Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THCS, THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm (Hà Nội) có đáp án - mã 1101

Thay tọa độ $x = 0$ vào hàm số: $f\left( 0 \right) = {\rm{cos}}0 + 1 = 1 + 1 = 2$. Đồ thị đi qua điểm $\left( {0;2} \right)$.

Chọn A.

Điểm $B$ nằm trên tia dương của trục tung $Oy$, ứng với vị trí góc lượng giác $\frac{\pi }{2}$. Công thức tổng quát là $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn C.

Quy đồng biểu thức $M$:

$M = \frac{{{\rm{cos}}2x \cdot {\rm{cos}}x + {\rm{sin}}2x \cdot {\rm{sin}}x}}{{{\rm{sin}}x \cdot {\rm{cos}}x}} = \frac{{{\rm{cos}}\left( {2x - x} \right)}}{{{\rm{sin}}x \cdot {\rm{cos}}x}} = \frac{{{\rm{cos}}x}}{{{\rm{sin}}x \cdot {\rm{cos}}x}} = \frac{1}{{{\rm{sin}}x}}$.

Chọn C.

Hàm số lượng giác dạng $y = {\rm{sin}}\left( X \right)$ luôn xác định với mọi biểu thức $X \in \mathbb{R}$. Do đó tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Chọn A.

Trên đoạn $x \in \left[ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]$ (nửa trái đường tròn lượng giác), giá trị của hàm số ${\rm{cos}}x \le 0$. Trong khi đó vế phải $\frac{1}{5} > 0$. Phương trình vô nghiệm trên đoạn này.

Chọn A.

Áp dụng tính chất cấp số cộng:

$\left( { - x} \right) + \left( {2x - 1} \right) = 2 \cdot 12 \Leftrightarrow x - 1 = 24 \Leftrightarrow x = 25$.

Chọn B.

Quan sát đồ thị, ta thấy hàm số $y = {\rm{sin}}2x$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \frac{{3\pi }}{4}; - \frac{\pi }{4}} \right)$.

Chọn B.

Gọi bốn góc có số đo là ${u_1},2{u_1},4{u_1},8{u_1}$. Tổng bốn góc trong tứ giác bằng $360^\circ$:

${u_1} + 2{u_1} + 4{u_1} + 8{u_1} = 360^\circ \Leftrightarrow 15{u_1} = 360^\circ \Leftrightarrow {u_1} = 24^\circ$.

Góc lớn nhất là: $8{u_1} = 8 \cdot 24^\circ = 192^\circ$.

Chọn D.

Số cây xoài ở mỗi hàng lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu ${a_1} = 1$ và công bội $q = 2$.

a) SAI. Vì ${a_4} = {a_1}{q^3} = 1 \cdot {2^3} = 8$.

b) SAI. Công bội là $q = 2$.

c) ĐÚNG. Công thức tổng quát số hạng: ${a_n} = {a_1}{q^{n - 1}} = {2^{n - 1}}$ ($n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}$).

d) SAI. Tổng số cây trồng từ hàng 1 đến hàng thứ $n$ là: ${S_n} = {a_1} \cdot \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 1 \cdot \frac{{1 - {2^n}}}{{1 - 2}} = {2^n} - 1$.

Để trồng hết số cây theo quy trình hoàn chỉnh của các hàng sao cho tổng số cây tối thiểu là 2000 cây, ta cần tìm $n$ sao cho: ${S_n} \ge 2000 \Rightarrow {2^n} - 1 \ge 2000 \Leftrightarrow {2^n} \ge 2001$

Ta có ${2^{10}} = 1024$ và ${2^{11}} = 2048$. Vậy $n = 11$.

Tổng số cây cần thiết để hoàn thành đến hàng thứ 11 là: ${S_{11}} = {2^{11}} - 1 = 2047$ cây.

Số cây trung tâm hiện có là 2000 cây.

Vậy số cây cần mua bổ sung tối thiểu là: $2047 - 2000 = 47{\rm{\;c\^a y}}$.

a) SAI. ${S_1} = 4$; ${S_2} = {2^2} + 3 \cdot 2 = 10$.

b) ĐÚNG. ${u_1} = {S_1} = 4$; ${u_2} = {S_2} - {S_1} = 10 - 4 = 6 \Rightarrow d = {u_2} - {u_1} = 2$.

c) ĐÚNG. ${u_n} = 4 + \left( {n - 1} \right)2 = 2n + 2$.

d) SAI. $2n + 2 = 46 \Leftrightarrow 2n = 44 \Leftrightarrow n = 22$. Số 46 là số hạng thứ 22.

a) ĐÚNG. Khai triển: $A = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + 2{\rm{sin}}x{\rm{cos}}x = 1 + {\rm{sin}}2x$.

b) SAI. Thay $x = 0 \Rightarrow A = 1 + {\rm{sin}}0 = 1$.

c) SAI. Ta có $- 1 \le \sin 2x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}$, suy ra $0 \le 1 + \sin 2x \le 2,\forall x \in \mathbb{R}$.

Tập giá trị là $A \in \left[ {0;2} \right]$.

d) ĐÚNG. ${\rm{cos}}2x = 1 \Rightarrow {\rm{sin}}2x = 0 \Rightarrow A = 1 + 0 = 1$.

a) SAI. Tập xác định của hàm số côsin là $D = \mathbb{R}$.

b) SAI. Vì hàm côsin chẵn nên $f\left( x \right) = {\rm{cos}}\left( { - x} \right) = {\rm{cos}}x$.

c) ĐÚNG. ${\rm{cos}}x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).

d) ĐÚNG. Các nghiệm trong khoảng $\left[ { - \pi ;6\pi } \right]$ gồm $0{,}2\pi ,4\pi ,6\pi$.

Tổng nghiệm: $0 + 2\pi + 4\pi + 6\pi = 12\pi$.

Biến đổi hệ phương trình theo ${v_1}$ và $d$: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\left( {{v_1} + 2d} \right) - \left( {{v_1} + 5d} \right) = - 15}\\{{v_1} + \left( {{v_1} + d} \right) = 11}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - 3d = - 15}\\{2{v_1} + d = 11}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{d = 5}\\{{v_1} = 3}\end{array}} \right.$.

Giá trị của ${v_{25}}$ là: ${v_{25}} = {v_1} + 24d = 3 + 24 \cdot 5 = 123$.

Đáp số: 123.

Nghịch đảo hệ thức truy hồi ta thu được: $\frac{1}{{{u_{n + 1}}}} = \frac{{2{u_n} + 1}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{u_n}}} + 2$.

Đặt ${v_n} = \frac{1}{{{u_n}}}$, ta có ${v_1} = 1$ và ${v_{n + 1}} = {v_n} + 2 \Rightarrow \left( {{v_n}} \right)$ là cấp số cộng có ${v_1} = 1,d = 2$.

Tổng cần tìm: $T = {S_{40}} = \frac{{40}}{2} \cdot \left[ {2 \cdot 1 + 39 \cdot 2} \right] = 20 \cdot 80 = 1600$.

Đáp số: 1600.

Ta có $- 1 \le {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) \le 1,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

Khi đó, ta có hệ phương trình dựa vào biên độ của hàm số côsin ứng với giá trị lớn nhất và nhỏ nhất:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m + a = 12}\\{m - a = 8}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m = 10}\\{a = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow T = \frac{{10}}{2} = 5$.

Đáp số: 5.

Phương trình tương đương: $\frac{\pi }{4} - x = \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{{3\pi }}{4} - k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Nghịệm dương nhỏ nhất ứng với $k = - 1 \Rightarrow x = \frac{{5\pi }}{4} \Rightarrow a = 5,b = 4$.

Tổng thu được: $T = 5 + 4 = 9$.

Đáp số: 9.

Diện tích hình vuông đầu tiên: ${S_1} = {40^2} = 1600\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Tỷ lệ các cạnh chia tạo thành tam giác vuông nhỏ ở góc có hai cạnh góc vuông lần lượt bằng $\frac{1}{4}$ và $\frac{3}{4}$ cạnh của hình vuông ${a_1}$.

Theo định lý Pythagore, bình phương cạnh mới bằng: ${\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{{10}}{{16}} = \frac{5}{8}$ bình phương cạnh cũ.

Do đó diện tích các hình vuông lập thành một cấp số nhân có công bội $q = \frac{5}{8} = 0{,}625$.

Diện tích hình vuông thứ 15: ${S_{15}} = {S_1} \cdot {q^{14}} = 1600 \cdot {\left( {0{,}625} \right)^{14}} \approx 2{,}2204\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$. Làm tròn đến hàng phần trăm được $2{,}22$.

Đáp số: 2,22.

Vì $x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right) \Rightarrow {\rm{cos}}x < 0$. Ta có: ${\rm{cos}}x = - \sqrt {1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x} = - \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Khai triển biểu thức $A$:

$A = {\rm{cos}}\frac{\pi }{4}{\rm{cos}}x - {\rm{sin}}\frac{\pi }{4}{\rm{sin}}x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3} - \frac{1}{3}} \right) = \frac{{ - 4 - \sqrt 2 }}{6} \approx - 0{,}902$.

Làm tròn đến hàng phần chục được $- 0{,}9$.

Đáp số: −0,9.