Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2024-2025 THPT Đông Anh (Hà Nội) có đáp án - mã 101

Ta có $S$ là điểm chung thứ nhất của $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$.

Trong mặt phẳng đáy $\left( {ABCD} \right)$, có $I = AB \cap CD$. Do đó $I \in AB \subset \left( {SAB} \right)$ và $I \in CD \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow I$ là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng $SI$.

Đáp án đúng: D

Điều kiện xác định: $2{\rm{cos}}x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}x \ne \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow x \ne \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vì $- \frac{\pi }{3} + k2\pi$ có thể viết lại thành $\frac{{5\pi }}{3} + m2\pi$, tập xác định của hàm số là:

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ,\frac{{5\pi }}{3} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Đáp án đúng: C

Công thức đúng là: ${\rm{sin}}\left( {a - b} \right) = {\rm{sin}}a{\rm{cos}}b - {\rm{cos}}a{\rm{sin}}b$.

Biến đổi lại ta được ${\rm{sin}}\left( {a - b} \right) = {\rm{cos}}b{\rm{sin}}a - {\rm{cos}}a{\rm{sin}}b$.

Đáp án đúng: D

Với $\frac{\pi }{2} < a < \pi$, điểm biểu diễn của góc $a$ nằm ở góc phần tư thứ II trên đường tròn lượng giác. Tại đây, trục tung (sin) có giá trị dương và trục hoành (cos) có giá trị âm. Do đó ${\rm{sin}}a > 0$ và ${\rm{cos}}a < 0$.

Đáp án đúng: C

Ta có: ${\rm{cos}}2x - 1 + m = 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}2x = 1 - m$.

Phương trình vô nghiệm khi: $\left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{1 - m > 1}\\{1 - m < - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m < 0}\\{m > 2}\end{array}} \right.$.

Vậy tập hợp giá trị thực của $m$ là $\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng: C

Biến đổi biểu thức:

$\frac{{2{\rm{sin}}2\alpha - {\rm{sin}}4\alpha }}{{2{\rm{sin}}2\alpha + {\rm{sin}}4\alpha }} = \frac{{2{\rm{sin}}2\alpha - 2{\rm{sin}}2\alpha {\rm{cos}}2\alpha }}{{2{\rm{sin}}2\alpha + 2{\rm{sin}}2\alpha {\rm{cos}}2\alpha }} = \frac{{2{\rm{sin}}2\alpha \left( {1 - {\rm{cos}}2\alpha } \right)}}{{2{\rm{sin}}2\alpha \left( {1 + {\rm{cos}}2\alpha } \right)}} = \frac{{1 - {\rm{cos}}2\alpha }}{{1 + {\rm{cos}}2\alpha }}$

Áp dụng công thức: $1 - {\rm{cos}}2\alpha = 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha$ và $1 + {\rm{cos}}2\alpha = 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha$, ta được: $\frac{{2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha }}{{2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} = {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha$.

Đáp án đúng: C

Xét mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$, ta thấy đường thẳng $SD$ và đường thẳng $OM$ cùng nằm trong mặt phẳng này (do $O \in BD \subset \left( {SBD} \right)$ và $M \in SB \subset \left( {SBD} \right)$).

Mặt khác, $O \in AC \subset \left( {ACM} \right)$ và $M \in \left( {ACM} \right) \Rightarrow OM \subset \left( {ACM} \right)$.

Do đó, giao điểm của $SD$ và $\left( {ACM} \right)$ chính là giao điểm của $SD$ và $OM$.

Đáp án đúng: A

Xét hàm số $y = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + {\rm{cos}}x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$. Ta có:

$f\left( { - x} \right) = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\left( { - x} \right) + {\rm{cos}}\left( { - x} \right) = {\left( { - {\rm{sin}}x} \right)^2} + {\rm{cos}}x = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + {\rm{cos}}x = f\left( x \right)$.

Vậy đây là hàm số chẵn.

Đáp án đúng: C

Với $n = 50$: ${u_{50}} = \frac{{50 - 2}}{{3 \cdot 50 + 1}} = \frac{{48}}{{151}}$. Phương án B đưa ra kết quả $\frac{{47}}{{150}}$ là sai.

Đáp án đúng: B

Số hạng thứ năm là: ${u_5} = {u_1} + 4d = 2 + 4 \cdot 6 = 26$.

Đáp án đúng: A

${\rm{cos}}x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow {\rm{cos}}x = {\rm{cos}}\frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng: B

Hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ có điểm chung là $S$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song là $AD$ và $BC$. Do đó, giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua $S$ và song song với cả $AD$ và $BC$.

Đáp án đúng: C

a) Sai. $AM \subset \left( {SAB} \right)$ và $SO \subset \left( {SAC} \right)$. Hai đường thẳng này không cùng thuộc một mặt phẳng (chéo nhau) nên không thể cắt nhau.

b) Đúng. Ta có $M \in SB \subset \left( {SBD} \right)$ và $M \in \left( {MAD} \right)$, đồng thời $D$ là điểm chung của cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến là $MD$.

c) Đúng. $I,A,N$ đều là các điểm chung của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {MAD} \right)$, do đó chúng cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng này nên thẳng hàng.

d) Sai. Nếu $N \in AM$ thì đường thẳng $AM$ và $SC$ cắt nhau tại $N$, điều này vô lý vì $AM$ và $SC$ chéo nhau.

a) Đúng. Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên ${\rm{cos}}\alpha < 0$. Ta có ${\rm{cos}}\alpha = - \sqrt {1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha } = - \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

b) Đúng. ${\rm{cos}}2\alpha = 1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{7}{9}$.

c) Đúng. ${\rm{sin}}2\alpha = 2{\rm{sin}}\alpha {\rm{cos}}\alpha = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) = - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}$.

d) Sai. ${\rm{cot}}2\alpha = \frac{{{\rm{cos}}2\alpha }}{{{\rm{sin}}2\alpha }} = \frac{{7/9}}{{ - 4\sqrt 2 /9}} = - \frac{7}{{4\sqrt 2 }} = - \frac{{7\sqrt 2 }}{8}$.

a) Sai. ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{3}{2} + \left( {n - 1} \right)\frac{1}{2} = 1 + \frac{n}{2}$.

b) Sai. ${S_{100}} = \frac{{100}}{2}\left[ {2{u_1} + 99d} \right] = 50\left[ {2 \cdot \frac{3}{2} + 99 \cdot \frac{1}{2}} \right] = 50 \cdot \frac{{105}}{2} = 2625$.

c) Đúng. Thử với $n = 8$: ${u_8} = 1 + \frac{8}{2} = 5$.

d) Sai. Cho $1 + \frac{n}{2} = \frac{{15}}{4} \Leftrightarrow \frac{n}{2} = \frac{{11}}{4} \Leftrightarrow n = \frac{{11}}{2} \notin {\mathbb{N}^{\rm{*}}}$. Vậy $\frac{{15}}{4}$ không phải là số hạng của dãy.

a) Sai. Ta có $2\sin x = \sqrt 2 \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{4}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Trong khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ phương trình chỉ có duy nhất một nghiệm là $x = \frac{\pi }{4}$.

b) Đúng. Các nghiệm dương của phương trình là $\frac{\pi }{4},\frac{{3\pi }}{4}, \ldots$ nên nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$.

c) Sai. Phương trình có nghiệm là: $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ;x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

d) Đúng. Vì ${\rm{sin}}\frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Số hộp sữa xếp ở các hàng lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = 1$, công sai $d = 2$.

Tổng số hộp sữa là ${S_n} = 900$. Ta có công thức:

${S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} \Leftrightarrow 900 = \frac{{n\left[ {2 \cdot 1 + \left( {n - 1} \right)2} \right]}}{2} = \frac{{n \cdot 2n}}{2} = {n^2}$

Suy ra ${n^2} = 900 \Rightarrow n = 30$ (hàng).

Số hộp sữa ở hàng dưới cùng (hàng thứ 30) là: ${u_{30}} = {u_1} + 29d = 1 + 29 \cdot 2 = 59$.

Kết quả: 59.

$\sin \left( {2x + 30^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$$\Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {2x + 30^\circ } \right) = {\rm{sin}}60^\circ$.

Trường hợp 1: $2x + 30^\circ = 60^\circ + k360^\circ \Leftrightarrow 2x = 30^\circ + k360^\circ \Leftrightarrow x = 15^\circ + k180^\circ$.

Vì $x \in \left( { - 180^\circ ;180^\circ } \right) \Rightarrow k = - 1 \to x = - 165^\circ$; $k = 0 \to x = 15^\circ$ (2 nghiệm).

Trường hợp 2: $2x + 30^\circ = 180^\circ - 60^\circ + k360^\circ \Leftrightarrow 2x = 90^\circ + k360^\circ \Leftrightarrow x = 45^\circ + k180^\circ$

Vì $x \in \left( { - 180^\circ ;180^\circ } \right) \Rightarrow k = - 1 \to x = - 135^\circ$; $k = 0 \to x = 45^\circ$ (2 nghiệm).

Tổng số nghiệm trên khoảng là $2 + 2 = 4$.

Kết quả: 4.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_4} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array} \Rightarrow 10 + {u_6} = 26 \Rightarrow {u_6} = 16} \right.$.

Mặt khác: ${u_6} - {u_4} = 2d \Leftrightarrow 16 - 10 = 2d \Rightarrow 2d = 6 \Rightarrow d = 3$.

Kết quả: 3.

Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi trên là một cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = 3$ và công sai $d = 2$.

Số hạng thứ 5 của dãy là: ${u_5} = {u_1} + 4d = 3 + 4 \cdot 2 = 11$.

Kết quả: 11.

Vì $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên ${\rm{cos}}\alpha < 0$.

Ta có: ${\rm{cos}}\alpha = - \sqrt {1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2}} = - \frac{4}{5} = - 0{,}8$.

Kết quả: −0,8.

Khai triển biểu thức $A$:

$A = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha + 2{\rm{cos}}\alpha {\rm{cos}}\beta + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\beta + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + 2{\rm{sin}}\alpha {\rm{sin}}\beta + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\beta$.

Nhóm các hạng tử:

$A = \left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right) + \left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\beta + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\beta } \right) + 2\left( {{\rm{cos}}\alpha {\rm{cos}}\beta + {\rm{sin}}\alpha {\rm{sin}}\beta } \right)$.

Áp dụng công thức lượng giác cơ bản và công thức cộng:

$A = 1 + 1 + 2{\rm{cos}}\left( {\alpha - \beta } \right) = 2 + 2{\rm{cos}}\frac{\pi }{3} = 2 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3$.

Kết quả: 3.