Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2024-2025 THPT Cầu Giấy (Hà Nội) có đáp án

Khoảng $\left( {\frac{{7\pi }}{4};2\pi } \right)$ thuộc góc phần tư thứ IV của đường tròn lượng giác. Tại đây, hoành độ của các điểm biểu diễn luôn dương, nghĩa là ${\rm{cos}}\alpha > 0$. Còn ${\rm{sin}}\alpha$, ${\rm{tan}}\alpha$, và ${\rm{cot}}\alpha$ đều nhận giá trị âm. Do đó, mệnh đề đúng là ${\rm{cos}}\alpha > 0$.

Chọn C.

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị đối xứng qua trục tung Oy và đi qua các điểm $\left( {0;1} \right),\left( {\frac{\pi }{2};0} \right)$ nên đây là đồ thị của hàm số $y = {\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x.$

Chọn D.

Xét tam giác $SAB$, vì $I,J$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác, suy ra $IJ{\rm{//}}AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB{\rm{//}}CD$. Xét tiếp tam giác $SCD$, có $E,F$ là trung điểm của $SC,SD$ nên $EF{\rm{//}}CD$. Từ đó ta có mối quan hệ song song: $IJ{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD{\rm{//}}EF$. Do đó, đường thẳng không song song với $IJ$ là $AD$.

Chọn D.

Hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {IJG} \right)$ có điểm chung đầu tiên là $G$. Mặt khác, $I,J$ lần lượt là trung điểm hai cạnh bên của hình thang $ABCD$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD$. Theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng, khi hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ song song với hai đường thẳng đó. Vậy giao tuyến là đường thẳng đi qua $G$ và song song với $AB$tức là cũng song song với $DC$.

Chọn A.

Áp dụng công thức lượng giác cơ bản: ${\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1$, ta suy ra ${\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}$.

Vì góc $\alpha$ thỏa mãn $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ (thuộc góc phần tư thứ II) nên giá trị cosin phải âm (${\rm{cos}}\alpha < 0$). Do đó, ${\rm{cos}}\alpha = - \sqrt {\frac{9}{{25}}} = - \frac{3}{5}$.

Chọn C.

Mệnh đề A sai vì chưa chặt chẽ. Nếu hai mặt phẳng đó trùng nhau, chúng sẽ có vô số đường thẳng chung chứ không phải là đường thẳng chung “duy nhất”. Điều kiện duy nhất này chỉ đúng khi hai mặt phẳng đó phân biệt (như mệnh đề C).

Chọn A.

Hàm số phân thức xác định khi mẫu số khác 0: ${\rm{cos}}x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}x \ne 1$$\Leftrightarrow x \ne k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Chọn D.

Khi gọi tên hình chóp $S.ABCD$ một cách tổng quát, đáy $ABCD$ chỉ cần là một tứ giác lồi bất kỳ, không bắt buộc hay mặc định phải là hình vuông. Do đó khẳng định C là khẳng định sai.

Chọn C.

Do $a$ và $c$ chéo nhau nên chúng không cùng nằm trên một mặt phẳng. Vì $b{\rm{//}}a$ nên $b$ không thể song song hay trùng với $c$ (vì nếu song song hoặc trùng thì dẫn đến $a$ cũng song song hoặc cắt $c$, mâu thuẫn với giả thiết ban đầu). Do đó, vị trí tương đối giữa $b$ và $c$ chỉ có thể rơi vào hai trường hợp: cắt nhau hoặc chéo nhau.

Chọn C.

Biến đổi tử số bằng công thức biến đổi tổng thành tích: ${\rm{sin}}3x - {\rm{sin}}x = 2{\rm{cos}}\frac{{3x + x}}{2}{\rm{sin}}\frac{{3x - x}}{2} = 2{\rm{cos}}2x{\rm{sin}}x$.

Biến đổi mẫu số bằng công thức nhân đôi của côsin: $2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 1 = {\rm{cos}}2x$.

Thay cả hai vào biểu thức $M$, ta rút gọn được đại lượng ${\rm{cos}}2x$: $M = \frac{{2{\rm{cos}}2x{\rm{sin}}x}}{{{\rm{cos}}2x}} = 2{\rm{sin}}x$.

Chọn A.

Đây là một trong những tính chất thừa nhận (tiên đề) cơ bản của hình học không gian: Qua 3 điểm không thẳng hàng, luôn xác định được một và chỉ một mặt phẳng duy nhất.

Chọn B.

Theo hình vẽ, tia đầu của góc lượng giác là $OA$ (nằm trên tia $Ox$) và tia cuối là $OM$. Góc hình học tạo bởi hai tia này bằng $150^\circ$. Chiều quay từ tia $OA$ đến tia $OM$ là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ, quy ước đây là chiều dương. Do đó, công thức số đo tổng quát của góc lượng giác này là $150^\circ + k360^\circ$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Chọn C.

a) ĐÚNG: Ta có ${\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = 1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{11}}{{61}}} \right)^2} = \frac{{3600}}{{3721}}$. Vì góc thuộc khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)$ (góc phần tư thứ IV) nên giá trị sin âm. Do đó, ${\rm{sin}}\alpha = - \sqrt {\frac{{3600}}{{3721}}} = - \frac{{60}}{{61}}$.

b) SAI: Sử dụng công thức cộng: ${\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{6} - \alpha } \right) = {\rm{sin}}\frac{\pi }{6}{\rm{cos}}\alpha - {\rm{cos}}\frac{\pi }{6}{\rm{sin}}\alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{{11}}{{61}} - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \left( { - \frac{{60}}{{61}}} \right) = \frac{{11 + 60\sqrt 3 }}{{122}}$, giá trị này hoàn toàn khác với $\frac{{11}}{{122}}$.

c) SAI: Tính các giá trị nhân đôi: ${\rm{sin}}2\alpha = 2{\rm{sin}}\alpha {\rm{cos}}\alpha = - \frac{{1320}}{{3721}}$ và ${\rm{cos}}2\alpha = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = - \frac{{3479}}{{3721}}$.

Áp dụng công thức cộng cho cosin: ${\rm{cos}}\left( {2\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) = {\rm{cos}}2\alpha {\rm{cos}}\frac{\pi }{3} - {\rm{sin}}2\alpha {\rm{sin}}\frac{\pi }{3} = \frac{{ - 3479 + 1320\sqrt 3 }}{{7442}}$, biểu thức dính căn thức nên không bằng phân số thuần túy đề bài cho.

d) ĐÚNG: Ta tìm được ${\rm{tan}}2\alpha = \frac{{{\rm{sin}}2\alpha }}{{{\rm{cos}}2\alpha }} = \frac{{1320}}{{3479}}$.

Khai triển biểu thức: ${\rm{tan}}\left( {\frac{{3\pi }}{4} - 2\alpha } \right) = \frac{{{\rm{tan}}\frac{{3\pi }}{4} - {\rm{tan}}2\alpha }}{{1 + {\rm{tan}}\frac{{3\pi }}{4}{\rm{tan}}2\alpha }} = \frac{{ - 1 - \frac{{1320}}{{3479}}}}{{1 - \frac{{1320}}{{3479}}}} = - \frac{{4799}}{{2159}}$.

a) ĐÚNG: Do tính tuần hoàn của hàm cosin với chu kỳ $2\pi$, ta trừ bớt đại lượng $18\pi$ ở cả hai đầu mút khoảng $\left( {19\pi ;\frac{{79\pi }}{4}} \right)$, bài toán đưa về xét trên khoảng $\left( {\pi ;\frac{{7\pi }}{4}} \right)$. Trên khoảng này, điểm biểu diễn chạy trên nửa dưới đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ III và thứ IV, giá trị cosin liên tục tăng từ $- 1$ lên đến $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$, tức là hàm số đồng biến.

b) ĐÚNG: Tập xác định $D = \mathbb{R}$ là tập đối xứng và ta luôn có ${\rm{cos}}\left( { - x} \right) = {\rm{cos}}x$ với mọi $x$, đây chính là định nghĩa của hàm số chẵn.

c) SAI: Tập xác định của hàm số $y = {\rm{cos}}x$ là $D = \mathbb{R}$, còn khoảng $\left[ { - 1;1} \right]$ là tập giá trị của hàm số.

d) SAI: Đoạn $\left[ {\frac{{ - \pi }}{4};\frac{{2\pi }}{3}} \right]$ chứa điểm $x = 0$. Tại điểm này, ${\rm{cos}}0 = 1$. Vì 1 là giá trị lớn nhất tuyệt đối của hàm số cosin nên giá trị lớn nhất trên đoạn này phải bằng 1, không phải $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

a) SAI: Áp dụng công thức đổi đơn vị, ta tính được $- 495 \cdot \frac{\pi }{{180}} = - \frac{{11\pi }}{4}{\rm{\;rad}}$, không phải $- \frac{{13\pi }}{4}$.

b) SAI: Ta phân tích $- 405^\circ = - 360^\circ - 45^\circ$. Do góc $- 360^\circ$ tương ứng quay đúng một vòng tròn trở lại điểm đầu, điểm biểu diễn góc này trùng hoàn toàn với góc $- 45^\circ$ nằm ở góc phần tư thứ IV, tuy nhiên, nếu viết dưới dạng góc hình học thì ta cần viết $\widehat {AON} = 45^\circ$.

c) SAI: Áp dụng hệ thức Chasles:

${\rm{sd}}\left( {Ou,Ov} \right) = {\rm{sd}}\left( {Ox,Ov} \right) - {\rm{sd}}\left( {Ox,Ou} \right) + k360^\circ = 120^\circ - \left( { - 240^\circ } \right) + k360^\circ = 360^\circ + k360^\circ = m360^\circ$ với $m \in \mathbb{Z}$. Công thức này không giống với $- 120^\circ + k360^\circ$.

d) SAI: Góc hình học không phân biệt chiều quay, nhưng góc lượng giác thì có hướng. Từ góc hình học $75^\circ$, công thức góc lượng giác tổng quát đầy đủ phải gồm cả hai hướng quay là $\pm 75^\circ + k360^\circ$. Việc thiếu dấu trừ khiến khẳng định này sai.

a) ĐÚNG: Ta tìm $J$ là giao điểm của $SA$ với mặt phẳng $\left( {CKB} \right)$. Chọn mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ chứa đường thẳng $SA$, ta tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {CKB} \right)$.

Ta có $K \in \left( {CKB} \right)$ và $K \in SD \subset \left( {SAD} \right)$, vậy $K$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {CKB} \right)$.

Lại có hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {CKB} \right)$ lần lượt chứa hai đường thẳng $AD$ và $CB$ song song với nhau nên theo định lý giao tuyến song song, giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua điểm $K$ và song song với $AD$ và $CB$.

Mà $K$ là trung điểm của $SD$ nên xét trong tam giác $SAD$, đường thẳng đi qua $K$ và song song với $AD$ cắt đường thẳng $SA$ tại trung điểm của nó. Như vậy điểm $J$ được xác định đồng thời là trung điểm của $SA$.

Khi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $SA$, đoạn $IJ$ tạo thành đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $IJ{\rm{//}}AB$. Mặt khác $AB{\rm{//}}CD$, do đó $IJ{\rm{//}}CD$.

b) ĐÚNG: $C \in OA \subset \left( {OIA} \right)$ và $C \in \left( {SCD} \right)$ nên hai mặt phẳng $\left( {OIA} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ có một điểm chung là $C$.

Ta có $OI$ là đường trung bình của tam giác $SBD$ nên $OI{\rm{//}}SD$.

Hai mặt phẳng $\left( {OIA} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ lần lượt chứa hai đường thẳng song song nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua $C$ và song song với $SD$ và $OI$.

c) ĐÚNG: Xét hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$, điểm chung thứ nhất là đỉnh $S$. Ở phần đáy, giao điểm hai đường chéo là $O = AC \cap BD$ tạo nên điểm chung thứ hai. Giao tuyến chung là đường thẳng $SO$.

d) SAI: Theo chứng minh ở ý a).

Khoảng thời gian tính từ lúc 11 giờ 15 phút cho đến lúc 2 giờ đúng (14 giờ 00 phút) trôi qua tổng cộng là 2 tiếng và 45 phút, đổi ra số thập phân là $2{,}75$ giờ. Mỗi một giờ đồng hồ chạy qua, kim phút hoàn thành đúng một vòng tròn quay, tương ứng góc $360^\circ$ theo chiều thuận kim đồng hồ (đây là chiều âm theo quy ước lượng giác). Số đo góc lượng giác thu được là: $2{,}75 \cdot \left( { - 360^\circ } \right) = - 990^\circ$.

Đáp số: $- 990$.

Khoảng thời gian trôi qua tính từ mốc giờ bắt đầu (6 giờ sáng) cho tới lúc 9 giờ 20 phút sáng là 3 giờ 20 phút. Đổi toàn bộ lượng thời gian này sang đơn vị giờ: $t = 3 + \frac{{20}}{{60}} = \frac{{10}}{3}$ giờ. Thay giá trị ẩn thời gian này vào phương trình hàm số độ dài bóng tháp: $S = 40 \cdot \left| {{\rm{cot}}\left( {\frac{\pi }{{12}} \cdot \frac{{10}}{3}} \right)} \right| = 40 \cdot \left| {{\rm{cot}}\frac{{5\pi }}{{18}}} \right|$.

Ta có ${\rm{cot}}\frac{{5\pi }}{{18}} = {\rm{cot}}50^\circ \approx 0{,}8391$.

Độ dài bóng tháp thu được xấp xỉ bằng: $40 \cdot 0{,}8391 \approx 33{,}6{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right)$.

Đáp số: $33{,}6$.

Sử dụng các công thức liên quan giữa các góc đặc biệt để thu gọn:

* ${\rm{sin}}\left( {\frac{{9\pi }}{2} - x} \right) = {\rm{sin}}\left( {4\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right) = {\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = {\rm{cos}}x$;

* ${\rm{cos}}\left( {19\pi - x} \right) = {\rm{cos}}\left( {18\pi + \pi - x} \right) = {\rm{cos}}\left( {\pi - x} \right) = - {\rm{cos}}x$.

Thay lại vào biểu thức ban đầu, ta rút gọn được: $T = 2{\rm{cos}}x + 3\left( { - {\rm{cos}}x} \right) = - {\rm{cos}}x$. Đồng nhất hệ số đứng trước biểu thức ${\rm{cos}}x$ với dạng thức $k{\rm{cos}}x$, ta suy ra được giá trị $k = - 1$.

Đáp số: $- 1$.

Để tạo lập số lượng mặt phẳng nhiều nhất có thể, ta xét trường hợp đường thẳng $c$ đồng thời chéo nhau với cả hai đường thẳng song song $a,b$, và điểm $M$ không thuộc vào đường nào trong hai đường này. Các tổ hợp tạo mặt phẳng tối đa bao gồm:

1. Mặt phẳng tạo bởi hai đường thẳng song song ban đầu: ${\rm{mp}}\left( {a,b} \right)$.

2. Mặt phẳng chứa điểm $M$ kết hợp đường thẳng thứ nhất: ${\rm{mp}}\left( {M,a} \right)$.

3. Mặt phẳng chứa điểm $M$ kết hợp đường thẳng thứ hai: ${\rm{mp}}\left( {M,b} \right)$.

Do đường thẳng $c$ chứa điểm $M$ và nằm cắt/chéo lập trên các mặt phẳng này, số lượng mặt phẳng độc lập phân biệt tối đa nhận được bằng 3.

Đáp số: $3$.

Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm hai cạnh bên của hình thang đáy $AD$ và $BC$. Độ dài đường trung bình hình thang bằng: $IJ = \frac{{AB + CD}}{2} = \frac{{8 + 4}}{2} = 6{\rm{\;dm}}$. Mặt phẳng cắt qua $I,J$ cắt hai cạnh bên $SA,SB$ tại $M,N$. Để thiết diện tứ giác $IJNM$ trở thành một hình bình hành, điều kiện bắt buộc là cạnh đối $MN$ phải song song và có độ dài bằng đúng cạnh đáy $IJ = 6{\rm{\;dm}}$.

Do $MN{\rm{//}}IJ$ và $IJ{\rm{//}}AB \Rightarrow MN{\rm{//}}AB$. Áp dụng định lý Thales trong tam giác bên $SAB$, ta có

$\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Từ tỉ lệ $\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{3}{4}$, ta thấy đoạn $SA$ được chia làm 4 phần, đoạn $MA$ chiếm số lượng 1 phần còn lại $\Rightarrow SA = 4 \cdot MA \Rightarrow k = 4$. Tương tự, từ $\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{3}{4} \Rightarrow SB = 4 \cdot NB \Rightarrow h = 4$.

Tổng hai giá trị hệ số là: $k + h = 4 + 4 = 8$.

Đáp số: $8$.

Đặt khoảng cách nằm tính từ vị trí vận động viên nằm bắn $A$ đến chân bức tường vuông góc $H$ là đại lượng $AH = x$ với điều kiện $x > 0$. Gọi $B$ và $C$ lần lượt là vị trí các hồng tâm mục tiêu bắn trúng trên tường. Xét hệ hai tam giác vuông lần lượt tại đỉnh chân tường $H$, ta lập biểu thức hàm tang lượng giác:

${\rm{tan}}\alpha = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{25}}{x}$;

${\rm{tan}}\frac{\alpha }{2} = \frac{{CH}}{{AH}} = \frac{{10}}{x}$.

Sử dụng hệ thức góc nhân đôi của tang: ${\rm{tan}}\alpha = \frac{{2{\rm{tan}}\frac{\alpha }{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}$.

Thế trực tiếp các phân số chứa ẩn biến $x$ vào hệ thức phương trình: $\frac{{25}}{x} = \frac{{2 \cdot \frac{{10}}{x}}}{{1 - {{\left( {\frac{{10}}{x}} \right)}^2}}}$.

Do $x > 0$, ta triệt tiêu lượng biến mẫu $\frac{1}{x}$ chung xuất hiện ở cả hai vế:

$25 = \frac{{20}}{{1 - \frac{{100}}{{{x^2}}}}} \Leftrightarrow 1 - \frac{{100}}{{{x^2}}} = \frac{4}{5}$$\Leftrightarrow \frac{{100}}{{{x^2}}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow {x^2} = 500$.

Giải phương trình tìm độ dài khoảng cách dương ta được: $x = \sqrt {500} = 10\sqrt 5 \approx 22{,}4{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right)$.

Đáp số: $22{,}4$.