Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2023-2024 THPT Yên Viên (Hà Nội) có đáp án

Chọn A

Hàm số $\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]$; $y = \tan x$;$y = \cot x$ là hàm số lẻ

Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn.

Chọn A

$\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.$

Chọn A

Ta có ${u_4} = {\left( { - 1} \right)^4}.2.4 = 8.$

Chọn C

Hàm số $y = \tan x$xác định $\Leftrightarrow {\rm{cos}}\,x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi$.

Vậy ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\left. {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right|,k \in \mathbb{Z}} \right\}.$

Chọn B

Ta có ${u_2} = {u_1}.d \Leftrightarrow d = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{2}{5}$.

Chọn D

Vì$\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha < 0$$\Rightarrow$$\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - \frac{9}{{25}}} = - \frac{4}{5}$.

Ta có $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{3}{4}$$\Rightarrow \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan x + 1}}{{1 - \tan x}} = \frac{{ - \frac{3}{4} + 1}}{{1 + \frac{3}{4}}} = \frac{1}{7}$.

Chọn B

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 6\\{u_5} = 162\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.q = 6\\{u_1}.{q^4} = 162\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{q^3} = 27\\{u_1}.q = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 3\\{u_1} = 2\end{array} \right.$.

Chọn B

Vì$0 < \alpha < \frac{\pi }{2} \Rightarrow {\rm{sin}}\alpha > 0$$\Rightarrow$$\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

$\sin \alpha + 5\cos \alpha = \frac{{5 + 2\sqrt 2 }}{3}$.

ChọnA

$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_3} = 8\\{u_4} = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1} + 2d = 8\\{u_1} + 3d = 10\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 2d = 8\\{u_1} + 3d = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.$.

Chọn D

Ta có $- 1 \le {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}x \le 1 \Leftrightarrow - 3 \le 3{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}x \le 3 \Leftrightarrow - 1 \le 3{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}x + 2 \le 5$

Chọn D

$P = \cos \alpha .\cos 3\alpha = \frac{1}{2}\left( {\cos 2\alpha + \cos 4\alpha } \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos 2\alpha + 2{{\cos }^2}2\alpha - 1} \right)$=$\frac{1}{2}\left( {\frac{2}{3} + 2.\frac{4}{9} - 1} \right) = \frac{5}{{18}}$.

Chọn C

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_2} - {u_3} + {u_5} = 7\\{u_1} + {u_6} = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d - {u_1} - 2d + {u_1} + 4d = 7\\{u_1} + {u_1} + 5d = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 7\\2{u_1} + 5d = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 2\end{array} \right.$.

${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right)2 = 2n - 1$.

Chọn C

Tacó $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 13\\{u_4} - {u_1} = 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}.q + {u_1}.{q^2} = 13\\{u_1}.{q^3} - {u_1} = 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 13\\{u_1}\left( {{q^3} - 1} \right) = 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + q + {q^2}}}{{{q^3} - 1}} = 2\\{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 3\\{u_1} = 1\end{array} \right.$

${S_8} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^8}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1\left( {1 - {3^8}} \right)}}{{1 - 3}} = 3280$

Chọn D

$6{\cos ^2}x - \cos 2x = 4 \Leftrightarrow 6\frac{{1 + \cos 2x}}{2} - \cos 2x = 4 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x = \frac{{ - \pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = \frac{{ - \pi }}{6} + k\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}.$

Vì $x \in \left[ {0;3\pi } \right]$nên $x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{7\pi }}{6};\frac{{13\pi }}{6};\frac{{5\pi }}{6};\frac{{11\pi }}{6};\frac{{17\pi }}{6}} \right\}$.

Vậy trên $\left[ {0;3\pi } \right]$ phương trình có 6 nghiệm.

Chọn D

${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + 2}}{{3\left( {n + 1} \right) + 1}} - \frac{{an + 2}}{{3n + 1}} = \frac{{a - 6}}{{\left( {3n + 4} \right)\left( {3n + 1} \right)}}$.

Vì dãy số tăng nên $a - 6 > 0 \Leftrightarrow a > 6$ .

Chọn D

$\sin 2x - m\cos x = 0$$\Leftrightarrow$$\cos x\left( {2\sin x - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\sin x = \frac{m}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Phương trình (1) có 2 nghiệm thuộc $\left[ {0;2\pi } \right]$

Phương trình $\sin 2x - m\cos x = 0$ có đúng bốn nghiệm phân biệt trên $\left[ {0;2\pi } \right]$ $\Leftrightarrow \left( 2 \right)$ có 2 nghiệm thuộc $\left[ {0;2\pi } \right]$

$\Leftrightarrow - 1 < \frac{m}{2} < 1 \Leftrightarrow - 2 < m < 2$.

Chọn B

Điều kiện$\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\tan x \ne \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

$\Rightarrow 2{\cos ^2}x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\left( {{\rm{loai}}} \right)\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x \ne - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Kết hợp điều kiện, suy ra nghiệm của phương trình là$x \ne - \frac{\pi }{3} + k2\pi$

Vì $x \in \left[ {0;4\pi } \right]$nên $x \in \left\{ {\frac{{5\pi }}{3};\frac{{11\pi }}{3}} \right\}$.

Vậy $S = \frac{{5\pi }}{3} + \frac{{11\pi }}{3} = \frac{{16\pi }}{3}$$\Rightarrow a + b = 19$.

Chọn D

Lương của các kĩ sư là cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = 45$ triệu, $d = 3$triệu.

Sau 3 năm làm việc thì có 12 quý

Tổng số tiền lương một kĩ sư nhận được sau $3$ năm làm việc cho công ty là

${S_{12}} = 12{u_1} + \frac{{12.11.d}}{2} = 12.45 + 66.3 = 738$(triệu đồng).

Chọn A

Số lượng vi khuẩn tăng lên là cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với công bội $q = 2$.

Ta có:

${u_6} = 64000$$\Rightarrow {u_1}.{q^5} = 64000$ $\Rightarrow {u_1} = 2000$.

Sau $n$ phút thì số lượng vi khuẩn là ${u_{n + 1}}$.

${u_{n + 1}} = 2048000$$\Rightarrow {u_1}.{q^n} = 2048000$$\Rightarrow {2000.2^n} = 2048000$ $\Rightarrow n = 10$.

Vậy sau $10$ phút thì có được $2048000$ con.

Điều kiện xác định của hàm số: $2\cos x - \sqrt 3 \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x \ne - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.,(k \in \mathbb{Z})$.

Vậy tập xác định hàm số là: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Ta có $\left( {\cos x - 1} \right)\left( {2\sin x - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\\sin x = \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

+ Với $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

+ Với $\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$.

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \left\{ {k2\pi ;\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 3\\{u_4} = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d = 3\\{u_1} + 3d = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 2\end{array} \right.$.

Số hạng thứ 15 là: ${u_{15}} = {u_1} + 14d = 29$.