mọi $t \in \mathbb{R}$, ta có:

$- 4 \le 4\sin \left[ {\frac{\pi }{8}\left( {t - 9} \right)} \right] \le 4 \Leftrightarrow 23 \le 4\sin \left[ {\frac{\pi }{8}\left( {t - 9} \right)} \right] + 27 \le 31$

$\Rightarrow \mathop {\max }\limits_\mathbb{R} h\left( t \right) = 31$ khi $\sin \left[ {\frac{\pi }{8}\left( {t - 9} \right)} \right] = 1 \Leftrightarrow t = 13 + 16k,k \in \mathbb{Z}$

$t \in \left[ {0;24} \right] \Rightarrow t = 13$

Vậy nhiệt độ cao nhất trong ngày $31^\circ {\rm{C}}$, lúc 13 giờ.

Chọn A

Sđ$\left( {OA,OB} \right) = \frac{\pi }{4} + 2.2\pi = \frac{{17\pi }}{4}$

Chọn B

Kích thước mẫu: $N = 5 + 7 + 25 + 15 + 9 = 61$

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{61}}$ là số lượng truyện bán ra trong hai tháng được sắp xếp tăng dần

$N = 61$ lẻ. Trung vị của mẫu số liệu trên là: ${M_e} = {x_{31}}$

Trung vị nằm trong nhóm $\left[ {28;35} \right)$, ta có:

${M_e} = 28 + \frac{{\frac{{61}}{2} - \left( {5 + 7} \right)}}{{25}}\left( {35 - 28} \right) = 33{,}18$

Chọn D

$\begin{array}{l}P = \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right) - \cos \left( {5\pi - x} \right) + \tan \left( { - x} \right) + \cot \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\\\,\,\,\,\, = - \cos x + \cos x - \tan x - \tan x = - 2\tan x\end{array}$

Chọn C

Gọi tiên lương bác Y năm thứ $n$ là ${u_n} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng với ${u_1} = 42$ triệu công sai $d = 2{,}4$

Từ năm $37$tuổi đến năm $60$tuổi bác làm việc số năm là: $60 - 37 + 1 = 24$ năm

Tiên lương của bác Y năm $60$ tuổi là: ${u_{24}} = {u_1} + 23d = 42 + 23.2{,}4 = 97{,}2$

Chọn C

Nhóm xe chạy chiếm số lượng nhiều nhất là: $\left[ {90;100} \right)$

Mốt của mẫu số liệu trên là: ${M_0} = 90 + \frac{{50 - 35}}{{\left( {50 - 35} \right) + \left( {50 - 40} \right)}}\left( {100 - 90} \right) = 96$

Vậy loại xe chạy xấp xỉ với tốc độ $96\,km/h$ chiếm số lượng nhiều nhất

Chọn D

Giá trị trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\bar x = \frac{{10.3 + 14.7 + 31.11 + 2.15 + 5.19 + 23.23}}{{10 + 14 + 31 + 2 + 5 + 23}} \approx 13{,}2$.

Chọn C

Với $\frac{\pi }{2} < x < \pi \Rightarrow \cot x < 0$

$\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x \Leftrightarrow \frac{{25}}{9} = 1 + {\cot ^2}x \Leftrightarrow {\cot ^2}x = \frac{{16}}{9} \Rightarrow \cot x = - \frac{4}{3}\quad \left( {\cot x < 0} \right)$

Chọn B

Gọi tiên lương bác Y năm thứ $n$ là ${u_n} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân với ${u_1} = 42$ triệu công công bội $q = 1{,}05$

Tổng số tiền lương bác Y nhận được sau 15 năm là: ${S_{15}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{15}}}}{{1 - q}} = 42.\frac{{1 - 1,{{05}^{15}}}}{{1 - 1{,}05}} \approx 906{,}3$

Chọn A

${u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{2\left( {n + 2} \right) - 3}}{{n + 2}} = 2 - \frac{3}{{n + 2}} \Rightarrow 0 < {u_n} < 2,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$

Suy ra $\left( {{u_n}} \right)$là dãy số bị chặn

${u_{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 3}}$

$\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{3}{{n + 2}} - \frac{3}{{n + 3}} = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$

Suy ra $\left( {{u_n}} \right)$là dãy số tăng

Chọn B

Ta có: $l = \frac{{4\pi }}{3};\alpha = \frac{{2\pi }}{3} \Rightarrow \alpha = \frac{l}{R} \Leftrightarrow R = \frac{l}{\alpha } = \frac{{4\pi }}{3}.\frac{3}{{2\pi }} = 2\quad \left( {cm} \right)$

Vậy đường kính của đường tròn là: $2R = 2.2 = 4\quad \left( {cm} \right)$

Chọn C

Ta có:

${\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x.\cos x + {\cos ^2}x = \frac{1}{9} \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{1}{9} - 1 \Leftrightarrow \sin 2x = - \frac{8}{9}$

$\cos 4x = 1 - 2{\sin ^2}2x = 1 - 2.{\left( { - \frac{8}{9}} \right)^2} = - \frac{{47}}{{81}}$

Chọn C

${u_1} = 1;{u_2} = 4$

${u_3} = {u_1} - {u_2} = 1 - 4 = - 3$

${u_4} = {u_2} - {u_3} = 4 - \left( { - 3} \right) = 7$

${u_5} = {u_3} - {u_4} = - 3 - 7 = - 10$

Chọn A

$\left. \begin{array}{l}{u_n} = \frac{{n - 2}}{{3n - 1}}\\{u_{n + 1}} = \frac{{n - 1}}{{3n + 2}}\end{array} \right\} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{5}{{\left( {3n - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$

Suy ra dãy số $\left( {{u_n}} \right)$với ${u_n} = \frac{{n - 2}}{{3n - 1}}$ là dãy số tăng

Chọn D

Giá trị đại diện của nhóm là: $\frac{{1{,}5 + 4{,}5}}{2} = 3$

Chọn D

$A = \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + \cos 2x} \right) = \frac{1}{2}\left( { - \frac{1}{2} + \frac{3}{4}} \right) = \frac{1}{8}$

Chọn A

Gọi $\left( {{u_n}} \right)$là cấp số nhân cần tìm ta có:

${u_1} = \frac{1}{2};{u_2} = 1;..;{u_n} = 1024$

$q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2$

${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \Leftrightarrow 1024 = \frac{1}{2}{.2^{n - 1}} \Leftrightarrow {2^{n - 2}} = {2^{10}} \Leftrightarrow n - 2 = 10 \Leftrightarrow n = 12$

Chọn C

$\tan x + \frac{1}{{\sqrt 3 }} = 0 \Leftrightarrow \tan x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn B

$-{695}^{^{\circ}}=25^{\circ}-2.360^{\circ}$ suy ra nằm góc phần tư thứ nhất.

Chọn A

Cỡ mẫu là: $N = 11 + 22 + 45 + 58 + 36 + 28 = 200$

Chọn D

Ta có: $\left( {Ou,Ov} \right) + \left( {Ov,Ow} \right) = \left( {Ou,Ow} \right) + k.360^\circ$

$100^\circ + \left( {Ov,Ow} \right) = - 320^\circ + k360^\circ \Leftrightarrow \left( {Ov,Ow} \right) = - 420^\circ + k360^\circ = - 60^\circ + \left( {k - 1} \right).360^\circ$

Suy ra số đo của góc lượng giác $\left( {Ov,Ow} \right) = - 60^\circ + k360^\circ ,k \in \mathbb{Z}$

Chọn A

${u_1}$ là số lẻ nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng $1 \Rightarrow {u_1} = 1$.

${u_2}$ là số lẻ nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng $2 \Rightarrow {u_2} = 3$.

${u_3}$ là số lẻ nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng $3 \Rightarrow {u_3} = 3$.

${u_4}$ là số lẻ nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng $4 \Rightarrow {u_4} = 5$.

${u_5}$ là số lẻ nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng $5 \Rightarrow {u_5} = 5$.

Chọn B

${u_{10}} = {u_1} + 9d = 7 + 9\left( { - 3} \right) = - 20$

Chọn D

$M = \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x + \sin x - \sin x = \cos x$.

$y = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x$

+ TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

+ TGT: $T = \left[ { - 1;1} \right]$.

+ Là HS lẻ và tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$.

+ Đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)\,,\,k \in \mathbb{Z}$.

+ Đồ thị là một đường hình sin, đối xứng qua gốc tọa độ.

b)

PTHĐGĐ: $\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = 1 - 2{\cos ^2}x \Leftrightarrow \sin x = - \cos 2x$

$\Leftrightarrow \sin x = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi - 2x + \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{2\pi }}{3}\,,\,k \in \mathbb{Z}$

Cỡ mẫu: $n = 19$.

Gọi ${x_1},{x_2},...,{x_{19}}$ lần lượt là diện tích của 19 tỉnh và thành phố khu vực Nam Bộ và giả sử dãy này đã được xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất là ${x_5}$ thuộc nhóm 1: ${Q_1} = 1000 + \frac{{\frac{{19}}{4} - 0}}{7}.1500 = \frac{{14125}}{7} \approx 2017{,}86$.

Tứ phân vị thứ hai là ${x_{10}}$ thuộc nhóm 2: ${Q_2} = 2500 + \frac{{\frac{{19}}{2} - 7}}{6}.1500 = 3125$.

Tứ phân vị thứ ba là ${x_{15}}$ thuộc nhóm 3: ${Q_3} = 4000 + \frac{{\frac{{3.19}}{4} - 13}}{3}.1500 = 4625$.

a)
Gọi ${u_1} = 700$ (triệu đồng) là giá trị ban đầu của xe ô tô.

Sau mỗi năm sử dụng giá trị xe giảm trung bình 55 triệu đồng nên xem đây là cấp số cộng với công sai $d = - 55$.

Giá trị của xe còn lại sau 8 năm sử dụng là ${u_9} = {u_1} + 8d = 260$ (triệu đồng).

b)

Gọi A là số tiền vay, r là lãi suất/tháng, X là số tiền trả hàng tháng cho ngân hàng

Dùng CSN chứng minh được công thức số tiền còn nợ ngân hàng sau n tháng là:

${S_n} = A{\left( {1 + r} \right)^n} - X\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{r}$

Sau 5 năm (60 tháng) trả hết nợ thì ${S_n} = 0$ và $n = 60$ nên $X = \frac{{A.r.{{\left( {1 + r} \right)}^n}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}} = 10.466.755{,}159975749$.

KL: số tiền tối thiểu phải trả hàng tháng (làm tròn đến hàng nghìn) là: $X = 10.467.000$

Theo đề ta có $\widehat {HBA} = \frac{\pi }{{10}}\,\,,\,\,\widehat {HCA} = \frac{\pi }{{12}}$

Khoảng cách giữa hai xe ô tô: $BC = HC - HB = \frac{{10}}{{\tan \frac{\pi }{{12}}}} - \frac{{10}}{{\tan \frac{\pi }{{10}}}}$

$\tan \frac{\pi }{{12}} = \tan \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{3} - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan \frac{\pi }{3}.\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{1 + \sqrt 3 }} = 2 - \sqrt 3$

Ta có: $\cos \frac{{2\pi }}{{10}} = \sin \frac{{3\pi }}{{10}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 - 2{\sin ^2}\frac{\pi }{{10}} = 3\sin \frac{\pi }{{10}} - 4{\sin ^3}\frac{\pi }{{10}}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \frac{\pi }{{10}} = 1\,\,\,\,\left( L \right)\\\sin \frac{\pi }{{10}} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{4}\,\,\,\,\left( N \right)\\\sin \frac{\pi }{{10}} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}\,\,\,\,\left( L \right)\end{array} \right.\end{array}$

+ $\cos \frac{\pi }{{10}} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{\pi }{{10}}} = \frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }}{4}$

+ $\tan \frac{\pi }{{10}} = \frac{{\sin \frac{\pi }{{10}}}}{{\cos \frac{\pi }{{10}}}} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }}$

Vậy $BC = \frac{{10}}{{2 - \sqrt 3 }} - 10\frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }}{{\sqrt 5 - 1}} = 10\left( {2 + \sqrt 3 } \right) - \frac{5}{2}.\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } \left( {\sqrt 5 + 1} \right)$.