Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2024-2025 THPT Trần Hưng Đạo (TP.HCM) có đáp án

Giải phương trình lượng giác: $\sin \left( {3x - \frac{{5\pi }}{4}} \right) = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)$

$\sin \left( {3x - \frac{{5\pi }}{4}} \right) = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - \frac{{5\pi }}{4} = 2x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x - \frac{{5\pi }}{4} = \pi - \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.{\rm{(0}}{\rm{.5)}}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{19\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = \frac{{23\pi }}{{60}} + \frac{{k2\pi }}{5}\end{array} \right.{\rm{(0}}{\rm{.5)}}$

Chiều cao của mực nước $h$(m) tại một cảng biển theo thời gian $t$(giờ) $\left( {0 \le t \le 24} \right)$ được cho bởi công thức $h\left( t \right) = 13 + 3{\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)$.

a) Chiều cao của mực nước vào thời điểm $t = 4$ là bao nhiêu mét?

$h(4) = 13 + 3\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}.4} \right) = 14{,}5$(mét) (0.25)

b) Dựa vào đồ thị của hàm số côsin (xem hình bên dưới), hãy cho biết vào những thời điểm nào trong ngày thì chiều cao của mực nước trên $11{,}5{\rm{\;m}}$.

Do chiều cao của mực nước trên 11,5 m nên $13 + 3{\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) > 11{,}5 \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) > - \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$ (0.25)

Do $0 \le t \le 24 \Leftrightarrow 0 \le \frac{\pi }{{12}}t \le 2\pi \,\,\,\left( 2 \right)$

Đặt $x = \frac{\pi }{{12}}t$, từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x > - \frac{1}{2}\\0 \le x \le 2\pi \end{array} \right.$

Dựa vào đồ thị hàm số $y = \cos x$ trên $\left[ {0;2\pi } \right]$, ta có

$\left[ \begin{array}{l}0 \le x < \frac{{2\pi }}{3}\\\frac{{4\pi }}{3} < x \le 2\pi \end{array} \right.\,\,(0.25)\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le \frac{\pi }{{12}}t < \frac{{2\pi }}{3}\\\frac{{4\pi }}{3} < \frac{\pi }{{12}}t \le 2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le t < 8\\16 < t \le 24\end{array} \right.$

Ứng với các thời điểm $t \in \left[ {0;8} \right) \cup \left( {16;24} \right]$ (h), thì chiều cao của mực nước tại cảng biển trên 11,5 m. (0.25)

a) Tìm giao điểm P của SB với (CDM).

Chọn $\left( {SAB} \right)$$\supset SB$.

$M \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MCD} \right)$

$\left\{ \begin{array}{l}N \in AB \subset \left( {SAB} \right)\\N \in CD \subset \left( {MCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow N \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MCD} \right)$

$\Rightarrow$$\left( {SAB} \right) \cap \left( {MDC} \right) = MN$

Trong $\left( {SAB} \right)$, gọi $P = MN \cap SB$

Vậy $P = SB \cap \left( {MCD} \right).$

b) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Chứng minh rằng các đường thẳng SO, DP và CM đồng quy.

Trong $\left( {SAC} \right)$, gọi $I = SO \cap CM \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in SO \subset \left( {SBD} \right)\\I \in CM \subset \left( {DMN} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SBD} \right) \cap \left( {DMN} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}P \in SB \subset \left( {SBD} \right)\\P \in MN \subset \left( {DMN} \right)\end{array} \right. \Rightarrow P \in \left( {SBD} \right) \cap \left( {DMN} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\D \in \left( {SBD} \right) \cap \left( {DMN} \right)\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}$

Từ (1), (2), (3) suy ra I, P, D thẳng hàng hay SO, CM, PD đồng quy tại I.