Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2026-2027 THPT Thăng Long (Hà Nội) có đáp án

Chọn C.

Tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng: ${S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}$.

Chọn A.

$\cos x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos \frac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \;\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn C.

${u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 1}}$.

Khi $n$ tăng thì $\frac{3}{{n + 1}}$ giảm nên ${u_n}$ tăng, và ${u_n} < 2$ với mọi $n$ nên dãy số bị chặn trên bởi $2$.

Chọn C.

Đáy $ABCD$ là hình thang đáy lớn $AB$ nên $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $I$.

Hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ có hai điểm chung là $S$ và $I$ nên giao tuyến là đường thẳng $SI$.

Chọn D.

Khi $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$, điểm biểu diễn góc $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III nên $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha < 0,$ $\tan \alpha > 0$, $\cot \alpha > 0$.

Chọn C.

${u_1} = {2^1} - 1 = 1$, ${u_2} = {2^2} - 1 = 3$ và ${u_3} = {2^3} - 1 = 7$.

Chọn B.

Bốn điểm không đồng phẳng thì ba điểm bất kì không thẳng hàng, mỗi bộ ba điểm xác định một mặt phẳng: $\left( {ABC} \right)$, $\left( {ABD} \right)$, $\left( {ACD} \right)$, $\left( {BCD} \right)$.

Có $4$ mặt phẳng.

Chọn A.

$\frac{{3\pi }}{5}{\rm{\;rad}} = \frac{{3\pi }}{5} \cdot \frac{{180^\circ }}{\pi } = 108^\circ$.

Chọn D.

Hàm số $y = \cos 3x$ có tập xác định $\mathbb{R}$ và $\cos \left( { - 3x} \right) = \cos 3x$ nên là hàm số chẵn.

Các hàm số $y = \cot 2x$, $y = \tan x$, $y = \sin 2x$ đều là hàm số lẻ.

Chọn C.

${u_{10}} = {u_1} + 9d = - 2 + 9 \cdot 3 = 25$.

Chọn B.

Điều kiện: $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi$. Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

Vì $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ nên $\sin \alpha < 0$.

Ta có ${\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( { - \frac{5}{{13}}} \right)^2} = \frac{{144}}{{169}} \Rightarrow \sin \alpha = - \frac{{12}}{{13}}$.

a) Sai. $y = 2{\sin ^2}x - \sin 2x - 1 + \sin \alpha = - \sin 2x - \cos 2x - \frac{{12}}{{13}} = - \sqrt 2 \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{{12}}{{13}}$.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- \sqrt 2 - \frac{{12}}{{13}}$.

b) Đúng. Phương trình $\sin x = \sin \alpha$ có các họ nghiệm $x = \alpha + k2\pi$ và $x = \pi - \alpha + k2\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Do $0 < \alpha < 2\pi$ nên trên khoảng $\left( {0;\,\,2\pi } \right)$ phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt là $x = \alpha$ và $x = 3\pi - \alpha$.

c) Sai. Ta có $\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = - \frac{{119}}{{169}}$ và $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{{120}}{{169}}$.

Khi đó $\cos \left( {2\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos 2\alpha \cos \frac{\pi }{3} - \sin 2\alpha \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{ - 119 - 120\sqrt 3 }}{{338}} < 0$.

d) Đúng. $\sin \alpha = - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{5}{{13}}} \right)}^2}} = - \frac{{12}}{{13}}$.

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Ta có $EF$ là đường trung bình của tam giác $SBC$ nên $EF\,{\rm{//}}\,BC,\,\,EF = \frac{1}{2}BC$.

$OP$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $OP\,{\rm{//}}\,BC$.

Hai mặt phẳng $\left( {OEF} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ có điểm chung $O$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $EF,\,\,BC$ nên giao tuyến là đường thẳng qua $O$ song song với $BC$, chính là đường thẳng $OP$.

Đường thẳng này cắt $CD$ tại trung điểm $Q$ của $CD$.

Do đó $PQ\,{\rm{//}}\,BC,\,\,PQ = BC$, nên $EF\,{\rm{//}}\,PQ$ nhưng $EF = \frac{1}{2}PQ \ne PQ$.

Tứ giác $EFQP$ là hình thang, không phải hình bình hành.

b) Sai. Hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ có điểm chung $S$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $AD,\,\,BC$ nên giao tuyến là đường thẳng qua $S$ song song với $AD$, không song song với $AB$.

c) Đúng. $P \in AB$ và $P \in OP \subset \left( {OEF} \right)$.

Mặt khác $\left( {OEF} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = PQ$ và $B \notin PQ$ nên $B \notin \left( {OEF} \right)$, tức $AB$ không nằm trong $\left( {OEF} \right)$.

Vậy $AB$ cắt $\left( {OEF} \right)$ tại $P$.

d) Đúng. $EF\,{\rm{//}}\,BC$ và $BC\,{\rm{//}}\,AD$ nên $EF\,{\rm{//}}\,AD$.

Vì $\tan x = 2$ nên $\cos x \ne 0$. Chia cả tử số và mẫu số của biểu thức $A$ cho $\cos x$, ta được:

$A = \frac{{\frac{{2\sin x}}{{\cos x}} - \frac{{3\cos x}}{{\cos x}}}}{{\frac{{4\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{5\cos x}}{{\cos x}}}} = \frac{{2\tan x - 3}}{{4\tan x + 5}}$.

Thay $\tan x = 2$ vào biểu thức $A$:

$A = \frac{{2 \cdot 2 - 3}}{{4 \cdot 2 + 5}} = \frac{{4 - 3}}{{8 + 5}} = \frac{1}{{13}}$.

Suy ra: $10A = 10 \cdot \frac{1}{{13}} = \frac{{10}}{{13}} \approx 0{,}77$.

Đáp án: 0,77.

Xét tam giác $SAC$, có $M$ là trung điểm $SA$ và $Q$ là trung điểm $AC$ nên $MQ$ là đường trung bình của $\Delta SAC$. Suy ra $MQ\,{\rm{//}}\,SC$.

Hai mặt phẳng $\left( {MNQ} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ có điểm chung $N$, đồng thời lần lượt chứa hai đường thẳng song song $MQ$ và $SC$. Do đó, giao tuyến của $\left( {MNQ} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là đường thẳng đi qua $N$ và song song với $SC$.

Đường thẳng này cắt $BC$ tại $P$, suy ra $NP\,{\rm{//}}\,SC$ trong mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.

Áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác $SBC$ với $NP\,{\rm{//}}\,SC$:

$\frac{{BP}}{{BC}} = \frac{{BN}}{{BS}} = \frac{1}{4}$.

Suy ra: $PB = \frac{1}{4}BC$ suy ra $PC = BC - PB = \frac{3}{4}BC$.

Do đó, tỉ số: $\frac{{PC}}{{PB}} = \frac{{\frac{3}{4}BC}}{{\frac{1}{4}BC}} = 3$.

Đáp án: 3.

Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 15$, công sai $d = 3$ và số số hạng $n = 25$.

Tổng số ghế trong rạp hát là tổng của 25 số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

${S_{25}} = \frac{{n \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} = \frac{{25 \cdot \left[ {2 \cdot 15 + \left( {25 - 1} \right) \cdot 3} \right]}}{2} = \frac{{25 \cdot \left[ {30 + 24 \cdot 3} \right]}}{2} = \frac{{25 \cdot 102}}{2} = 1275$.

Đáp án: 1275.

Ta có: $\cos \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)$.

$\left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x + \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{4} = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{3x = - \pi + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}}\\{x = - \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Xét các nghiệm trên đoạn $\left[ {0;\,\,\pi } \right]$:

Với họ nghiệm $x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}$:

$0 \le \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3} \le \pi \Leftrightarrow - \frac{1}{6} \le \frac{{2k}}{3} \le \frac{5}{6} \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \le k \le \frac{5}{4} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;\,\,1} \right\}$ .

Ứng với $k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}$; với $k = 1 \Rightarrow x = \frac{{5\pi }}{6}$.

Với họ nghiệm $x = - \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}$:

$0 \le - \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3} \le \pi \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le \frac{{2k}}{3} \le \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le k \le 2 \Leftrightarrow k \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}$.

Ứng với $k = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi }{3}$; với $k = 2 \Rightarrow x = \pi$.

Do đó, trên đoạn $\left[ {0;\,\,\pi } \right]$, phương trình có các nghiệm là $\frac{\pi }{6};\,\,\frac{{5\pi }}{6};\,\,\frac{\pi }{3};\,\,\pi$ (tổng cộng có 4 nghiệm).

Đáp án: 4.

a) $\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \sin 3x = \sin \left( { - 3x} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x + \frac{\pi }{4} = - 3x + k2\pi }\\{2x + \frac{\pi }{4} = \pi + 3x + k2\pi }\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - \frac{\pi }{{20}} + k\frac{{2\pi }}{5}}\\{x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

b) Gọi $d$ (m) là khoảng cách từ vận động viên đến bức tường $\left( {d > 0} \right)$, $\alpha$ là góc ngắm ban đầu $\left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)$.

Ta có $\tan \alpha = \frac{{25}}{d}$, $\tan \frac{\alpha }{2} = \frac{{10}}{d}$.

Theo công thức nhân đôi:

$\tan \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}} \Leftrightarrow \frac{{25}}{d} = \frac{{\frac{{20}}{d}}}{{1 - \frac{{100}}{{{d^2}}}}} \Leftrightarrow 25\left( {1 - \frac{{100}}{{{d^2}}}} \right) = 20 \Leftrightarrow \frac{{100}}{{{d^2}}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow {d^2} = 500 \Leftrightarrow d = 10\sqrt 5 .$Vậy khoảng cách từ vận động viên đến bức tường là $10\sqrt 5 \approx 22{,}36$ (m).

Số tiền trả góp mỗi tháng lập thành cấp số cộng có ${u_1} = 1{,}8$, $d = - 0{,}05$ (triệu đồng).

a) ${u_{20}} = {u_1} + 19d = 1{,}8 - 19 \cdot 0{,}05 = 0{,}85$ (triệu đồng).

b) Tổng số tiền trả góp sau $20$ tháng là:

${S_{20}} = \frac{{20\left( {{u_1} + {u_{20}}} \right)}}{2} = 10 \cdot \left( {1{,}8 + 0{,}85} \right) = 26{,}5$ (triệu đồng).

Tổng số tiền mua xe là:

$10 + 26{,}5 = 36{,}5$ (triệu đồng), thấp hơn giá gốc $40 - 36{,}5 = 3{,}5$ (triệu đồng).

a) $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ có điểm chung $S$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $AB,\,\,CD$ nên giao tuyến của chúng là đường thẳng $d$ qua $S$ và song song với $AB$ (và $CD$).

b) Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, gọi $K = BP \cap CD$. Hai tam giác $PAB$ và $PDK$ bằng nhau (vì $PA = PD,\,\,AB\,{\rm{//}}\,DK$) nên $DK = AB = CD$, tức $D$ là trung điểm $CK$.

Ta có $K \in BP \subset \left( {BPM} \right)$ nên $\left( {BPM} \right) \cap \left( {SCD} \right) = KM$.

Trong mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$, gọi $Q = KM \cap SC$ thì $Q = \left( {BPM} \right) \cap SC$.

Trong tam giác $SCK$, $SD$ là đường trung tuyến và $SM = 2MD$ nên $M$ là trọng tâm tam giác $SCK$.

Do đó đường thẳng $KM$ đi qua trung điểm của $SC$, tức $Q$ là trung điểm $SC$.

Vậy $\frac{{SQ}}{{SC}} = \frac{1}{2}$.