Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2023-2024 THPT Nguyễn Trãi (TP.HCM) có đáp án

Chọn D

$$2\cos 2x = \sqrt 3 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$$

Chọn B

Ta có Cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ và $\left\{ \begin{array}{l}{u_7} - {u_3} = 8\\{u_2}{u_7} = 75\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 6d - {u_1} - 2d = 8\\\left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 6d} \right) = 75\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2\\\left( {{u_1} + 2} \right)\left( {{u_1} + 6.2} \right) = 75\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l}d = 2\\{u_1} = 3;{u_1} = - 17\end{array} \right.$

Chọn B

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_6} = 192\\{u_7} = 384\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^5} = 192\\{u_1}{q^6} = 384\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^5} = 192\\{u_1}{q^5}.q = 384\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^5} = 192\\192.q = 384\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^5} = 192\\q = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 6\\q = 2\end{array} \right.$

Chọn A

Ta có cấp số nhân có $q = 2,{S_6} = 189$ nên

$189 = \frac{{{u_1}\left( {{q^6} - 1} \right)}}{{q - 1}} \Leftrightarrow 189 = \frac{{{u_1}\left( {{2^6} - 1} \right)}}{{2 - 1}} \Leftrightarrow {u_1} = 3 \Rightarrow {u_6} = {u_1}.{q^5} = 96$

Giá trị còn lại của chiếc xe sau 1 năm, 2 năm, 3 năm, 4 năm sử dụng lập thành CSC $({u_n})$ với công sai ${\rm{d}} = - 60,{u_1} = 820$

Giá trị còn lại của chiếc xe sau 4 năm sử dụng là ${u_5} = {{\rm{u}}_{\rm{1}}} + {\rm{4d}} = 820 + 4( - 60) = 580$

Đặt $t = \sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)$. Điều kiện $- \,\sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 .$

Ta có ${t^2} = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x - 2\sin x\cos x \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}.$

Phương trình đã cho trở thành $6t + \frac{{1 - {t^2}}}{2} + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \,1\\t = 13\left( {loa\"i i} \right)\end{array} \right.$

$$\Rightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$$

$$\Rightarrow \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right] = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$$

Từ giả thiết suy ra $3S = 3 + {2.3^2} + {3.3^3} + ... + {11.3^{11}}$. Do đó

$- 2S = S - 3S = 1 + 3 + {3^2} + ... + {3^{10}} - {10.3^{11}} = \frac{{1 - {3^{11}}}}{{1 - 3}} - {11.3^{11}} = - \frac{1}{2} - \frac{{{{21.3}^{11}}}}{2} \Rightarrow S = \frac{1}{4} + \frac{{21}}{4}{.3^{11}}.$

Vì $S=\frac{1}{4}+\frac{{21.3}^{11}}{4}=a+\frac{{21.3}^{b}}{4}\Rightarrow a=\frac{1}{4},\ b=11\underset{}{\rightarrow }P=\frac{1}{4}+\frac{11}{4}=3.$