Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2026-2027 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (Hà Nội) có đáp án

Chọn B.

Ngày cuối cùng của tháng 7 ứng với $t = 31$.

$R\left( {31} \right) = 150 - 130\cos \left( {\frac{{31\pi }}{5}} \right) = 150 - 130\cos \left( {\frac{\pi }{5} + 6\pi } \right) = 150 - 130\cos \frac{\pi }{5} \approx 44{,}8$ (mm).

Chọn A.

Áp dụng công thức nhân đôi $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ với $x = 1013a$ ta có:

$\sin \left( {2026a} \right) = 2\sin \left( {1013a} \right) \cdot \cos \left( {1013a} \right)$.

Chọn A.

Ta có: $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$. Vậy $S = \left\{ {\left. {k\pi } \right|\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Chọn D.

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $D,\,\,G,\,\,N$ thẳng hàng, suy ra $AG \subset \left( {ADN} \right)$.

$\left( {ADN} \right)$ và $\left( {BCM} \right)$ có hai điểm chung $M,\,\,N$ nên $\left( {ADN} \right) \cap \left( {BCM} \right) = MN$.

Do đó giao điểm của $AG$ và $\left( {BCM} \right)$ là giao điểm của $AG$ và $MN$.

Chọn C.

Ta có: ${u_1} = 2,\,\,{u_2} = 3{u_1} = 6,\,\,{u_3} = 3{u_2} = 18$.

Chọn C.

Ta có: ${u_5} = {u_1} + 4d = 3 + 4 \cdot 7 = 31.$

Chọn C.

$S$ là điểm chung của $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.

Mà $AD \subset \left( {SAD} \right)$, $BC \subset \left( {SBC} \right)$, $AD\,{\rm{//}}\,BC$ nên giao tuyến của $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AD$ và $BC$.

Chọn C.

$CM$ và $SO$ cùng nằm trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và là hai đường trung tuyến của tam giác $SAC$ nên chúng cắt nhau (tại trọng tâm tam giác $SAC$).

Lời giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. $S$ là điểm chung của $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$. $O = AC \cap BD$ nên $O$ cũng là điểm chung. Vậy $\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO$.

b) Đúng. $O \in AC$ nên $\left( {OIC} \right)$ chính là mặt phẳng $\left( {AIC} \right)$, suy ra $A \in \left( {OIC} \right)$.

Vì $I \notin \left( {ABCD} \right)$ nên $\left( {OIC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC$.

Mà $AB \subset \left( {ABCD} \right)$ và $AB \cap AC = A$ nên giao điểm của $AB$ và $\left( {OIC} \right)$ là điểm $A$.

c) Sai. $K$ là điểm chung của $\left( {AKB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$.

Mà $AB \subset \left( {AKB} \right)$, $CD \subset \left( {SCD} \right)$, $AB\,{\rm{//}}\,CD$ nên giao tuyến của $\left( {AKB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ là đường thẳng qua $K$ song song với $CD$, cắt $SC$ tại $J$.

Suy ra $KJ\,{\rm{//}}\,CD$.

Vì $CD$ không song song với $AD$ nên $KJ$ không song song với $AD$. Do đó $J$ không thuộc đường thẳng qua $K$ và song song với $AD$.

d) Đúng. $J$ là giao điểm của $SC$ với đường thẳng qua $K$ song song với $CD$, mà $K$ là trung điểm $SD$ nên $J$ là trung điểm $SC$.

$I$ là trung điểm $SB$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SBC$, suy ra $IJ\,{\rm{//}}\,BC$.

Mà $BC\,{\rm{//}}\,AD$ nên $AD\,{\rm{//}}\,IJ$.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Vì $- 1 \le \sin 3x \le 1$ nên tập giá trị của hàm số $g\left( x \right)$ là $\left[ { - 1;\,\,1} \right]$.

b) Đúng. Tập xác định $D = \mathbb{R}$, với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì $- x \in \mathbb{R}$ và ta có:

$f\left( { - x} \right) = 3\sin \left( { - x} \right) = - 3\sin x = - f\left( x \right)$.

Vậy $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ.

c) Đúng. $f\left( x \right) = 3g\left( x \right) \Leftrightarrow 3\sin x = 3\sin 3x \Leftrightarrow \sin 3x = \sin x$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = x + k2\pi \\3x = \pi - x + k2\pi \end{array} \right.$.

Trên đoạn $\left[ {0;\,\,2\pi } \right]$:

Họ $x = k\pi$ cho $x \in \left\{ {0;\,\,\pi ;\,\,2\pi } \right\}$,

Họ $x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}$ cho $x \in \left\{ {\frac{\pi }{4};\,\,\frac{{3\pi }}{4};\,\,\frac{{5\pi }}{4};\,\,\frac{{7\pi }}{4}} \right\}$.

Vậy phương trình có $7$ nghiệm trên $\left[ {0;\,\,2\pi } \right]$.

d) Sai. Phương trình $\sin 3x = \frac{m}{8}$ có nghiệm $\Leftrightarrow - 1 \le \frac{m}{8} \le 1 \Leftrightarrow - 8 \le m \le 8$.

Có $17$ giá trị nguyên của $m$.

Ta có: ${\left( {\sin \alpha - \cos \beta } \right)^2} + {\left( {\sin \beta - \cos \alpha } \right)^2}$

$= \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) + \left( {{{\sin }^2}\beta + {{\cos }^2}\beta } \right) - 2\left( {\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta } \right)$

$= 2 - 2\sin \left( {\alpha + \beta } \right)$.

Do đó, $2 - 2\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = 1{,}5 \Leftrightarrow \sin \left( {\alpha + \beta } \right) = 0{,}25$.

Đáp án: 0,25.

Gọi $B,\,\,B'$ là các điểm tiếp xúc của dây với cối, $E$ là tâm cối.

Do dây căng đều về hai phía nên $DE \bot AA'$, $AD = A'D = 3$, $DE = 4$.

Tam giác $ADE$ vuông tại $D$:

$AE = \sqrt {A{D^2} + D{E^2}} = 5$, $\tan \widehat {AED} = \frac{{AD}}{{DE}} = \frac{3}{4} \Rightarrow \widehat {AED} = \arctan \frac{3}{4}$.

$AB$ là tiếp tuyến nên tam giác $ABE$ vuông tại $B$:

$AB = \sqrt {A{E^2} - E{B^2}} = \sqrt {21}$, $\cos \widehat {AEB} = \frac{{EB}}{{AE}} = \frac{2}{5} \Rightarrow \widehat {AEB} = \arccos \frac{2}{5}$.

Suy ra $\widehat {DEB} = \arctan \frac{3}{4} + \arccos \frac{2}{5}$. Tương tự $A'B' = \sqrt {21}$, $\widehat {DEB'} = \widehat {DEB}$.

Cung $BB'$ mà dây ôm sát có số đo $2\pi - 2\widehat {DEB}$ (rad), độ dài cung là:

$2\left( {2\pi - 2\widehat {DEB}} \right) = 4\pi - 4\left( {\arctan \frac{3}{4} + \arccos \frac{2}{5}} \right)$.

Vậy $l = 2\sqrt {21} + 4\pi - 4\left( {\arctan \frac{3}{4} + \arccos \frac{2}{5}} \right) \approx 14{,}5$ (m).

Đáp án: 14,5.

Mỗi lần ghép thêm 1 bàn thì số chỗ ngồi tăng thêm 2. Số chỗ ngồi khi ghép $n$ bàn lập thành cấp số cộng với ${u_1} = 4$, $d = 2$:

${u_n} = 4 + 2\left( {n - 1} \right) = 2n + 2$.

Cần $2n + 2 \ge 70 \Leftrightarrow n \ge 34$.

Vậy cần ghép ít nhất 34 bàn.

Đáp án: 34.

$NP$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$ nên $NP\,{\rm{//}}\,AD$ và $NP = \frac{{AD + BC}}{2} = 5$.

$M$ là điểm chung của $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$, mà $NP \subset \left( {MNP} \right)$, $AD \subset \left( {SAD} \right)$, $NP\,{\rm{//}}\,AD$ nên giao tuyến của $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$ là đường thẳng qua $M$ song song với $AD$, cắt $SD$ tại $Q.$

Khi đó $MQ$ là đường trung bình của tam giác $SAD$, suy ra $MQ\,{\rm{//}}\,AD$ và $MQ = \frac{{AD}}{2} = \frac{7}{2}$.

$\left( {MNP} \right)$ có $MQ\,{\rm{//}}\,NP$, $R = MN \cap PQ$ nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{RM}}{{RN}} = \frac{{MQ}}{{NP}} = \frac{7}{{10}}$.

Suy ra $a = 7$, $b = 10$. Vậy $2a + 3b = 14 + 30 = 44$.

Đáp án: 44.

Ta có: $2{\sin ^2}x - 1 = - \cos 2x$. Phương trình trở thành:

$\cos \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos 2x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{3x + \frac{\pi }{3} = 2x + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3} = - 2x + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x = - \frac{\pi }{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5}}\end{array}} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy phương trình có nghiệm $x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi$, $x = - \frac{\pi }{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5}$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Ta có: ${u_1} = \frac{{a + b}}{2} = 8 \Rightarrow a + b = 16;\,\,{u_3} = \frac{{9a + b}}{4} = 10 \Rightarrow 9a + b = 40$.

Giải hệ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a + b = 16}\\{9a + b = 40}\end{array}} \right.$ được $a = 3,\,\,b = 13$.

Do đó ${u_n} = \frac{{3{n^2} + 13}}{{n + 1}}$, suy ra ${u_{15}} = \frac{{3 \cdot {{15}^2} + 13}}{{16}} = \frac{{688}}{{16}} = 43$.

a) Xét $\left( {SOM} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ có $S$ là điểm chung.

$O,\,\,M$ lần lượt là trung điểm $AC,\,\,AB$ nên $OM$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, suy ra $OM\,{\rm{//}}\,BC$.

Mà $OM \subset \left( {SOM} \right)$, $BC \subset \left( {SBC} \right)$ nên giao tuyến của $\left( {SOM} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là đường thẳng $d$ đi qua $S$ và song song với $BC$.

Xét $\left( {CGM} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ có $C$ là điểm chung.

Gọi $K$ là trung điểm $SB$.

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $SBM$ nên $G \in MK$, suy ra $K \in MG \subset \left( {CGM} \right)$.

Lại có $K \in SB \subset \left( {SBC} \right)$.

Vậy $K$ là điểm chung thứ hai, do đó $\left( {CGM} \right) \cap \left( {SBC} \right) = CK$.

b) $M,K$ lần lượt là trung điểm $AB,SB$ nên $MK$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $MK\,{\rm{//}}\,SA$.

Mà $G \in MK$ nên đường thẳng $MG$ trùng với $MK$. Vậy $MG\,{\rm{//}}\,SA$.