Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2026-2027 THCS&THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm (Hà Nội) có đáp án

Chọn D.

Số đo radian của góc $108^\circ$ là $108 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{{3\pi }}{5}{\rm{ rad}}$.

Chọn D.

Hình chóp ngũ giác $S.ABCDE$ có đáy là đa giác $5$ cạnh nên có $5$ mặt bên.

Chọn B.

Trong tam giác $SBD$, $M$ là trung điểm của $SB$ và $N$ là trung điểm của $SD$. Do đó $MN$ là đường trung bình của tam giác $SBD$, suy ra $MN\,{\rm{//}}\,BD$.

Chọn B.

Điểm $M\left( { - \frac{3}{5};\,\,\frac{4}{5}} \right)$ nằm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác $\alpha$. Tung độ của điểm $M$ bằng $\sin \alpha$, suy ra $\sin \alpha = \frac{4}{5}$.

Chọn A.

Tứ diện $ABCD$, hai đường thẳng $AB$ và $CD$ không cùng thuộc một mặt phẳng nên chúng chéo nhau.

Chọn D.

Tập giá trị của hàm số sin là đoạn $\left[ { - 1;\,\,1} \right]$. Vì $- \frac{5}{3} < - 1$ nên phương trình $\sin x = - \frac{5}{3}$ vô nghiệm.

Chọn B.

Điểm $N$ thuộc cạnh $SD$ với $N$ khác $S$. Các mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$, $\left( {SBD} \right)$, $\left( {SCD} \right)$ đều chứa cạnh $SD$ nên đều chứa điểm $N$. Mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ chỉ có điểm chung duy nhất với đoạn $SD$ là đỉnh $S$, do đó $N$ không thuộc mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.

Chọn C.

Áp dụng công thức cộng cosin:

$P = \cos 3x\cos x + \sin 3x\sin x = \cos (3x - x) = \cos 2x$.

Chọn D.

Điều kiện xác định của hàm số là $\sin x \ne 0$ suy ra $x \ne k\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {k\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Chọn C.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {0;\,\,2} \right)$, nhận giá trị lớn nhất bằng $2$, giá trị nhỏ nhất bằng $- 2$ và tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$. Đây là đồ thị của hàm số $y = 2\cos x$.

Chọn A.

Áp dụng công thức nhân đôi $\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a$, suy ra $P = 1 - \cos 2a = 2{\sin ^2}a$.

Chọn B.

Ta có $\tan x = \sqrt 3$ suy ra $\tan x = \tan \frac{\pi }{3}$ suy ra $x = \frac{\pi }{3} + k\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

Cho $\cos \alpha = - \frac{{12}}{{13}}$ với $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$.

Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên $\sin \alpha > 0$.

$\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right)}^2}} = \frac{5}{{13}}$.

a) Đúng. Ta có $\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 2 \cdot {\left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right)^2} - 1 = \frac{{119}}{{169}}$.

b) Đúng. Áp dụng công thức cộng:

$\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{3} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{3} = \frac{5}{{13}} \cdot \frac{1}{2} + \left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{5 - 12\sqrt 3 }}{{26}}$.

c) Đúng. Ta có $\sin \alpha = \frac{5}{{13}}$.

d) Sai. Ta có $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{5}{{13}} \cdot \left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right) = - \frac{{120}}{{169}} < 0$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Trong tam giác $SAC$, $O$ là trung điểm của $AC$ và $K$ là trung điểm của $SC$ nên $KO$ là đường trung bình, suy ra $KO\,{\rm{//}}\,SA$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$, ta có $\frac{{M{G_1}}}{{MS}} = \frac{{M{G_2}}}{{MA}} = \frac{1}{3}$, theo định lý Ta-lét đảo suy ra ${G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,SA$. Vậy ba đường thẳng $KO$, $SA$, ${G_1}{G_2}$ đôi một song song với nhau.

b) Đúng. Hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ có điểm chung $S$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $AD\,{\rm{//}}\,BC$. Do đó giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AD$.

c) Sai. Trong mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$, giao tuyến của mặt phẳng $\left( {KAB} \right)$ với mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ đi qua $K$ và song song với $AB\,\,{\rm{//}}\,CD$, cắt cạnh $SD$ tại $P$. Do $KP\,{\rm{//}}\,CD$ và $K$ là trung điểm của $SC$ nên $KP$ là đường trung bình của tam giác $SCD$, suy ra $P$ là trung điểm của $SD$, dẫn tới $\frac{{SP}}{{PD}} = 1$.

d) Đúng. Điểm $K$ thuộc $SC \subset \left( {SAC} \right)$ và thuộc mặt phẳng $\left( {KBD} \right)$. Điểm $O = AC \cap BD$ là điểm chung thứ hai giữa $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {KBD} \right)$. Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng $KO$.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

Phương trình $2\sin x - \sqrt 3 = 0$ suy ra $\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sin \frac{\pi }{3}$.

a) Sai. Phương trình tương đương với $\sin x = \sin \frac{\pi }{3}$.

b) Đúng. Nghiệm của phương trình là $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi$ và $x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

c) Đúng. Các nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;\,\,2\pi } \right)$ là $x = \frac{\pi }{3}$ và $x = \frac{{2\pi }}{3}$, tức là có đúng hai nghiệm.

d) Sai. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $x = \frac{\pi }{3}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

Độ dài bóng được mô hình hóa bởi $S\left( t \right) = 50\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)} \right|$ với $0 < t < 12$.

a) Đúng. Khoảng thời gian từ 12 giờ trưa đến 6 giờ tối ứng với $6 < t < 12$. Khi đó $\frac{\pi }{{12}}t \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)$, giá trị $\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)$ mang dấu âm và giảm dần từ $0$ về $- \infty$, do đó độ lớn $\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)} \right|$ tăng dần từ $0$ lên $+ \infty$, nghĩa là độ dài bóng tăng dần.

b) Đúng. Ta có $S\left( t \right) = \frac{{50\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$. Vì góc $\frac{\pi }{{12}}t \in \left( {0;\,\,\pi } \right)$ nên phương trình có hai nghiệm: $\frac{\pi }{{12}}t = \frac{\pi }{3} \Rightarrow t = 4$ (lúc 10 giờ sáng) và $\frac{\pi }{{12}}t = \frac{{2\pi }}{3} \Rightarrow t = 8$ (lúc 14 giờ chiều).

c) Đúng. Lúc 9 giờ sáng ứng với $t = 3$. Ta có $S\left( 3 \right) = 50\left| {\cot \left( {\frac{{3\pi }}{{12}}} \right)} \right| = 50\cot \frac{\pi }{4} = 50$ m.

d) Đúng. Với mọi $t \in \left( {0;\,\,12} \right)$, ta có:

$S\left( {12 - t} \right) = 50\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}(12 - t)} \right)} \right| = 50\left| {\cot \left( {\pi - \frac{\pi }{{12}}t} \right)} \right| = 50\left| { - \cot \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)} \right| = S\left( t \right)$.

Hàm số nhiệt độ có dạng $h\left( t \right) = A\sin \left[ {\frac{\pi }{{12}}\left( {t - 8} \right)} \right] + B$.

Tại thời điểm $t = 14$, nhiệt độ đạt mức cao nhất bằng $35^\circ {\rm{C}}$ nên:

$A\sin \left( {\left[ {\frac{\pi }{{12}}14 - 8} \right]} \right) + B = 35$ suy ra $A\sin \frac{\pi }{2} + B = 35$ suy ra $A + B = 35$.

Tại thời điểm $t = 2$, nhiệt độ đạt mức thấp nhất bằng $23^\circ {\rm{C}}$ nên:

$A\sin \left[ {\frac{\pi }{{12}}\left( {2 - 8} \right)} \right] + B = 23$ suy ra $A\sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) + B = 23$ suy ra $- A + B = 23$.

Giải hệ phương trình ta được $A = 6$ và $B = 29$.

Nhiệt độ ngoài trời lúc 11 giờ ứng với $t = 11$:

$h\left( {11} \right) = 6\sin \left[ {\frac{\pi }{{12}}\left( {11 - 8} \right)} \right] + 29 = 6\sin \frac{\pi }{4} + 29 = 3\sqrt 2 + 29 \approx 33.24^\circ {\rm{C}}$.

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị thu được $33$.

Đáp án: 33.

Khai triển theo công thức cộng:

$\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x$.

$\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos x\cos \frac{\pi }{4} - \sin x\sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x$.

Cộng hai biểu thức trên lại, ta có:

$A = \sqrt 2 \cos x$.

Suy ra $m = \sqrt 2$, do đó ${m^2} = 2$.

Đáp án: 2.

Trong hình thang $ABCD$ có $AB\,{\rm{//}}\,CD$ và $AB = 3CD$. Do hai tam giác $OAB$ và $OCD$ đồng dạng nên $\frac{{OB}}{{OD}} = \frac{{AB}}{{CD}} = 3$ suy ra $OB = 3OD$.

Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$ là đường thẳng $SO$.

Trong mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$, đường thẳng $DN$ cắt $SO$ tại điểm $P$, nên $P$ chính là giao điểm của $DN$ với mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$.

Từ $N$ kẻ đường thẳng song song với $SO$, cắt đoạn $BD$ tại $H$.

Vì $N$ là trung điểm của $SB$ và $NH\,{\rm{//}}\,SO$ nên $NH$ là đường trung bình của tam giác $SOB$, suy ra $H$ là trung điểm của $OB$ và $NH = \frac{1}{2}SO$.

Coi độ dài đoạn $OD$ là $1$ đơn vị thì $OB = 3$ đơn vị.

Khi đó $OH = \frac{{OB}}{2} = 1.5$ đơn vị, suy ra $DH = DO + OH = 1 + 1.5 = 2.5$ đơn vị.

Trong tam giác $DNH$, do $PO\,{\rm{//}}\,NH$, áp dụng định lý Ta-lét ta có:

$\frac{{PO}}{{NH}} = \frac{{DO}}{{DH}} = \frac{1}{{2.5}} = \frac{2}{5}$.

Suy ra $PO = \frac{2}{5}NH = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}SO = \frac{1}{5}SO$.

Độ dài đoạn $PS$ là $PS = SO - PO = \frac{4}{5}SO$.

Vậy tỉ số cần tìm là $\frac{{PO}}{{PS}} = \frac{{\frac{1}{5}}}{{\frac{4}{5}}} = \frac{1}{4} = 0.25$.

Đáp án: 0,25.

Độ cao của cabin bằng $21{\rm{ m}}$ khi:

$- 12\cos \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) + 15 = 21 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) = - \frac{1}{2}$.

Thời điểm đầu tiên kể từ khi bắt đầu quay ứng với nghiệm dương nhỏ nhất:

$\frac{{\pi t}}{8} = \frac{{2\pi }}{3}$ suy ra $t = \frac{{16}}{3}$ phút.

Vì $\frac{{16}}{3}$ là phân số tối giản nên $a = 16$ và $b = 3$.

Vậy $a + b = 16 + 3 = 19$.

Đáp án: 19.

Ta có $\cos 5x = \cos x$ suy ra $\cos 5x - \cos x = 0$ suy ra $- 2\sin 3x\sin 2x = 0$.

Phương trình tương đương với $\sin 3x = 0$ hoặc $\sin 2x = 0$.

Trường hợp 1: $\sin 3x = 0$ suy ra $3x = k\pi$ suy ra $x = \frac{{k\pi }}{3}$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$. Trên đường tròn lượng giác có $6$ điểm biểu diễn: $0$, $\frac{\pi }{3}$, $\frac{{2\pi }}{3}$, $\pi$, $\frac{{4\pi }}{3}$, $\frac{{5\pi }}{3}$.

Trường hợp 2: $\sin 2x = 0$ suy ra $2x = k\pi$ suy ra $x = \frac{{k\pi }}{2}$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$. Trên đường tròn lượng giác có $4$ điểm biểu diễn: $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{{3\pi }}{2}$.

Hai họ nghiệm có chung $2$ điểm biểu diễn là $0$ và $\pi$.

Số điểm biểu diễn tất cả các nghiệm phân biệt trên đường tròn lượng giác là $6 + 4 - 2 = 8$.

Đáp án: 8.

Phương trình $\cos x = \frac{m}{{2027}}$ có nghiệm khi và chỉ khi:

$- 1 \le \frac{m}{{2027}} \le 1 \Leftrightarrow - 2027 \le m \le 2027$.

Do $m \in \mathbb{Z}$ nên số giá trị nguyên của $m$ là $2027 - \left( { - 2027} \right) + 1 = 4055$.

Đáp án: 4055.