Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2024-2025 THPT Tân Bình (TP.HCM) có đáp án

Qua 3 điểm không thẳng hàng ta xác định được duy nhất 1 mặt phẳng. Số mặt phẳng nhiều nhất có thể xác định từ 4 điểm không đồng phẳng chính là số cách chọn 3 điểm từ 4 điểm đó: $C_4^3 = 4$ mặt phẳng (chính là 4 mặt của một hình tứ diện).

Chọn B.

Theo công thức cơ bản của hệ thức lượng giác: ${\rm{tan}}\alpha \cdot {\rm{cot}}\alpha = 1$ với điều kiện xác định là $\alpha \ne k\frac{\pi }{2}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn A.

Ta có hệ thức: $1 + {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} \Rightarrow 1 + {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} \Rightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = \frac{1}{6} \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{6}$

Vì $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ (góc thuộc góc phần tư thứ III) nên ${\rm{cos}}\alpha < 0$. Do đó, ${\rm{cos}}\alpha = - \frac{{\sqrt 6 }}{6}$.

Chọn D.

Điểm $M$ nằm ở góc phần tư thứ I có tia đầu là $OA$, tia cuối là $OM$ với $\widehat {AOM} = \frac{\pi }{3}$. Điểm $N$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ $O$, nên các điểm này cách đều nhau một khoảng bằng $\pi$ trên đường tròn lượng giác. Công thức tổng quát biểu diễn cho hai điểm $M$ và $N$ là: $x = \frac{\pi }{3} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn B.

Khi $\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)$ (góc thuộc góc phần tư thứ IV), ta có: ${\rm{cos}}\alpha > 0$, ${\rm{sin}}\alpha < 0$, ${\rm{tan}}\alpha < 0$, ${\rm{cot}}\alpha < 0$. Do đó mệnh đề ${\rm{cos}}\alpha > 0$ là đúng.

Chọn A.

Dãy số $1;3;5;7;9$ có số hạng sau luôn lớn hơn số hạng trước ($3 > 1{,}5 > 3,...$). Đây là một dãy số tăng.

Các dãy còn lại là dãy đan dấu hoặc dãy giảm.

Chọn D.

Hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ có điểm chung là $S$. Mặt khác, chúng lần lượt chứa hai đường thẳng song song với nhau là $AB$ và $CD$ (do $ABCD$ là hình bình hành).

Theo tính chất giao tuyến song song, giao tuyến của $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB,CD$.

Chọn A.

Công thức đổi từ độ sang radian: $\alpha = \alpha ^\circ \cdot \frac{\pi }{{180^\circ }}$.

Áp dụng: $20^\circ = 20 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{9}$ rad.

Chọn B.

Theo công thức các góc phụ nhau (sin bù, cos đối, phụ chéo): ${\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = {\rm{cos}}\alpha$.

Chọn C.

Sử dụng công thức nhân đôi:

${\rm{cos}}2\alpha = 1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = 1 - 2 \cdot {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = 1 - 2 \cdot \frac{9}{{16}} = 1 - \frac{9}{8} = - \frac{1}{8}$.

Chọn A.

Hàm số $y = {\rm{tan}}x = \frac{{{\rm{sin}}x}}{{{\rm{cos}}x}}$ xác định khi ${\rm{cos}}x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy tập xác định là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Chọn C.

Vì tập giá trị của hàm số $y = {\rm{sin}}x$ luôn nằm trong đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$, do đó phương trình ${\rm{sin}}x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $- 1 \le m \le 1$.

Chọn D.

Mệnh đề B nói rằng “Qua hai đường thẳng xác định duy nhất một mặt phẳng” là sai, bởi vì nếu hai đường thẳng đó chéo nhau thì không thể cùng thuộc một mặt phẳng nào cả. Để xác định mặt phẳng cần hai đường thẳng cắt nhau hoặc song song.

Chọn B.

Ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$.

Từ ${u_5} = 19 \Rightarrow {u_1} + 4d = 19 \Rightarrow 3 + 4d = 19 \Rightarrow 4d = 16 \Rightarrow d = 4$.

Khi đó, giá trị số hạng thứ 12 là: ${u_{12}} = {u_1} + 11d = 3 + 11 \cdot 4 = 47$.

Chọn D.

Dựa vào đồ thị hàm số lượng giác $y = {\rm{sin}}x$, trên khoảng $\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right)$, đồ thị đi xuống từ điểm cực đại $\left( { - \frac{{3\pi }}{2};1} \right)$ tới điểm cực tiểu $\left( { - \frac{\pi }{2}; - 1} \right)$. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này.

Chọn A.

Xét dãy số ${u_n} = 3n + 1$, ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {3\left( {n + 1} \right) + 1} \right] - \left( {3n + 1} \right) = 3$ (là một hằng số $d = 3$). Do đó ${u_n} = 3n + 1$ là một cấp số cộng. Các phương án còn lại đều thuộc dạng cấp số nhân hoặc cấp số mũ.

Chọn A.

$2{\rm{sin}}x = \sqrt 3 \Leftrightarrow {\rm{sin}}x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow {\rm{sin}}x = {\rm{sin}}\frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn C.

Ta thấy mặt phẳng $\left( {SBM} \right)$ chính là mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$.

Xét hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$:

Ta có điểm chung đầu tiên rõ ràng là $S$.

Trong mặt phẳng đáy $\left( {ABCD} \right)$, đường thẳng $AC$ cắt đường thẳng $BD$ tại một điểm $O$. Do $AC \subset \left( {SAC} \right)$ và $BD \subset \left( {SBD} \right)$ nên $O$ là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng $SO$.

Chọn A.

${u_2} = {u_1} - 2 = 3 - 2 = 1$.

${u_3} = {u_2} - 2 = 1 - 2 = - 1$.

Chọn C.

Theo công thức nhân đôi: ${\rm{cos}}2a = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a$. Do đó công thức ở phương án A: ${\rm{cos}}2a = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a$ (bằng 1) là sai.

Chọn A.

Rút gọn hàm số $f\left( x \right)$:

Ta có ${\rm{cos}}\left( {x + \pi } \right) = - {\rm{cos}}x$ và ${\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = {\rm{cos}}2x$.

Do đó: $f\left( x \right) = - {\rm{cos}}x + {\rm{cos}}2x$.

a) Sai. Vì dấu đúng phải là $- {\rm{cos}}x$.

b) Sai. Ta có $f\left( { - x} \right) = - {\rm{cos}}\left( { - x} \right) + {\rm{cos}}\left( { - 2x} \right) = - {\rm{cos}}x + {\rm{cos}}2x = f\left( x \right)$.

Do $f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)$ nên đây là hàm số chẵn.

c) Đúng. Thay $x = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = - {\rm{cos}}0 + {\rm{cos}}0 = - 1 + 1 = 0$.

Vì $f\left( 0 \right) = 0$ nên đồ thị đi qua gốc tọa độ.

d) Sai. Xét $f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}2x = {\rm{cos}}x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + k2\pi \\2x = - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Nghiệm $x = k2\pi$ được biểu diễn bởi 1 điểm (trùng với một trong các điểm của họ sau). Họ nghiệm $x = \frac{{k2\pi }}{3}$ biểu diễn bởi 3 điểm phân biệt trên đường tròn lượng giác tạo thành một tam giác đều. Gộp lại ta có tổng cộng chính xác là 3 điểm phân biệt chứ không phải 4.

a) Sai. Hai đường thẳng $SC$ và $AB$ chéo nhau vì chúng không cùng thuộc một mặt phẳng nào cả.

b) Đúng. Vì $S$ là điểm chung thứ nhất, và $O = AC \cap BD \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$ là điểm chung thứ hai.

c) Đúng. Xét trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$, đường thẳng $AN$ cắt $SO$ tại điểm $I$. Vì $O$ là trung điểm $AC$ nên $SO$ là đường trung tuyến của , đồng thời $AN$ cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh $SC$. Giao điểm $I$ của hai đường trung tuyến chính là trọng tâm của .

d) Sai. Thực chất, xét 3 điểm $I,J,B$: điểm $I \in AN \subset \left( {ABN} \right)$, điểm $B \in \left( {ABN} \right)$, và giao điểm $J$ của $MN$ với $\left( {SBD} \right)$ cũng thuộc mặt phẳng $\left( {ABN} \right)$ và đồng thời thuộc $\left( {SBD} \right)$. Theo định lý về ba mặt phẳng cắt nhau hoặc quan hệ giao tuyến, ba điểm $I,J,B$ chính là các điểm cùng nằm trên giao tuyến của mặt phẳng $\left( {ABN} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$, do đó chúng phải thẳng hàng. Như vậy $MN \cap BI = J$.

Ta biến đổi phương trình về dạng cơ bản: $2{\rm{sin}}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \sqrt 3 \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Vì ${\rm{sin}}\left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$, phương trình tương đương với: ${\rm{sin}}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = {\rm{sin}}\left( { - \frac{\pi }{3}} \right)$.

Áp dụng công thức nghiệm phương trình lượng giác của hàm sin, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1:

$2x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow 2x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Trường hợp 2:

$2x + \frac{\pi }{3} = \pi - \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{3} = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ { - \frac{\pi }{3} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi \;|\;k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Ta tiến hành phân tích số que diêm cần dùng theo từng tầng từ trên xuống dưới:

Tầng 1 (trên cùng): Tổng số diêm cho tầng 1 là ${u_1} = 3$ que diêm.

Tầng 2: Số diêm cần thêm cho riêng tầng 2 là ${u_2} = 7$ que.

Tầng 3: Số diêm cần thêm cho riêng tầng 3 là ${u_3} = 11$ que.

Tổng quát, số lượng que diêm bổ sung cho tầng thứ $n$ lập thành một cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 3$ và công sai $d = 4$.

Tổng số que diêm để hoàn thành một tháp gồm có $10$ tầng chính là tổng của $10$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng này: ${S_{10}} = \frac{{10}}{2} \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {10 - 1} \right)d} \right] = 5\left( {2 \cdot 3 + 9 \cdot 4} \right) = 210$.

Vậy để xếp được tháp có $10$ tầng, bạn An cần dùng tất cả 210 que diêm.

Xét hai mặt phẳng $\left( {AGC} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$:

Tìm điểm chung thứ nhất: Ta thấy ngay điểm $C$ đều thuộc cả hai mặt phẳng $\left( {AGC} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$, tức là $C \in \left( {AGC} \right) \cap \left( {SBC} \right)$.

Tìm điểm chung thứ hai:

Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SD$. Do $G$ là trọng tâm của tam giác $SCD$, nên điểm $G$ phải thuộc đường trung tuyến $CM$, kéo theo $G \in \left( {ACM} \right)$. Vậy mặt phẳng $\left( {AGC} \right)$ thực chất chính là mặt phẳng $\left( {AMC} \right)$.

Bây giờ việc tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {AGC} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ quy về tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {AMC} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.

Ta tìm giao điểm của $AM$ với mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$:

$ABCD$ là hình bình hành nên $AD{\rm{//}}BC$. Mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ có chung điểm $S$ và chứa hai đường thẳng song song $AD{\rm{//}}BC$, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng $Sx$ song song với $AD$ và $BC$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$, kéo dài $AM$ cắt đường thẳng giao tuyến $Sx$ tại điểm $P$.

Vì $P \in Sx \subset \left( {SBC} \right)$ nên $P \in \left( {SBC} \right)$. Mặt khác $P \in AM \subset \left( {AMC} \right) \equiv \left( {AGC} \right)$.

Do đó $P$ là điểm chung thứ hai của hai mặ phẳng $\left( {AGC} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.

Kết luận: Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {AGC} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là đường thẳng $CP$.