Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THCS, THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm (Hà Nội) có đáp án - mã 1102

Ta có: ${\rm{sin}}x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\rm{sin}}x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi } \right\}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn C.

Điều kiện xác định: ${\rm{sin}}x \ne 0$ và ${\rm{cos}}x \ne 0$.

Ta biến đổi biểu thức $M$: $M = \frac{{{\rm{sin}}2x \cdot {\rm{cos}}x - {\rm{cos}}2x \cdot {\rm{sin}}x}}{{{\rm{sin}}x \cdot {\rm{cos}}x}}$

Áp dụng công thức cộng ${\rm{sin}}\left( {A - B} \right) = {\rm{sin}}A{\rm{cos}}B - {\rm{cos}}A{\rm{sin}}B$:

$M = \frac{{{\rm{sin}}\left( {2x - x} \right)}}{{{\rm{sin}}x \cdot {\rm{cos}}x}} = \frac{{{\rm{sin}}x}}{{{\rm{sin}}x \cdot {\rm{cos}}x}} = \frac{1}{{{\rm{cos}}x}}$.

Chọn A.

Hàm số lượng giác $y = {\rm{cos}}2x$ luôn xác định với mọi số thực $x$. Do đó tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$.

Chọn D.

Ta có mối liên hệ giữa ${\rm{tan}}x$ và ${\rm{cot}}x$ khi cả hai cùng xác định là:

${\rm{tan}}x \cdot {\rm{cot}}x = 1 \Rightarrow {\rm{tan}}x = \frac{1}{{{\rm{cot}}x}} = \frac{1}{2}$.

Chọn C.

Vì trên đoạn $\left[ {\pi ;2\pi } \right]$ (thuộc góc phần tư thứ III và thứ IV), giá trị của hàm số sin luôn không dương (${\rm{sin}}x \le 0$).

Trong khi đó, đề bài cho ${\rm{sin}}x = \frac{1}{5} > 0$.

Do đó, phương trình không có nghiệm nào thỏa mãn thuộc đoạn $\left[ {\pi ;2\pi } \right]$.

Chọn B.

Để ba số $- x;12;2x + 1$ lập thành một cấp số cộng, số hạng ở giữa phải bằng trung bình cộng của hai số hạng hai bên: $12 = \frac{{ - x + \left( {2x + 1} \right)}}{2} \Leftrightarrow 24 = x + 1 \Leftrightarrow x = 23$.

Chọn B.

Thay tọa độ các điểm vào hàm số $f\left( x \right) = {\rm{sin}}x + 1$:

Với $x = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = {\rm{sin}}0 + 1 = 1$. Điểm $\left( {0;1} \right)$ thuộc đồ thị.

Với $x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = {\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + 1 = 2 \ne 0$.

Với $x = \pi \Rightarrow f\left( \pi \right) = {\rm{sin}}\pi + 1 = 1 \ne 0$.

Chọn A.

Công sai $d$ của cấp số cộng được tính bằng hiệu hai số hạng liên tiếp:

$d = {u_2} - {u_1} = 9 - 2 = 7$.

Chọn D.

Điểm $D$ nằm trên trục tung $Oy$ ở phía chiều âm. Tia đầu là tia $OA$, tia cuối $OD$ quay theo chiều âm một góc bằng $\frac{\pi }{2}$ (hoặc chiều dương góc $\frac{{3\pi }}{2}$).

Vậy các góc lượng giác có điểm biểu diễn là $D$ sẽ có dạng: $- \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn B.

Gọi số đo bốn góc của tứ giác theo thứ tự từ bé đến lớn lập thành cấp số nhân lần lượt là: $x,2x,4x,8x$ (với $x > 0$).

Tổng các góc trong một tứ giác bằng $360^\circ$:

$x + 2x + 4x + 8x = 360^\circ \Leftrightarrow 15x = 360^\circ \Leftrightarrow x = 24^\circ$.

Góc bé nhất là góc đầu tiên có số đo $x = 24^\circ$.

Chọn A.

Dựa vào đồ thị hàm số $y = {\rm{sin}}2x$, đồ thị có xu hướng “đi lên” từ trái sang phải trên khoảng từ điểm $x = - \frac{\pi }{4}$ đến điểm $x = \frac{\pi }{4}$.

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right)$.

Chọn C.

Áp dụng công thức truy hồi với $n = 1$: ${u_2} = 2{u_1} - 1 = 2 \cdot 5 - 1 = 9$.

Chọn B.

a) Sai: Vì $f\left( x \right) = {\rm{tan}}\left( { - x} \right) = - {\rm{tan}}x$. Hàm số xác định khi $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Tập xác định phải là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

b) Sai: Vì hàm ${\rm{tan}}$ là hàm số lẻ nên ${\rm{tan}}\left( { - x} \right) = - {\rm{tan}}x$.

c) Đúng: Ta có:

$f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow {\rm{tan}}\left( { - x} \right) = 1 \Leftrightarrow - x = \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} - k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + m\pi \,\left( {m = - k \in \mathbb{Z}} \right)$.

d) Đúng: Tìm các nghiệm trên đoạn $\left[ { - \pi ;2\pi } \right]$:

$- \pi \le - \frac{\pi }{4} + m\pi \le 2\pi \Leftrightarrow - 1 \le - \frac{1}{4} + m \le 2 \Leftrightarrow - \frac{3}{4} \le m \le \frac{9}{4}$.

Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ {0;1;2} \right\}$.

Các nghiệm cụ thể tương ứng là:

Với $m = 0 \Rightarrow {x_1} = - \frac{\pi }{4}$

Với $m = 1 \Rightarrow {x_2} = \frac{{3\pi }}{4}$

Với $m = 2 \Rightarrow {x_3} = \frac{{7\pi }}{4}$

Tổng các nghiệm là: ${x_1} + {x_2} + {x_3} = \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + \frac{{3\pi }}{4} + \frac{{7\pi }}{4} = \frac{{9\pi }}{4}$.

Khai triển biểu thức $A$: $A = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - 2{\rm{sin}}x{\rm{cos}}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = \left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right) - {\rm{sin}}2x = 1 - {\rm{sin}}2x$.

a) Đúng: Thay $x = 0 \Rightarrow A = 1 - {\rm{sin}}0 = 1$.

b) Sai: Vì công thức đúng phải là $A = 1 - {\rm{sin}}2x$.

c) Đúng: Vì $- 1 \le {\rm{sin}}2x \le 1 \Rightarrow - 1 \le - {\rm{sin}}2x \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 - {\rm{sin}}2x \le 2 \Rightarrow A \in \left[ {0;2} \right]$.

d) Sai: Nếu ${\rm{cos}}2x = - 1 \Rightarrow 2x = \pi + k2\pi \Rightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi$.

Khi đó ${\rm{sin}}2x = 0 \Rightarrow A = 1 - 0 = 1 \ne - 2$. Hơn nữa, vì $A \in \left[ {0;2} \right]$ nên $A$ không thể bằng $- 2$.

Số lượng cây xoài ở các hàng lập thành một cấp số nhân $\left( {{a_n}} \right)$ có số hạng đầu ${a_1} = 1$ và công bội $q = 2$.

a) Đúng: ${a_3} = {a_1} \cdot {q^2} = 1 \cdot {2^2} = 4$.

b) Đúng: Số lượng cây hàng sau gấp đôi hàng trước nên đây là cấp số nhân có $q = 2$.

c) Sai: Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là ${a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}} = 1 \cdot {2^{n - 1}} = {2^{n - 1}}$.

d) Sai: Tổng số cây trồng từ hàng 1 đến hàng thứ $n$ là: ${S_n} = {a_1} \cdot \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 1 \cdot \frac{{1 - {2^n}}}{{1 - 2}} = {2^n} - 1$.

Để trồng hết số cây theo quy trình hoàn chỉnh của các hàng sao cho tổng số cây tối thiểu là 2000 cây, ta cần tìm $n$ sao cho: ${S_n} \ge 2000 \Rightarrow {2^n} - 1 \ge 2000 \Leftrightarrow {2^n} \ge 2001$

Ta có ${2^{10}} = 1024$ và ${2^{11}} = 2048$. Vậy $n = 11$.

Tổng số cây cần thiết để hoàn thành đến hàng thứ 11 là: ${S_{11}} = {2^{11}} - 1 = 2047$ cây.

Số cây trung tâm hiện có là 2000 cây.

Vậy số cây cần mua bổ sung tối thiểu là: $2047 - 2000 = 47{\rm{\;c\^a y}}$.

a) Đúng: ${S_1} = 4 \cdot 1 - 2 \cdot {1^2} = 2$.

${S_2} = 4 \cdot 2 - 2 \cdot {2^2} = 8 - 8 = 0$.

b) Đúng: Ta có ${u_1} = {S_1} = 2$.

${u_1} + {u_2} = {S_2} = 0 \Rightarrow 2 + {u_2} = 0 \Rightarrow {u_2} = - 2$.

Công sai $d = {u_2} - {u_1} = - 2 - 2 = - 4$.

c) Sai: Số hạng tổng quát của cấp số cộng: ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2 + \left( {n - 1} \right)\left( { - 4} \right) = 2 - 4n + 4 = 6 - 4n$.

d) Đúng: Cho ${u_n} = - 74$:

$6 - 4n = - 74 \Leftrightarrow - 4n = - 80 \Leftrightarrow n = 20$.

Vậy $- 74$ là số hạng thứ 20.

Biểu diễn các số hạng qua số hạng đầu ${v_1}$ và công sai $d$:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\left( {{v_1} + 2d} \right) - \left( {{v_1} + 5d} \right) = - 15}\\{{v_1} + \left( {{v_1} + d} \right) = 11}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - 3d = - 15}\\{2{v_1} + d = 11}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{d = 5}\\{2{v_1} + 5 = 11}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{d = 5}\\{{v_1} = 3}\end{array}} \right.$

Giá trị của ${v_{20}}$ là:

${v_{20}} = {v_1} + 19d = 3 + 19 \cdot 5 = 3 + 95 = 98$.

Đáp số: 98.

Nhận xét ${u_n} > 0$ với mọi $n$. Nghịch đảo hai vế của công thức truy hồi ta được:

$\frac{1}{{{u_{n + 1}}}} = \frac{{2{u_n} + 1}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{u_n}}} + 2$.

Đặt ${v_n} = \frac{1}{{{u_n}}}$, ta có ${v_1} = \frac{1}{{{u_1}}} = 1$ và ${v_{n + 1}} = {v_n} + 2$.

Suy ra $\left( {{v_n}} \right)$ là một cấp số cộng có số hạng đầu ${v_1} = 1$ và công sai $d = 2$.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( {{v_n}} \right)$ là: ${v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right)2 = 2n - 1$.

Biểu thức $T$ chính là tổng của 50 số hạng đầu tiên của cấp số cộng $\left( {{v_n}} \right)$:

$T = {S_{50}} = \frac{{50 \cdot \left( {{v_1} + {v_{50}}} \right)}}{2} = 25 \cdot \left( {1 + \left( {2 \cdot 50 - 1} \right)} \right) = 25 \cdot \left( {1 + 99} \right) = 25 \cdot 100 = 2500$.

Đáp số: 2500.

Xét hình vuông cạnh $x$. Khi chia cạnh thành 4 phần bằng nhau, độ dài mỗi đoạn nhỏ là $\frac{x}{4}$. Theo quy tắc nối để tạo hình vuông mới nhỏ hơn bên trong, các đỉnh của hình vuông mới sẽ chia cạnh của hình vuông cũ theo tỉ lệ $1:3$ (một đoạn là $\frac{x}{4}$ và đoạn còn lại là $\frac{{3x}}{4}$).

Áp dụng định lý Pythagore để tính cạnh hình vuông mới ($x{\rm{'}}$):

${\left( {x{\rm{'}}} \right)^2} = {\left( {\frac{x}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3x}}{4}} \right)^2} = \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{9{x^2}}}{{16}} = \frac{{10}}{{16}}{x^2} = \frac{5}{8}{x^2}$.

Vì diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh, gọi ${S_n}$ là diện tích hình vuông thứ $n$, ta có mối liên hệ: ${S_{n + 1}} = \frac{5}{8}{S_n}$.

Do đó, diện tích các hình vuông lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là diện tích hình vuông ${a_1}$: ${S_1} = {40^2} = 1600\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$ và công bội là $q = \frac{5}{8} = 0{,}625$.

Diện tích của hình vuông thứ 20 (${S_{20}}$) là: $a = {S_{20}} = {S_1} \cdot {q^{19}} = 1600 \cdot {\left( {0{,}625} \right)^{19}} \approx 0{,}21176\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Làm tròn đến hàng phần trăm: $a \approx 0{,}21$.

Đáp số: 0,21.

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm ${\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)$ lần lượt là $1$ và $- 1$.

Vì $a > 0$, ta có:

Mực nước cao nhất là: ${h_{{\rm{max}}}} = m + a \cdot 1 = m + a = 12$.

Mực nước thấp nhất là: ${h_{{\rm{min}}}} = m + a \cdot \left( { - 1} \right) = m - a = 8$.

Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m + a = 12}\\{m - a = 8}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2m = 20}\\{2a = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m = 10}\\{a = 2}\end{array}} \right.$.

Giá trị của tích $T$: $T = m \cdot a = 10 \cdot 2 = 20$.

Đáp số: 20.

Lời giải

Ta có phương trình:

${\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = 1$$\Leftrightarrow \frac{\pi }{4} - x = k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} - k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Để tìm nghiệm âm lớn nhất, ta cần $x < 0 \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} - k2\pi < 0 \Leftrightarrow k2\pi > \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow k > \frac{1}{8}$.

Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên giá trị $k$ nhỏ nhất thỏa mãn là $k = 1$.

Thay $k = 1$ vào ta được nghiệm âm lớn nhất: $x = \frac{\pi }{4} - 2\pi = - \frac{7}{4}\pi$.

Đối chiếu với dạng $x = - \frac{a}{b}\pi$, suy ra $a = 7$ và $b = 4$ (đây đã là phân số tối giản).

Tính $T$: $T = a + b = 7 + 4 = 11$.

Đáp số: 11.

Vì $x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)$ (góc phần tư thứ II) nên ${\rm{cos}}x < 0$.

Ta có: ${\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = 1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9} \Rightarrow {\rm{cos}}x = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Khai triển biểu thức $A$ bằng công thức cộng của hàm côsin:

$A = {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{4}} \right){\rm{cos}}x + {\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{4}} \right){\rm{sin}}x$

$A = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) + \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{1}{3} = - \frac{4}{6} + \frac{{\sqrt 2 }}{6} = \frac{{ - 4 + \sqrt 2 }}{6}$$\approx - 0{,}43096$.

Làm tròn đến hàng phần chục (hàng phần mười) ta được: $- 0{,}4$.

Đáp số: −0,4.