Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Chuyên Hùng Vương (Phú Thọ) năm 2023-2024 (có đáp án)

Chọn A

Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {CDA} \right)$ là đường thẳng $AC$.

Chọn D

Khẳng định đúng $\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}$.

Chọn C

Phương trình $\sin x = 0{\rm{,}}6$ có hai nghiệm trên khoảng $\left( {0;2\pi } \right)$ nên có bốn nghiệm trên khoảng $\left( {0;4\pi } \right)$.

Chọn A

$\left( {OA,OM'} \right) = {50^0} + {180^0} + k{360^0} = {230^0} + k{360^0}$.

Chọn B

Hai đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng duy nhất.

Chọn D

Ta có: $\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}$, do đó đáp án D sai.

Chọn D

Ta có: $\tan x = - 1 \Leftrightarrow x = \frac{{ - \pi }}{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.$.

Chọn A

Ta có: $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.$

Chọn D

Tập giá trị của hàm số $y = \tan x$ là $T = \mathbb{R}$, do đó đáp án D sai.

Chọn B

Ta có: $- 1 \le \sin 3x \le 1,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \sin 3x \ge - 1,\forall x \in \mathbb{R}$ $\Rightarrow 1 + \sin 3x \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}.$

Do đó, hàm số đã cho có tập xác định là $D = \mathbb{R}.$.

Chọn B

Hàm số $y = \sin x + 1$ tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi$.

Hàm số $y = \tan 2x$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{\pi }{2}$.

Hàm số $y = \cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$ tuần hoàn với chu kì $T = \pi$.

Vậy hàm số $y = \cos x + x$ không là hàm số tuần hoàn.

Chọn C

$\cot \frac{{77\pi }}{6} = - \sqrt 3$.

Chọn D

$\cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right) = \left( {\cos a\cos b - \sin a\sin b} \right).\left( {\cos a\cos b + \sin a\sin b} \right)$$= {\cos ^2}a.{\cos ^2}b - {\sin ^2}a.{\sin ^2}b$$= {\cos ^2}a\left( {1 - {{\sin }^2}b} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}a} \right).{\sin ^2}b = \frac{{ - 1}}{3}$.

Chọn A

Ta có $S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SDB} \right)$.

Vì O là giao điểm của AC và DB nên $\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in DB \subset \left( {SDB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SDB} \right)$.

Vậy $\left( {SAC} \right) \cap \left( {SDB} \right) = SO.$.

Chọn D

Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x$

Hàm số này có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

$x \in D \Rightarrow - x \in D$.

$f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right) = - \sin x = - f\left( x \right)$

Do đó hàm số $y = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$ là hàm số lẻ.

Chọn C

Ta có công thức cộng: $\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b.$.

Chọn A

Với $m \in \mathbb{R}$ thì phương trình $\cot x = m$ có nghiệm.

Chọn A

$NP,\,\,MQ$ lần lượt là đường trung bình trong tam giác $SBC$ và $SAD$ nên $NP\,{\rm{//}}\,BC,\,\,MQ\,{\rm{//}}\,AD$.

Mà $BC\,\,{\rm{//}}\,AD$ nên $NP\,{\rm{//}}\,BC\,{\rm{//}}\,AD\,{\rm{//}}\,MQ$.

Vậy đường thẳng $NP$ không song song với đường thẳng $BD$.

Chọn A

Vì $M \in SC \subset \left( {SAC} \right)$ suy ra $M \in \left( {SAC} \right)$.

Chọn B

Ta có: $\alpha = {105^0} = \frac{{7\pi }}{{12}}$.

Chọn D

${\sin ^2}x = 1 - co{s^2}x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.$

Chọn C

$KH \subset \left( {MNK} \right)$, xét trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ ta có $SO$ và $KH$ cắt nhau và giao điểm này chính là giao điểm của $SO$ với $\left( {MNK} \right)$.

Chọn A

Dựa vào các điểm đi qua của đồ thị ta có kết luận, đây là đồ thị hàm số $y = \sin x$.

Chọn C

Ta có $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN//AC$.

Chọn D

Hai mặt phẳng $\left( {CMN} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$ có điểm chung thứ nhất là $C$ và $MN//BD$ nên giao tuyến là đường thẳng đi qua $C$ và song song với các đường thẳng $MN,{\rm{ BD}}$.

Chọn B

$\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}} = \frac{{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}}}{{1 + \frac{1}{3}.\frac{1}{2}}} = \frac{{ - 1}}{7}$.

Chọn C

Để tàu có thể hạ thủy thì mực nước sâu $4{,}6m$, tức là

$\begin{array}{l}h\left( t \right) = 0{,}8\cos 0{,}5t + 5 = 4{,}6 & \Leftrightarrow \cos 0{,}5t = - \frac{1}{2}\\ & \Leftrightarrow 0{,}5t = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{4\pi }}{3} + k4\pi \\t = - \frac{{4\pi }}{3} + l4\pi \end{array} \right.\,\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}$.

Do $0 \le t \le 12$ nên

Với $k = 0$, suy ra $t = \frac{{4\pi }}{3} \approx 4{,}19$ (giờ).

Với $l = 1$, suy ra $t = \frac{{2\pi }}{3} \approx 2{,}09$ (giờ).

Vậy, có 2 thời điểm trong vòng 12 tiếng sau khi thủy triều lên lần đầu tiên trong ngày tàu có thể hạ thủy.

Chọn C

Ta có $y = 6\left( {\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)} \right) - 7 = 6\cos 2x - 7$.

Do $x \in \left[ { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{6}} \right] \Leftrightarrow 2x \in \left[ { - \frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right]$ nên $- \frac{1}{2} \le \cos 2x \le 1$. Suy ra $- 10 \le y = 6\cos 2x - 7 \le - 1$.

Vậy $M = - 1$ và $m = - 10$ nên $M + m = - 11$.

Chọn B

Vì $IJ$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$ nên $IJ{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD$ và $IJ = \frac{{AB + CD}}{2}$

Do $IJ{\rm{//}}AB$ và $G \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {IJG} \right)$

$\Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {IJG} \right) = d$ (với $d$ là đường thẳng đi qua $G{\rm{//}}AB$ )

Gọi $M;N$ lần lượt là giao điểm của $d$ và $SA;SB$

Khi đó $\left( {IJG} \right) \cap \left( {SAD} \right) = MI$; $\left( {IJG} \right) \cap \left( {SAB} \right) = MN$; $\left( {IJG} \right) \cap \left( {SBC} \right) = NJ$;

$\left( {IJG} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = IJ$

Do đó tứ giác tạo bởi các giao tuyến của $(IJG)$ và các mặt hình chóp là tứ giác $MNJI$

Ta lại có $MN{\rm{//}}IJ \Rightarrow MNJI$ là hình bình hành $\Leftrightarrow MN = IJ$

Gọi $Q$ là trung điểm $AB$ $\Rightarrow S;G;Q$ thẳng hàng và $\frac{{SG}}{{SQ}} = \frac{2}{3}$

Theo hệ quả Talet và định lý Talet ta có: $\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SG}}{{SQ}} = \frac{2}{3}$

Thay $AB = 6a$ $\Rightarrow MN = 4a$ $\Rightarrow IJ = 4a$

Lại có $2IJ = AB + CD$ $\Rightarrow CD = 2IJ - AB = 2.4a - 6a = 2a$.

Chọn B

Gọi $AB \cap CD = K$ và $KM$ cắt $SC$ tại $N$

Khi đó $\left( {ABM} \right) \cap SC = N$

Do $AB{\rm{//}}DC \Rightarrow \frac{{KC}}{{KD}} = \frac{{BC}}{{AD}} = \frac{1}{3}$

Kẻ đường thẳng qua $C{\rm{//}}SD$ cắt $MK$ tại $L$

Ta có $\frac{{LC}}{{MD}} = \frac{{KC}}{{KD}} = \frac{1}{3}$ ( hệ quả Talet )

Mặt khác $LC{\rm{//}}SM$ nên theo Talet ta có:

$\frac{{NC}}{{NS}} = \frac{{LC}}{{SM}} = \frac{{2LC}}{{MD}} = \frac{2}{3}$ ( do giả thiết $SM = \frac{1}{3}SD \Rightarrow DM = 2SM$ )

Vì $\frac{{NC}}{{NS}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{SN}}{{SC}} = \frac{3}{5}$.

Ta có $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \sin \alpha > 0 \Rightarrow \sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.$

$\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \alpha .\cos \frac{\pi }{4} + \cos \alpha .\sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{6}.$.

Quan sát đồ thị hàm số $y = \cos x$ trên $\left( {\frac{{ - \pi }}{2};3\pi } \right)$

Ta thấy đường thẳng $y = - \frac{1}{3}$ cắt đồ thị hàm số $y = \cos x$ tại 3 điểm phân biệt trên $\left( {\frac{{ - \pi }}{2};3\pi } \right)$, nên phương trình $\cos x = \frac{{ - 1}}{3}$ có 3 nghiệm thuộc $\left( {\frac{{ - \pi }}{2};3\pi } \right)$.

a) $2\cos x - \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi$.

Vậy $S = \left\{ { \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

b) Ta có $- 1 \le \sin \left( {160\pi t} \right) \le 1 \Leftrightarrow - 15 \le 15\sin \left( {160\pi t} \right) \le 15$

$\Leftrightarrow 110 \le 125 + 15\sin \left( {160\pi t} \right) \le 140 \Leftrightarrow 110 \le p\left( t \right) \le 140$.

Vậy người đó có huyết áp là $140/110$ cao hơn so với người bình thường.

a) Ta có $MN$ là đường trung bình trong tam giác $SDC$ nên $MN\,{\rm{//}}\,CD$.

Do $AB\,{\rm{//}}\,CD$ nên $MN\,{\rm{//}}\,AB$.

b) Ta có $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)}\\{AB\,{\rm{//}}\,CD}\\{AB \subset \left( {SAB} \right)}\\{CD \subset \left( {SCD} \right)}\end{array}} \right.$

Nên $\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = d$ với $d$ là đường thẳng qua $S$ và $d\,{\rm{//}}\,AB\,{\rm{//}}\,CD$.

Trong $\left( {SCD} \right)$, gọi $E$ là giao điểm của $d$ và $DM$.

Mà $d \subset \left( {SAB} \right)$ nên $E = DM \cap \left( {SAB} \right)$.