Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2024-2025 THCS,THPT Trần Cao Vân (TP.HCM) có đáp án

Đáp án đúng là A

$\cos 2x = \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = - x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$

+ Với $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$, xét $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{1}{6}$,

vì $k \in \mathbb{Z}$ suy ra $x$ đạt giá trị âm lớn nhất khi $k = - 1$ và bằng: $\frac{\pi }{3} - 2\pi = - \frac{{5\pi }}{3}$.

+ Với $x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}$, xét $x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3} < 0 \Leftrightarrow k < \frac{1}{6}$,

vì $k \in \mathbb{Z}$ suy ra $x$ đạt giá trị âm lớn nhất khi $k = 0$ và bằng: $- \frac{\pi }{9} + 0.\frac{{2\pi }}{9} = - \frac{\pi }{9}$ Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là $- \frac{\pi }{9}$.

Đáp án đúng là C

Cách 1: Ta có $A = {\sin ^2}\alpha .\frac{{{{\sin }^2}\alpha - \sin \alpha \cos \alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = {\sin ^2}\alpha \left( {1 - \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}} \right)$

$= \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}\left( {1 - \cot \alpha + {{\cot }^2}\alpha } \right) = \frac{1}{{1 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}\left( {1 - \sqrt 5 + 5} \right) = \frac{{6 - \sqrt 5 }}{6}$$\Rightarrow a = 6$.

Cách 2: $A = {\sin ^2}\alpha - \sin \alpha \cos \alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 - \sin \alpha \cos \alpha$

$= {\sin ^2}\alpha \left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} - \frac{{\sin \alpha .\cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}} \right)$$= {\sin ^2}\alpha \left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} - \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right)$$= \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}\left( {1 + {{\cot }^2}\alpha - \cot \alpha } \right)$

$= \frac{1}{{1 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}\left( {1 + 5 - \sqrt 5 } \right) = \frac{{6 - \sqrt 5 }}{6}$$\Rightarrow a = 6$.

Đáp án: 4225

Lời giải

Số vòng bánh xe quay được sau $5$ giây: $\frac{{25350.5}}{{60\pi }} = \frac{{25350}}{{12\pi }}$(vòng)

Sau $5$ giây, bánh xe quay được một góc có số đo là:

$\frac{{25350}}{{12\pi }}.2\pi = 4225$rađian.

Đáp án: 3010

Lời giải

Số ghế của rạp xiếc tương ứng là một cấp số cộng có:

Số hạng đầu tiên bằng số ghế của dãy đầu tiên, do đó ta có: ${u_1} = 18$.

Vì mỗi dãy sau có hơn dãy trước 4 ghế nên công sai của cấp số cộng là: $d = 4$.

Tổng số ghế của rạp xiếc là: ${S_{35}} = \frac{{35}}{2}\left[ {2.18 + \left( {35 - 1} \right)4} \right] = 3010$(ghế)

Đáp án: 4825

Lời giải

Gọi $M$ trung điểm cạnh $CD$.

Khi đó $H = AM \cap CP = CP \cap \left( {ABM} \right) = CP \cap \left( {ABG} \right)$.

Xét tam giác $ACD$ có $H$ là trọng tâm.

Theo định lý Thales đảo: $\frac{{MH}}{{MA}} = \frac{{MG}}{{MB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow GH\parallel AB \Rightarrow \frac{{GH}}{{AB}} = \frac{1}{3}$.

Theo định lý Thales: $GH\parallel AB \Rightarrow \frac{{GH}}{{AB}} = \frac{{EG}}{{EA}} = \frac{1}{3}$.

Suya ra $\frac{{AE}}{{AG}} = \frac{3}{4}$. Suy $a = 3,b = 4 \Rightarrow S = {3^6} + {4^6} = 4825.$

Đáp án: 2024

Lời giải

${\cos ^2}2x = {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)$$\Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 4x}}{2} = \frac{{1 + \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}$$\Leftrightarrow \cos 4x = \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = 2x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\4x = - 2x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\6x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \pi \\x = \frac{\pi }{{ - 18}} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = - 18\end{array} \right.$. Vậy $S = {a^4} + {b^2} + 404 = {6^4} + {( - 18)^2} + 404 = 2024$.