Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2023-2024 THPT Việt Nam - Ba Lan (Hà Nội) có đáp án

Chọn C

Điểm $M,N$là những điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo $x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$ hay $x = \frac{{4\pi }}{3} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Chọn D

Ta có : $\sin \frac{\pi }{5}\cos \frac{\pi }{{30}} - \cos \frac{\pi }{5}\sin \frac{\pi }{{30}} = \sin \left( {\frac{\pi }{5} - \frac{\pi }{{30}}} \right) = \sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}$

Chọn A

Ta có :

$\begin{array}{l}A = {\sin ^2}\left( {\pi - \alpha } \right) + {\tan ^2}\left( {\pi - \alpha } \right){\tan ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\cos \left( {\alpha - 2\pi } \right)\\ = {\sin ^2}\alpha + {\tan ^2}\alpha co{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}\alpha + co{\mathop{\rm s}\nolimits} \alpha \cos \alpha \\ = {\sin ^2}\alpha + 1 + co{{\mathop{\rm s}\nolimits} ^2}\alpha = {\sin ^2}\alpha + co{{\mathop{\rm s}\nolimits} ^2}\alpha + 1 = 1 + 1 = 2\end{array}$

Chọn A

Ta có :

$CD = \tan \alpha \Rightarrow {S_{\Delta OCD}} = \frac{1}{2}.OD.CD = \frac{1}{2}\tan \alpha$

$$AB = \sin \alpha ,\;OA = cos\alpha \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA.AB = \frac{1}{2}\sin \alpha .\cos \alpha$$

$$\Rightarrow {S_{ABCD}} = {S_{\Delta OCD}} - {S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}\tan \alpha - \frac{1}{2}\sin \alpha .\cos \alpha$$

$$= \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - \sin \alpha .\cos \alpha } \right) = \frac{{\sin \alpha }}{2}\left( {\frac{1}{{\cos \alpha }} - \cos \alpha } \right)$$

$$= \frac{{\sin \alpha }}{2}\left( {\frac{{1 - {{\cos }^2}\alpha }}{{\cos \alpha }}} \right) = \frac{{\sin \alpha }}{2}\left( {\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{\cos \alpha }}} \right) = \frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{2\cos \alpha }}$$

Chọn C

Hàm số xác định khi :

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{\tan x - 1 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{\tan x \ne 1\quad }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi }\end{array}} \right.\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn D

Trên $\left( {0;2\pi } \right)$ hàm số $y = \cos x$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( {\pi ;2\pi } \right).$

Chọn A

Ta có

$y = {\sin ^3}x = f\left( x \right)$

$D = \mathbb{R}$

$\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$

$f\left( x \right) = {\sin ^3}\left( { - x} \right) = - {\sin ^3}x = - f\left( x \right)$

Vậy $y = {\sin ^3}x$ là hàm số lẻ.

Chọn D

Ta có

Hàm số $y = \cos \left( {ax + b} \right)$ có chu kì tuần hoàn là $T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}$

Suy ra hàm số $y = \cos \left( {\frac{x}{2} + 2023} \right)$ có chu kì tuần hoàn là $T = \frac{{2\pi }}{{\left| {\frac{1}{2}} \right|}} = 4\pi$

Chọn A

Ta có

$- 1 \le \cos x \le 1 \Leftrightarrow - 3 \le 3\cos x \le 3 \Leftrightarrow - 3 \le y \le 3$

Vậy $M = 3,{\rm{ }}m = - 3.$

Chọn C

Ta có

$$y = A{\sin ^2}x - 2.\frac{B}{{\sqrt A }}.\sqrt A \sin x + \frac{{{B^2}}}{A} - \frac{{{B^2}}}{A} + C = {\left( {\frac{B}{{\sqrt A }} - \sqrt A \sin x} \right)^2} - \frac{{{B^2}}}{A} + C \ge - \frac{{{B^2}}}{A} + C$$

Vậy $m = - \frac{{{B^2}}}{A} + C.$

Chọn D

Đồ thị hàm số $y = - \sin x$ đi qua các điểm

$\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - 1} \right),\;\left( { - \pi ;0} \right),\;\left( { - \frac{\pi }{2};1} \right),\;\left( {0;0} \right),\;\left( {\frac{\pi }{2}; - 1} \right),\;\left( {\pi ;0} \right),\;\left( {\frac{{3\pi }}{2};1} \right),\;\left( {2\pi ;0} \right)$

Chọn C

Ta có : $\cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}} \Leftrightarrow 3x = \pm \frac{\pi }{{15}} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn D

Ta có : $\sin \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{2} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow 2x = - \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k\pi \quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn D

Điều kiện : $\sin x > 0$

Ta có : $\frac{{\cos 3x - \cos x}}{{\sqrt {\sin x} }} = 0$$\Leftrightarrow \cos 3x - \cos x = 0$$\Leftrightarrow \cos 3x = \cos x$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = x + k2\pi \\3x = - x + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.$

Theo điều kiện thì trên đường tròn lượng giác chỉ có một điểm biểu diễn họ nghiệm là giao của đường tròn và trục tung.

Chọn A

Dựa vào hình vẽ ta có đường tròn lượng giác được chia thành 12 cung bằng nhau nên mỗi cung có số đo là $\frac{\pi }{6}$

Ta có : $\sin x = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \quad \;}\\{x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}} \right.$

Suy ra tập nghiệm của phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$ được biểu diễn bằng điểm $C$ và điểm $F$ trên đường tròn lượng giác.

Chọn A

Ta có:

$\sin x - \sin 3x = 0 \Leftrightarrow \sin 3x = \sin x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{3x = x + k2\pi \quad }\\{3x = \pi - x + k2\pi }\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2x = k2\pi \quad }\\{4x = \pi + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = k\pi \quad \quad }\\{x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}}\end{array}} \right.\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Ta có:

$$\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2x - \frac{\pi }{4} = x + \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \quad }\\{2x - \frac{\pi }{4} = \pi - x - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \pi + k2\pi \;}\\{3x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \pi + k2\pi \;}\\{x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$

Do $x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\;\frac{\pi }{2}} \right\}$

Chọn A

Tại vị trí cân bằng ta có:

$3{\rm{cos}}\left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2t - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow 2t = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi$

$\Leftrightarrow t = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Do $t \in \left( {0;5} \right) \Rightarrow t \in \left\{ {\frac{{5\pi }}{{12}};\;\frac{{11\pi }}{{12}};\;\frac{{17\pi }}{{12}}} \right\}$

Do phương trình $3{\rm{cos}}\left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right) = 0$ có 3 nghiệm nên vật đi qua vị trí cân bằng $3$ lần.

Chọn C

Ta có $\left( {\cos x + 1} \right)\left( {\cos 2x - m\cos x} \right) = m{\sin ^2}x$

$$\Leftrightarrow \left( {\cos x + 1} \right)\left( {\cos 2x - m\cos x} \right) = m\left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\cos 2x - m\cos x = m - m\cos x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\cos 2x = m\end{array} \right.$$

Với $\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi$ : không có nghiệm $x \in \left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right]$.

Với $\cos 2x = m \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \frac{{m + 1}}{2}$.

Trên $\left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right]$, phương trình $\cos x = a$ có duy nhất 1 nghiệm với $a \in \left[ { - \frac{1}{2};1} \right]$

Do đó, YCBT $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\\frac{{ - 1}}{2} \le \sqrt {\frac{{m + 1}}{2}} \le 1\\\frac{{ - 1}}{2} \le - \sqrt {\frac{{m + 1}}{2}} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\\sqrt {\frac{{m + 1}}{2}} \le \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\m \le - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < m \le - \frac{1}{2}$.

Chọn C

$$\left( {\sin x - \sin 2x} \right)\left( {\sin x + \sin 2x} \right) = {\sin ^2}3x \Leftrightarrow \left( { - 2\cos \frac{{3x}}{2}\sin \frac{x}{2}} \right)\left( {2sin\frac{{3x}}{2}\cos \frac{x}{2}} \right) = {\sin ^2}3x$$

$$\Leftrightarrow - \sin 3x\sin x = {\sin ^2}3x \Leftrightarrow \sin 3x\left( {\sin 3x + \sin x} \right) = 0$$

$$\Leftrightarrow 2\sin 3x\sin 2x\cos x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 3x = 0\\\sin 2x = 0\\\cos x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = k\pi \\2x = k\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{3}\\x = \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\;hay\;\;\left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{x = \pi + k2\pi }\\{x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi }\\{x = \frac{{5\pi }}{3} + k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi }\end{array}} \right.\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy có $8$ điểm biểu diễn nghệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác.

Chọn D

Đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Nếu $\left( \beta \right)$ chứa $a$ và cắt $\left( \alpha \right)$ theo giao tuyến là $b$ thì $a$ và $b$ là hai đường thẳng song song với nhau.

Chọn A

Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ là $SA$

Chọn C

Chọn $\left( {SAC} \right)$ chứa $SO$

Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {MNK} \right)$ là $KH$

Do $T$ là giao điểm của $SO$ với mặt phẳng $\left( {MNK} \right)$

Nên $T$ là giao điểm của $KH$ với $SO$.

Chọn B

Ta có $\left( {SOD} \right)$ trùng $\left( {SBD} \right)$

Suy ra $\left( {SOD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = \left( {SBD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB$

Chọn A

Ta có

$O = AC \cap BD \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{O \in AC \subset \left( {MAC} \right)}\\{O \in BD \subset \left( {SBD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow O \in \left( {MAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$ (1)

Ta có

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{M \in \left( {MAC} \right)\quad \;\;}\\{M \in SD \subset \left( {SBD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow M \in \left( {MAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MO = \left( {MAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$

Chọn $\left( {SBD} \right)$ chứa $SD$

Ta có

$M = AF \cap SO \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{M \in AF \subset \left( {AEF} \right)}\\{M \in SO \subset \left( {SBD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow M \in \left( {AEF} \right) \cap \left( {SBD} \right)$ (1)

Ta có

$N = AE \cap BD \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{N \in AE \subset \left( {AEF} \right)}\\{N \in BD \subset \left( {SBD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow N \in \left( {AEF} \right) \cap \left( {SBD} \right)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MN = \left( {AEF} \right) \cap \left( {SBD} \right)$

Suy ra giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $(AEF)$ là giao điểm của $SD$ và $MN$

Chọn A

Chọn $\left( {SAB} \right)$ chứa $SA$

Ta có $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{AB//CD\quad \quad \quad \quad }\\{AB \subset \left( {SAB} \right)\quad \quad \quad }\\{CD \subset \left( {GCD} \right)\quad \quad \;}\\{G \in \left( {GCD} \right) \cap \left( {SAB} \right)}\end{array}} \right.$

Suy ra giao tuyến của $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {GCD} \right)$ là đường thẳng $d$ đi qua $G$ và song song với $AB$

Do mặt phẳng $(GCD)$cắt $SA$ tại $I$ nên $I = d \cap SA$

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$

Trong $\Delta SMA$ ta có $GI//MA \Rightarrow \frac{{SI}}{{SA}} = \frac{{SG}}{{SM}} = \frac{2}{3}$

Chọn D

Trong $\Delta ACD$ ta có $MN$ là đường trung bình.

Suy ra $MN//CD$

Chọn B

Trong $\Delta ABC$ ta có $IJ$ là đường trung bình. Suy ra $BC//IJ \subset \left( {IJK} \right) \Rightarrow BC//\left( {IJK} \right)$

Trong $\Delta ACD$ ta có $JK$ là đường trung bình. Suy ra $AD//JK \subset \left( {IJK} \right) \Rightarrow AD//\left( {IJK} \right)$

Chọn $\left( {ABD} \right)$ chứa $BD$

Ta có $I \in \left( {IJK} \right) \cap \left( {ABD} \right)$

$IJ//AD$

Nên giao tuyến của $\left( {IJK} \right)$ và $\left( {ABD} \right)$ là đường thẳng $d$ qua $I$ và song song song với $AD$

Suy ra $d$ cắt $BD$ nên $BD$ không song song với $\left( {IJK} \right)$

Vậy co 2 đường thẳng song song với $\left( {IJK} \right)$

Chọn D

Ta có $P \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SCD} \right)$

$\frac{{SM}}{{MA}} = \frac{{SN}}{{NB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow MN//AB$

$ABCD$ là hình bình hành $\Rightarrow CD//AB$.

Suy ra $MN//CD \subset \left( {SCD} \right)$

Mà $MN \subset \left( {MNP} \right)$

Nên giao tuyến của hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $CD$

Chọn D

Gọi $N,\;P,\;Q$ lần lượt là trung điểm của $SD,\;CD,\;AB$

$\Rightarrow \left( \alpha \right) \equiv \left( {MNPQ} \right)$

Ta có: $MQ//SB$ và $MQ = \left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right)$

Nên (I) đúng

Ta có: $NP//SC$ và $NP = \left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right)$

Nên (II) đúng

Ta có: $MN//AD$ và $MN = \left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right)$

Nên (III) đúng

Ta có: $PQ//BC//AD$ và $PQ = \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right)$

Nên (IV) đúng

Vậy có 4 mệnh đề đúng.

Chọn B

Ta có:

$MN//AB//CD//EF$ và $MF//AD//BC//NE$

$\Rightarrow MNEF$ là hình bình hành.

Gọi $H = ME \cap NF$

Ta có $ME = \left( {MNEF} \right) \cap \left( {SAC} \right)$

$\Rightarrow H \in ME \subset \left( {SAC} \right)$

Ta có $NF = \left( {MNEF} \right) \cap \left( {SBD} \right)$

$\Rightarrow H \in NF \subset \left( {SBD} \right)$

$\Rightarrow H \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$

Mà $SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$

$\Rightarrow H \in SO$

Vậy $ME,NF,SO$đồng quy tại $H$

Chọn B

Ta có $SI = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$

Do $DM$ cắt mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ tại $J$

$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{J \in \left( {SAB} \right)\quad \quad \quad }\\{J \in DM \subset \left( {SCD} \right)}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow J \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\ \Rightarrow J \in SI\end{array}$

Vậy $S,\;I,\;J$ thẳng hàng

Chọn C

Gọi $E = IJ \cap BC$

$F = IJ \cap CD$

Gọi $G = EK \cap SB$

$H = FK \cap SD$

Khi đó thiết diện của $\left( {IJK} \right)$ và hình chóp $S.ABCD$ là ngũ giác $KGIJH$

Chọn C

Giả sử $(\alpha )$ cắt tứ diện $ABCD$ theo thiết diện là hình thoi $EFGH$

Ta có $EF//AB \Rightarrow \frac{{EF}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{EF}}{6} = \frac{{CE}}{{AC}}$

Ta có

$\begin{array}{l}EH//CD \Rightarrow \frac{{EH}}{{CD}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AC - CE}}{{AC}} = 1 - \frac{{CE}}{{AC}}\\ \Rightarrow \frac{{EH}}{8} = 1 - \frac{{EF}}{6} \Rightarrow \frac{{EF}}{8} = 1 - \frac{{EF}}{6} \Leftrightarrow EF = \frac{{24}}{7}\end{array}$

Vậy cạnh của hình thoi bằng $\frac{{24}}{7}$

Chọn B

+ Gọi $E$là trung điểm $AD$, $I = MG \cap BE$$\Rightarrow I = MG \cap (ABCD)$.

+ Xét $\Delta SBI$, gọi $H$ là trung điểm $MB$

Ta có $\frac{{SM}}{{SH}} = \frac{{SG}}{{SE}} = \frac{2}{3} \Rightarrow EH//MG \equiv MI$nên $E$là trung điểm của $IB$, mà $E$cũng là trung điểm của $AD$nên tứ giác $ABID$là hình bình hành, suy ra $DI//AB$

Mà $DC//AD$do đó $I,C,D$ thẳng hàng

+ Xét $\Delta BCI$có $ED//BC$

Mà $E$là trung điểm của $AD$

Suy ra $D$ là trung điểm của $CI$

$\Rightarrow \frac{{IC}}{{ID}} = 2$ (1)

+ Gọi $J = OI \cap AD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}J \in AD\\J \in (OMG)\end{array} \right. \Rightarrow J = AD \cap (OMG)$.

Trong $\Delta ACI$ có$AD,\;IO$ là các đường trung tuyến, suy ra $J$ là trọng tâm $\Delta ACI$,

$\Rightarrow \frac{{JA}}{{JD}} = 2$ (2)

+ Gọi $K = JG \cap SA \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}K \in SA\\K \in JG \subset (OMG)\end{array} \right. \Rightarrow K = SA \cap (OMG)$

$\Delta SIB$có $SE$là trung tuyến mà $\frac{{SG}}{{SE}} = \frac{2}{3}$suy ra $G$là trọng tâm $\Delta SIB$$\frac{{IG}}{{IM}} = \frac{2}{3}$

Do $\frac{{IG}}{{IM}} = \frac{{IJ}}{{IO}} = \frac{2}{3} \Rightarrow JG//OM//SD \Rightarrow JK//SD \Rightarrow \frac{{KA}}{{KS}} = \frac{{JA}}{{JD}} = 2$(3)

Từ (1),(2),(3) $\Rightarrow k = \frac{{IC}}{{ID}} + \frac{{JA}}{{JD}} + \frac{{KA}}{{KS}} = 6$

Chọn A

Gọi E và F lần lượt là trung điểm AB và CD.

Ta có $I = BM \cap CN$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in BM \subset \left( {SAB} \right)\\I \in CN \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right).$

Mà $S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$. Do đó $\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SI.$

Ta có: $\left. \begin{array}{l}AB//CD\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD \subset \left( {SCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SI\end{array} \right\} \Rightarrow SI//AB//CD$.Vì $SI//CD$ nên $SI//CF$.

Theo định lý Ta – let ta có: $\frac{{SI}}{{CF}} = \frac{{SN}}{{NF}} = 2 \Rightarrow SI = 2CF = CD = a$.

Gọi $J$là giao điểm của $SD$và $IC$. Suy ra hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(AIC)$và các mặt của hình chóp là tam giác $ACJ$.

+ Tứ giác $SIDC$ là hình bình hành $\Rightarrow J$là trung điểm của $SD,CI$

Mặt khác, $AC = SD = a\sqrt 2 \Rightarrow AJ = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$,

+ Tứ giác $SIAB$là hình bình hành $\Rightarrow AI = AB = a$

Xét tam giác $IAC$có $C{I^2} = 2(A{C^2} + A{I^2}) - 4A{J^2} = 4{a^2} \Rightarrow CI = 2a \Rightarrow CJ = a$.

Ta có: $\cos \widehat {CAJ} = \frac{{A{J^2} + A{C^2} - C{J^2}}}{{2.AC.AJ}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2} + 2{a^2} - {a^2}}}{{2{a^2}}} = \frac{3}{4}$

$\Rightarrow \sin \widehat {CAJ} = \frac{{\sqrt 7 }}{4}$

Diện thích thiết diện là ${S_{\Delta AJC}} = \frac{1}{2}AC.AJ.\sin \widehat {CAJ} = \frac{1}{2}a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 7 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{8}$(đvdt).