Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Chuyên Lê Khiết (Quảng Ngãi) năm 2023-2024 (có đáp án)

Chọn D

Vì $\cos \left( { - x} \right) = \cos x$ nên hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn.

Chọn D

Ta có: ${u_5} = 3 + {4.5^2} = 103$.

Chọn A

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = - 3{u_n},{\rm{ }}n \ge 1\end{array} \right.$ là cấp số nhân vì $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = - 3$ là hằng số không đổi với $\forall n \ge 1$.

Chọn C

Phương trình $\cos x = m$ vô nghiệm khi và chỉ khi $\left| m \right| > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 1\end{array} \right.$

Chọn C

Ta có: $\sin x = - 1$$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}$.

Chọn D

Ta có: $\sin x \ne 0$$\Leftrightarrow x \ne k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}$.

Tập xác định là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Chọn D

Vì $\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi$ nên điểm cuối của góc $\alpha$ thuộc cung phần tư thứ $IV$. Suy ra $\cos \alpha > 0$.

Chọn C

Ta có: ${u_2} = {u_1} + d = 2 + \left( { - 3} \right) = - 1$.

Chọn B

Ta có: $q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{1}{2}$

Chọn B

Độ dài của nhóm $\left[ {1;10} \right)$ bằng $10 - 1 = 9$.

Chọn A

$3\tan \,x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \tan \,x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \tan \,x = \tan \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow$$x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}$.

Chọn D

Ta có: $n = 86$

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là $\frac{{{x_{21}} + {x_{22}}}}{2}$. Do đó ${x_1},{x_2}$ đều thuộc nhóm $\left[ {5;6} \right)$ nên nhóm này chứa ${Q_1}$. Do đó $p = 2;{a_2} = 5;{m_1} = 10;{a_3} - {a_2} = 1$ và ta có: ${Q_1} = 5 + \frac{{\frac{{86}}{4} - 10}}{{18}}.1 = 5{,}64$.

Vậy $75\%$ học sinh khối 11 ngủ ít nhất $5{,}64$ giờ.

Chọn C

Dựa vào đồ thị, ta có: Hàm số $y = \sin x$ nghịch biến trên khoảng $\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)$

Chọn A

Ta có: $P = \tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 - \tan \alpha \tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\frac{3}{5} + 1}}{{1 - \frac{3}{5}.1}} = 4$

Chọn A

Ta có: $M = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right).\cot \left( {\pi + \alpha } \right) = - \cos \alpha \cot \alpha = - \sin \alpha \Rightarrow M > 0$

Chọn C

Ta có: $q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 4 \Rightarrow x = 8.4 = 32$

Chọn D

Ta có: $q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 3 \Rightarrow {u_n} = {3.3^{n - 1}} = {3^n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Chọn C

Ta có: ${u_1} = {S_1} = - 4;{S_2} = {u_1} + {u_2} = - \frac{{13}}{2} \Rightarrow {u_2} = - \frac{{13}}{2} - {u_1} = - \frac{5}{2} \Rightarrow d = {u_2} - {u_1} = \frac{3}{2}$

Chọn B

Ta có: $\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$

$x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}$.

Chọn C

Ta có: $M = \cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right){\rm{sin}}\left( {a - b} \right) = \cos \left( {\left( {a + b} \right) - \left( {a - b} \right)} \right) = \cos 2b$.

Chọn A

Do $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ $\Rightarrow \sin \alpha = - \sqrt {1 - co{{\rm{s}}^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}$

Chọn C

Do $- 1 \le \sin \left( {2023x + 2024} \right) \le 1 \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {2023x + 2024} \right) \le \sqrt 2$

$\Leftrightarrow - \sqrt 2 \le y \le \sqrt 2 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in \mathbb{R}} y = - \sqrt 2$

Chọn A

Ta có: Tấn số lớn nhất ở nhóm $\left[ {60;80} \right) \Rightarrow {M_O} = 60 + \frac{{31 - 23}}{{\left( {31 - 23} \right) + \left( {31 - 29} \right)}}.20 = 76$

Chọn C

Có ${u_2} = {u_1} + 1 = 5;{u_3} = {u_2} + 2 = 7;{u_4} = {u_3} + 3 = 10$

Chọn C

Có $94 = - 5 + \left( {n - 1} \right).3 \Leftrightarrow n = 34$

$\left( {2\sin x + 2} \right)\left( {2\cos x - \sqrt 3 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x + 2 = 0\\2\cos x - \sqrt 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

$(1) \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = \frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi ,\,\,\,k \in \mathbb{Z}$.

$(2) \Leftrightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,\,\,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {\frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi ; \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_6} = 36\\{u_2} + {u_4} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 5d = 36\\2{u_1} + 4d = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 19\\d = 11\end{array} \right.$.

Tổng $50$ số hạng đầu của cấp số này là ${S_{50}} = \frac{{50.\left( {2{u_1} + 49d} \right)}}{2} = \frac{{50.\left[ {2.\left( { - 19} \right) + 49.11} \right]}}{2} = 12525$.

Gọi diện tích được tô màu ở bước thứ $n$ là ${u_n},n \in {\mathbb{N}^*}$.

Dãy các giá trị ${u_n}$ là một cấp số nhân với số hạng đầu ${u_1} = \frac{4}{9}S$ và công bội $q = \frac{1}{9}$.

Gọi ${S_k}$ là tổng của $k$ số hạng đầu trong cấp số nhân đang xét thì ${S_k} = \frac{{{u_1}\left( {{q^k} - 1} \right)}}{{q - 1}}$.

Để tồng diện tích phần được tô màu chiếm ít nhất $49{,}99\%$ diện tích hình vuông ${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ thì ${S_k} \ge 0{,}4999S \Leftrightarrow {9^k} \ge 5000$.

Do đó cần ít nhất 4 bước.

Vì $\cos \left[ {\frac{\pi }{{118}}(t - 61)} \right] \ge - 1 \Leftrightarrow 9 - 2\cos \left[ {\frac{\pi }{{118}}(t - 61)} \right] \le 11$

Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất khi

$y = 11 \Leftrightarrow \cos \left[ {\frac{\pi }{{118}}\left( {t - 61} \right)} \right] = - 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{{118}}\left( {t - 61} \right) = \pi + k2\pi \Leftrightarrow t = 179 + 236k,\,\,\,k \in \mathbb{Z}$.

Do $0 < t \le 365 \Leftrightarrow 0 < 179 + 236k \le 365 \Leftrightarrow - \frac{{179}}{{236}} < k \le \frac{{186}}{{236}}$

Mà $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow t = 179$.

Rơi vào ngày 28 tháng 6 (vì ta đã biết tháng 1,3 và 5 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2023 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày).