Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Phan Đình Phùng (Hà Nội) có đáp án

Theo công thức nhân đôi của hàm số cosin, ta có: ${\rm{cos}}2a = 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a - 1$.

Do đó khẳng định ở phương án C thiếu bình phương ở ${\rm{cos}}a$ nên là khẳng định sai.

Chọn C.

Thay $n = 1$ vào công thức số hạng tổng quát của dãy số, ta được:

${u_1} = \frac{{2 \cdot 1 + 1}}{{1 + 2}} = \frac{3}{3} = 1$.

Chọn B.

Vì ba số $1;x;5$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên số hạng đứng giữa bằng trung bình cộng của hai số hạng kề bên: $x = \frac{{1 + 5}}{2} = 3$.

Chọn B.

Đường kính của đường tròn là $d = 10{\rm{\;cm}} \Rightarrow$ Bán kính $R = \frac{d}{2} = 5{\rm{\;cm}}$.

Độ dài $l$ của cung tròn có số đo $\alpha = 2{\rm{\;rad}}$ là: $l = R \cdot \alpha = 5 \cdot 2 = 10{\rm{\;cm}}$.

Chọn A.

Theo định nghĩa và tính chất số hạng tổng quát của cấp số nhân, ta có công thức: ${u_n} = {u_1} \cdot {q^{n - 1}}$ với $n \ge 2$.

Chọn B.

Đây là phương trình lượng giác cơ bản ở trường hợp đặc biệt:

${\rm{sin}}x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn D.

Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên góc $\alpha$ nằm ở góc phần tư thứ II trên đường tròn lượng giác. Tại đây, ta có: ${\rm{sin}}\alpha > 0$, ${\rm{cos}}\alpha < 0$, ${\rm{tan}}\alpha < 0$, ${\rm{cot}}\alpha < 0$.

Do đó khẳng định đúng là ${\rm{sin}}\alpha > 0$.

Chọn D.

- Vì ${u_n} \ge 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn dưới bởi số 1.

- Vì ${v_n} \le 2,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ nên dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ bị chặn trên bởi số 2.

Chọn A.

Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là:

${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 3 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2 = 2n + 1$.

Chọn C.

Hàm số xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0:

${\rm{cos}}x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \{ k2\pi \;|\;k \in \mathbb{Z}\}$.

Chọn B.

Xét hiệu giữa hai số hạng liên tiếp:

${u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {3\left( {n + 1} \right) + 5} \right] - \left( {3n + 5} \right) = 3 > 0\forall n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}$

Vì hiệu số luôn dương nên $\left( {{u_n}} \right)$ là một dãy số tăng.

Chọn B.

Gọi số 94 là số hạng thứ $n$ của cấp số cộng, ta có phương trình:

${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 94 \Leftrightarrow - 5 + \left( {n - 1} \right) \cdot 3 = 94$

$\Leftrightarrow 3\left( {n - 1} \right) = 99 \Leftrightarrow n - 1 = 33 \Leftrightarrow n = 34$

Vậy số 94 là số hạng thứ 34.

Chọn C.

Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên ${\rm{cos}}\alpha < 0$. Áp dụng công thức lượng giác cơ bản:

${\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}$

Do ${\rm{cos}}\alpha < 0$ nên ${\rm{cos}}\alpha = - \frac{3}{5}$.

Chọn D.

Với mọi số thực $x$, ta luôn có: $- 1 \le {\rm{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{{15}}} \right) \le 1$$\Leftrightarrow - 2 \le 2{\rm{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{{15}}} \right) \le 2$.

Do đó $M = 2$ và $m = - 2$. Suy ra hiệu $M - m = 2 - \left( { - 2} \right) = 4$.

Chọn B.

Áp dụng công thức hạ bậc đối với hàm số sin: ${\rm{si}}{{\rm{n}}^2}u = \frac{{1 - {\rm{cos}}2u}}{2}$.

Thay $u = 2\alpha$, ta được đẳng thức đúng là: ${\rm{si}}{{\rm{n}}^2}2\alpha = \frac{{1 - {\rm{cos}}4\alpha }}{2}$.

Chọn A.

Theo công thức số hạng của cấp số nhân, ta có:

${u_3} = {u_1} \cdot {q^2} \Leftrightarrow 18 = 2 \cdot {q^2} \Leftrightarrow {q^2} = 9 \Leftrightarrow q = \pm 3$.

Vì bài toán cho điều kiện công bội âm ($q < 0$) nên ta nhận giá trị $q = - 3$.

Chọn B.

Hàm số lượng giác dạng $y = A{\rm{cos}}\left( {\omega t + \varphi } \right)$ có chu kỳ tuần hoàn tính theo công thức:

$T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{4}}} = 8{\rm{\;(gi\^a y)}}$.

Chọn B.

Hàm số tang có tính chất tuần hoàn với chu kỳ $\pi$, tức là ${\rm{tan}}\left( {\alpha + k\pi } \right) = {\rm{tan}}\alpha$ với mọi $k \in \mathbb{Z}$.

Do đó: ${\rm{tan}}\left( {3\pi + \alpha } \right) = {\rm{tan}}\alpha$.

Chọn C.

Mô hình hóa bài toán: Cột đèn $TO$ vuông góc với mặt đất tại $O$. Bạn An đứng vuông góc với mặt đất tại $A$ tạo thành đoạn thẳng $AA' = 1{,}78{\rm{\;m}}$ ($AA'{\rm{//}}TO$). Bóng của An đổ dài thành đoạn $AM$, tia sáng thẳng hàng qua các điểm $T,A',M$.

Xét các tam giác vuông và vuông tại $O$:

$OA = \frac{{TO}}{{{\rm{tan}}\widehat {TAO}}} = \frac{{TO}}{{{\rm{tan}}55^\circ }}$

$OB = \frac{{TO}}{{{\rm{tan}}\widehat {TBO}}} = \frac{{TO}}{{{\rm{tan}}65^\circ }}$

Vì cột đèn $O$ nằm giữa $A$ và $B$ nên:

$AB = OA + OB = TO \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{tan}}55^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan}}65^\circ }}} \right) = 10{\rm{\;m}}$$\Rightarrow TO = \frac{{10}}{{\frac{1}{{{\rm{tan}}55^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan}}65^\circ }}}}$.

Vì $AA'{\rm{//}}TO$, áp dụng định lý Thales vào tam giác ta có: $\frac{{MO}}{{MA}} = \frac{{TO}}{{AA'}} \approx 4{,}816$.

Giá trị $4{,}816$ nằm trong khoảng $\left( {4;5} \right)$.

Chọn A.

Ta có mối liên hệ giữa tổng ${S_n}$ và số hạng của dãy:

- Số hạng đầu tiên: ${u_1} = {S_1} = {5^1} - 1 = 4$.

- Tổng của hai số hạng đầu: ${S_2} = {u_1} + {u_2} = {5^2} - 1 = 24$.

- Số hạng thứ hai là: ${u_2} = {S_2} - {S_1} = 24 - 4 = 20$.

Chọn D.

Áp dụng công thức nhân đôi: $P = {\rm{cos}}2\alpha = 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - 1$.

Thay số vào biểu thức ta được: $P = 2 \cdot {\left( { - \frac{2}{5}} \right)^2} - 1 = 2 \cdot \frac{4}{{25}} - 1 = \frac{8}{{25}} - 1 = - \frac{{17}}{{25}}$.

Vậy $P = - \frac{{17}}{{25}}$.

a) Biến đổi phương trình về dạng cơ bản:

${\rm{cos}}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = {\rm{cos}}\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr}{x - \frac{\pi }{6}}&{ = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\\{x - \frac{\pi }{6}}&{ = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr}x&{ = \frac{{3\pi }}{4} + \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\x&{ = - \frac{{3\pi }}{4} + \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr}x&{ = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi }\\x&{ = - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy tập nghiệm phương trình là $S = \left\{ {\frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi ; - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

b) Chuyển vế phương trình:

${\rm{sin}}3x = {\rm{sin}}x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr}{3x}&{ = x + k2\pi }\\{3x}&{ = \pi - x + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr}{2x}&{ = k2\pi }\\{4x}&{ = \pi + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr}x&{ = k\pi }\\x&{ = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}}\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy tập nghiệm phương trình là $S = \left\{ {k\pi ;\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\mid k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Công bội $q$ của cấp số nhân được tính bằng: $q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{6}{2} = 3$.

Số hạng thứ 6 của cấp số nhân, áp dụng công thức số hạng tổng quát ta được:

${u_6} = {u_1} \cdot {q^5} = 2 \cdot {3^5} = 2 \cdot 243 = 486$.

Vậy công bội $q = 3$ và số hạng ${u_6} = 486$.

Gọi ${h_n}$ là độ cao của thửa ruộng ở bậc thứ $n$ ($n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}$). Theo đề bài, ta có thông số các bậc đầu tiên:

- Bậc thứ nhất: ${h_1} = 953{,}4{\rm{\;m}}$.

- Bậc thứ hai: ${h_2} = {h_1} + 2 = 953{,}4 + 2 = 955{,}4{\rm{\;m}}$.

Kể từ bậc thứ 3 trở lên, độ cao tăng đều $0{,}7{\rm{\;m}}$ so với bậc ngay dưới nó. Quy luật này lập thành một cấp số cộng kể từ số hạng ${h_2}$ với công sai $d = 0{,}7$.

Do đó, công thức tính độ cao của thửa ruộng ở bậc thứ $n$ (với $n \ge 2$) là:

${h_n} = {h_2} + \left( {n - 2} \right) \cdot d = 955{,}4 + \left( {n - 2} \right) \cdot 0{,}7$

Để tìm xem độ cao $964{,}5{\rm{\;m}}$ tương ứng với bậc thứ mấy, ta giải phương trình:

$955{,}4 + \left( {n - 2} \right) \cdot 0{,}7 = 964{,}5$

$\Leftrightarrow \left( {n - 2} \right) \cdot 0{,}7 = 964{,}5 - 955{,}4 = 9{,}1$

$\Leftrightarrow n - 2 = \frac{{9{,}1}}{{0{,}7}} = 13 \Leftrightarrow n = 15$.

Vậy thửa ruộng cao $964{,}5{\rm{\;m}}$ là thửa ruộng ở bậc thứ 15.

Yêu cầu bài toán tương đương với việc giải phương trình $P\left( t \right) = 110$ trên khoảng $\left( {0;1} \right)$:

$100 + 20{\rm{sin}}\left( {\frac{{7\pi }}{3}t} \right) = 110 \Leftrightarrow 20{\rm{sin}}\left( {\frac{{7\pi }}{3}t} \right) = 10 \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {\frac{{7\pi }}{3}t} \right) = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr}{\frac{{7\pi }}{3}t}&{ = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{\frac{{7\pi }}{3}t}&{ = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr}t&{ = \frac{1}{{14}} + \frac{{6k}}{7}\left( 1 \right)}\\t&{ = \frac{5}{{14}} + \frac{{6k}}{7}\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Xét điều kiện thời gian thuộc đoạn $0 \le t \le 1$:

- Từ họ nghiệm (1):

+ Với $k = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{{14}} \approx 0{,}07{\rm{\;gi\^a y}}$ (Thỏa mãn).

+ Với $k = 1 \Rightarrow t = \frac{1}{{14}} + \frac{6}{7} = \frac{{13}}{{14}} \approx 0{,}93{\rm{\;gi\^a y}}$ (Thỏa mãn).

- Từ họ nghiệm (2):

+ Với $k = 0 \Rightarrow t = \frac{5}{{14}} \approx 0{,}36{\rm{\;gi\^a y}}$ (Thỏa mãn).

+ Với $k = 1 \Rightarrow t = \frac{5}{{14}} + \frac{6}{7} = \frac{{17}}{{14}} > 1$ (Loại).

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, các thời điểm huyết áp đạt 110 mmHg là: $t \approx 0{,}07{\rm{\;s}}$, $t \approx 0{,}36{\rm{\;s}}$ và $t \approx 0{,}93{\rm{\;s}}$.