Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2023-2024 THPT Phúc Lợi (Hà Nội) có đáp án

Chọn C

Ta có: $\sin \left( {a - {{23}^0}} \right)\cos \left( {a + {{37}^0}} \right) - \cos \left( {a - {{23}^0}} \right)\sin \left( {a + {{37}^0}} \right) = \sin \left[ {\left( {a - {{23}^0}} \right) - \left( {a + {{37}^0}} \right)} \right]$

$= \sin \left( { - {{60}^0}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Chọn B

Biến đổi về dạng bình phương: $y = {\sin ^2}x - \sin x + \frac{5}{4} = {\left( {\sin x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 1 \ge 1$.

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $1$ đạt được khi và chỉ khi $\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{\pi }{6} + k.2\pi }\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + k.2\pi .}\end{array}} \right.$

Chọn B

$A = \frac{{\sin x + \sin 3x + \sin 5x}}{{\cos x + \cos 3x + \cos 5x}} = \frac{{2\sin 3x.\cos 2x + \sin 3x}}{{2\cos 3x.\cos 2x + \cos 3x}} = \frac{{\sin 3x\left( {2\cos 2x + 1} \right)}}{{\cos 3x\left( {2\cos 2x + 1} \right)}} = \tan 3x.$

Chọn A, D

Ta có: $- 2{\sin ^2}\left( { - x} \right) + 2 = - 2{\sin ^2}x + 2$ và $- 2\cos 2\left( { - x} \right) = - 2\cos 2x$ nên hai hàm số $y = - 2{\sin ^2}x + 2$ và $y = - 2\cos 2x$ là hai hàm số chẵn.

Chọn C

Để phương trình $m\sin 2x - 4\cos 2x = - 6$ có nghiệm:

${m^2} + {4^2} < {\left( { - 6} \right)^2} \Leftrightarrow {m^2} < 20 \Leftrightarrow - 2\sqrt 5 < m < 2\sqrt 5 .$

Suy ra $a = - 2\sqrt 5$; $b = 2\sqrt 5$. Vậy: $a.b = - 20.$

Chọn C

$P = \frac{{\sin x - 3\cos x}}{{\sin x + \cos x}} = \frac{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 3}}{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + 1}} = \frac{{\tan x - 3}}{{\tan x + 1}} = \frac{{ - 2 - 3}}{{ - 2 + 1}} = 5.$

Chọn D

$1 - 5\sin x + 2{\cos ^2}x = 0 \Leftrightarrow 1 - 5\sin x + 2\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) = 0$

$\Leftrightarrow - 2{\sin ^2}x - 5\sin x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\sin x = \frac{1}{2}}\\{\sin x = 3}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{\pi }{6} + k.2\pi }\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + k.2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn D

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}M \in AC,\,AC \subset \left( {NAC} \right)\\N \in BD,\,BD \subset \left( {MBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {MBD} \right) \cap \left( {NAC} \right) = MN.$

Chọn D

Điều kiện xác định của hàm số $\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k.2\pi$, $k \in \mathbb{Z}.$

Chọn B

$2\cos 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2x = \frac{\pi }{3} + k.2\pi }\\{2x = - \frac{\pi }{3} + k.2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{\pi }{6} + k.\pi }\\{x = - \frac{\pi }{6} + k.\pi .}\end{array}} \right.} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Chọn A

$$h = 4\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) + 15 \le 4.1 + 15 = 19.$$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3} = k.2\pi \Leftrightarrow t = - 2 + 12k.$

$k = 1$ thì $t = 10.$

Chọn C

$\sin x - \sqrt 3 \cos x = 2 \Leftrightarrow \sin x.\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\cos x = 1$

$\Leftrightarrow \sin x.\cos \frac{\pi }{3} - \sin \frac{\pi }{3}.\cos x = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1$

$\Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k.2\pi \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{6} + k.2\pi .$

Ta có: $0 < x = \frac{{5\pi }}{6} + k.2\pi < 5\pi \Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} < k < \frac{{25}}{{12}}$. Do $k \in \mathbb{Z}$ nên $k = 0;\,1;\,2.$

Chọn C

$$\cot \left( {\frac{\pi }{3} + k5\pi } \right) = \cot \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.$$

Chọn B

$\cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Do $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên $\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Chọn A

Do $BP = 2PD$ nên trong mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$: $CD$ cắt $NP$ tại $E$.

Suy ra: $CD \cap \left( {MNP} \right) = E.$

Chọn A

Do $AM = 2MC$ nên trong mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ ta có $MN \cap BC = K.$

Suy ra: Giao điểm của $CD$ với $\left( {IMN} \right)$ là giao điểm của $CD$ với $IK$.

Chọn B

Ta có $S \in \left( {SMN} \right) \cap \left( {SAC} \right)\,\,\,\left( 1 \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right):\,MN \cap CD = O \Rightarrow O \in \left( {SMN} \right) \cap \left( {SAC} \right)\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $\left( {SMN} \right) \cap \left( {SAC} \right)\, = SO.$

Do $\left( M \right)$, $\left( N \right)$ lần lượt là trung điểm $AD$ và $BC$ nên:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{AM = \frac{{AD}}{2} = \frac{{BC}}{2} = NC}\\{AM\,{\rm{//}}\,NC}\end{array} \Rightarrow } \right.\,O$là trung điểm $AC$ hay $O$ là tâm hình bình hành $ABCD.$

Chọn B

Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right):\,KH \cap SO = E$mà $K,\,H\, \in \,\left( {SAC} \right)$ nên giao điểm của $SO$ với $\left( {MNK} \right)$ là điểm $E$.

Chọn B

Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right):\,\,OM\,{\rm{//}}\,AD$(Tính chất đường trung bình).

Mà $AD\,{\rm{//}}\,BC$ suy ra $OM\,{\rm{//}}\,BC$

Ta có $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{OM\,{\rm{//}}\,BC}\\{BC \subset \left( {SBC} \right)}\\{OM \not\subset \left( {SBC} \right)}\end{array} \Rightarrow OM\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right).} \right.$

Chọn A

Trong mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$: $AN$ và $DM$là hai trung tuyến của tam giác $ACD$nên $AN$ cắt $DM$tại trọng tâm $G$ của tam giác.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{G \in DM,\,DM \subset \left( {MBD} \right)}\\{G \in AN,\,AN \subset \left( {ABN} \right)}\\{AM \cap BN = G}\end{array} \Rightarrow G \in \left( {MBD} \right) \cap \left( {ABN} \right)\,\,\,\left( 1 \right)} \right.$

Và $B \in \left( {MBD} \right) \cap \left( {ABN} \right)\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$suy ra $\left( {MBD} \right) \cap \left( {ABN} \right)\, = BG.$

Ta có: ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{3}{5}$. Vì $- \frac{\pi }{2} \le \alpha \le 0 \Rightarrow \cos \alpha > 0$.Suy ra $\cos \alpha = \frac{3}{5}$

$\cos 2\alpha = - \frac{7}{{25}}$; $\sin 2\alpha = - \frac{{24}}{{25}}$

$T = - \frac{7}{6}$.

a) $2\sin 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \pi + \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.$

Giải được $x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi ;\,x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$. Kết luận.

b) $\cos \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{6} = x + \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{6} = - x - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ . Kết luận.

c) $\cos x - \sqrt 3 \sin x = - \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{\pi }{6} - x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\\frac{\pi }{6} - x = \pi + \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{12}} - k2\pi \\x = - \frac{{13\pi }}{{12}} - k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$. Kết luận.

a) Vẽ hình đúng

Trong $\left( {ABCD} \right)$ có $DN \cap AC = O \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in DN \subset \left( {SDN} \right)\\O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right.$

Suy ra $O$ là điểm chung của $\left( {SDN} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$

$S$ là điểm chung của $\left( {SDN} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ $\Rightarrow \left( {SDN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SO$.

b) Có $\frac{{CN}}{{CB}} = \frac{3}{4};\,\,\,\frac{{CH}}{{CA}} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{{CN}}{{CB}} = \,\,\frac{{CH}}{{CA}}$

$\Rightarrow HN\,{\rm{//}}\,AB$mà $AB\,{\rm{//}}\,{\rm{DC}} \Rightarrow HN\,{\rm{//}}\,{\rm{DC}}$.

Có $HN\,{\rm{//}}\,{\rm{DC}}{\rm{,}}\,\,{\rm{DC}} \subset \left( {SC{\rm{D}}} \right),HN \notin \left( {SC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow HN\,{\rm{//}}\,\left( {SC{\rm{D}}} \right)$.

c) Trong (ABCD) có$DN \cap AB = M \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in DN \subset \left( {IND} \right)\\M \in AB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right.$. Suy ra M và I là điểm chung của (IND) và (SAB) $\Rightarrow \left( {IND} \right) \cap \left( {SAB} \right) = MI$.

Trong (SAB) có $MI \cap SB = K \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}K \in SB\\K \in MI \subset \left( {IND} \right)\end{array} \right. \Rightarrow K = SB \cap \left( {IND} \right)$.

Ta có ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x$

Phương trình trở thành $8{\cos ^2}4x + 3\cos 4x = 8m + 3$

Đặt $t = \cos 4x,$ với $x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$ nên $t \in \left[ { - 1;1} \right]$

Khi đó phương trình trở thành $8{t^2} + 3t = 8m + 3\,\,\,(*)$

Ứng với mỗi $t \in {\rm{[}} - 1;1)$ thì phương trình $\cos 4x = t$ sẽ có ta hai giá trị của $x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$

Với $t = 1$ thì phương trình $\cos 4x = t$ cho ta đúng một giá trị của $x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$

Do đó yêu cầu bài toán tương đương với (*) có hai nghiệm $t$ phân biệt thuộc ${\rm{[}} - 1;1)$.

Xét hàm $f(t) = 8{t^2} + 3t$ trên ${\rm{[}} - 1;1)$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của bài toán

$\Leftrightarrow - \frac{9}{{32}} < 8m + 3 \le 5 \Leftrightarrow - \frac{{105}}{{256}} < m \le \frac{1}{4}$. Kết luận.