Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2023-2024 THPT Khương Đình (Hà Nội) có đáp án

Chọn B

Ta có ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{\sqrt {21} }}{7}$

Vì: $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$nên $\cos \alpha < 0$$\Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{\sqrt {21} }}{7}$.

Chọn B

Ta có: ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {(\frac{{12}}{{13}})^2} = \frac{{25}}{{169}} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{5}{{13}}$

Vì: $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$nên $\cos \alpha < 0$$\Rightarrow \cos \alpha = - \frac{5}{{13}}$vậy $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{12}}{{13}}}}{{ - \frac{5}{{13}}}} = - \frac{{12}}{5}$

Vậy $P = \tan \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan \alpha }}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}.\tan \alpha }} = \frac{{1 + \frac{{12}}{5}}}{{1 - \frac{{12}}{5}}} = - \frac{{17}}{7}$.

Chọn B

Ta có: $\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right) = \sin x$, $\sin \left( {11\pi - x} \right) = \sin x$, $\cos \left( {x - \frac{{13\pi }}{2}} \right) = \sin x$, $\sin \left( {x - 7\pi } \right) = - \sin x$.

Khi đó: $\sin x.\sin x.\sin x\left( { - \sin x} \right) = - {\sin ^4}x$$\Rightarrow a = - 1,b = 4 \Rightarrow a + b = 3$.

Chọn A

Ta có:

$\begin{array}{l} - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow - 3 \le 3\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 3\\ \Leftrightarrow 1 \le 3\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 4 \le 7\\ \Leftrightarrow 1 \le \sqrt {3\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 4} \le \sqrt 7 \end{array}$

Vậy: $\max y = \sqrt 7$,$\min y = 1$.

Chọn D

Ta có: $\sin 2x = 0 \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}$mà $x \in \left( {0;9\pi } \right)$

Nên: $0 < k\frac{\pi }{2} < 9\pi \Leftrightarrow 0 < \frac{k}{2} < 9 \Leftrightarrow 0 < k < 18$ vậy có 17 giá trị k.

Chọn B

Đặt $AB = x = > AD = 2x = > AE = \frac{4}{3}x,CF = \frac{x}{2}$.

$\tan \widehat {ABE} = \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{\frac{4}{3}x}}{x} = \frac{4}{3}$;$\tan \widehat {FBC} = \frac{{CF}}{{BC}} = \frac{{\frac{x}{2}}}{{2x}} = \frac{1}{4}$

$$\cot \widehat {EBF} = \tan \left( {{{90}^ \circ } - \widehat {EBF}} \right) = \tan \left( {\widehat {ABE} + \widehat {FBC}} \right)$$

$= \frac{{\tan \widehat {ABE} + \tan \widehat {FBC}}}{{1 - \tan \widehat {ABE}.\tan \widehat {FBC}}} = \frac{{\frac{4}{3} + \frac{1}{4}}}{{1 - \frac{4}{3}.\frac{1}{4}}} = \frac{{19}}{8}.$.

Chọn B

Dãy số cấp số cộng là $\frac{1}{3};\frac{2}{3};1;\frac{4}{3};\frac{5}{3};...$có công sai $d = \frac{1}{3}$ và số hạng tổng quát là: ${u_n} = \frac{1}{3}n;\,n \ge 1$.

Chọn C

Ta có:

$\begin{array}{l}{u_{10}} = {u_1} + 9d = 1 \Rightarrow d = \frac{{1 - {u_1}}}{9} = \frac{{1 - 10}}{9} = - 1\\ \Rightarrow {u_{100}} = {u_1} + 99d = 10 - 99 = - 89\\ \Rightarrow {S_{100}} = \frac{{100(10 - 89)}}{2} = - 3950\end{array}$

Chọn A

Ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_{13}} = 2{u_6} + 5\\{u_9} = 5{u_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 12d = 2({u_1} + 5d) + 5\\{u_1} + 8d = 5({u_1} + d)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {u_1} + 2d = 5\\ - 4{u_1} + 3d = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\d = 4\end{array} \right.\end{array}$.

Chọn A

Để $2x - 2$; $2x\,$; ${x^2} - 1$ lập thành cấp số cộng thì:

$2x - (2x - 2) = {x^2} - 1 - 2x \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.$.

Chọn A

Gọi số tiền phải trả mỗi mét khoan là cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 80.000,d = 5.000$.

Ta có giá tiền khoan mét thứ 50 là: ${u_{50}} = {u_1} + 49.d = 80000 + 49.5000 = 325.000$.

Vậy tổng số tiền phải trả để khoan 50m là: ${S_{50}} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_{50}}} \right).50}}{2} = 10.125.000$(đồng).

Chọn D

Ta có S là điểm chung thứ nhất và O là điểm chung thứ 2 của 2 mp $\left( {SAB} \right)$và $\left( {SDC} \right)$

Nên giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$và $\left( {SDC} \right)$là đường thẳng SO.

Chọn D.

Ta có $I \notin \left( {ACD} \right)$

Chọn C.

Trong mp $\left( {SAC} \right)$có $AM \cap SO = K \Rightarrow K \in (ABM)$và $K \in (SBD)$

Mà trong mp $(SBD)$có $BK \cap SD = N$

Vậy: Giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$ là giao điểm của $SD$ và $BK$ (với $K = SO \cap AM$).

Chọn A.

Mệnh đề nào sau đúng là “Nếu mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ $\parallel$ $\left( \beta \right)$ thì mọi đường thẳng nằm trong $\left( \alpha \right)$ đều song song với $\left( \beta \right).$”

Chọn C.

Ta có: $\frac{{SP}}{{SA}} = \frac{{SQ}}{{SB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow PQ{\rm{//}}AB$ mà $AB \subset (ABCD) \Rightarrow PQ{\rm{//}}(ABCD)$.

Lời giải

a)

$$\tan \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \tan \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} = - \frac{\pi }{3} + k\pi .$$

b)

$\sin (\frac{{2\pi }}{5} + 2x) = co{\mathop{\rm s}\nolimits} x \Leftrightarrow \sin (\frac{{2\pi }}{5} + 2x) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{2\pi }}{5} + 2x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\\frac{{2\pi }}{5} + 2x = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{{10}} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{{10}} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{30}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{{10}} + k2\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})$

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {NAD} \right)$và $\left( {SBC} \right).$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}N \in SB \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow N \in \left( {SBC} \right)\\N \in \left( {NAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {SBC} \right) \cap (NAD)\\AD//BC\end{array} \right.$

Nên giao tuyến của 2 mp là đường thẳng $d$ đi qua $N$ và song song với $BC$ và $AD$

b) Xác định giao điểm $E$ của đường thẳng $DN$ và mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, gọi $AC \cap BD = \left\{ O \right\}$

Trong mp(SBD) có $DN \cap SO = \left\{ E \right\}$

Khi đó $E \in SO \Rightarrow E \in \left( {SAC} \right) \Rightarrow E = DN \cap \left( {SAC} \right)$

c) Gọi $F$ là giao điểm của đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$. Chứng minh $E,F,A$thẳng hàng.

Gọi $BM \cap AC = \left\{ H \right\}$

Trong mặt phẳng $\left( {SBM} \right)$ gọi $MN \cap SH = \left\{ F \right\}$

Khi đó $F = MN \cap \left( {SBD} \right)$.

Các điểm E , F , A lần lượt thuộc các đường thẳng DN, MN, AM nên $\left\{ \begin{array}{l}E \in DN \subset mp\left( {DMN} \right)\\E \in SO \subset mp\left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {DMN} \right) \cap (SAC)$

$\left\{ \begin{array}{l}F \in MN \subset mp\left( {DMN} \right)\\F \in SH \subset mp\left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {DMN} \right) \cap (SAC)$

$\left\{ \begin{array}{l}A \in MD \subset mp\left( {DMN} \right)\\A \in mp\left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow A \in \left( {DMN} \right) \cap (SAC)$

Nên $E,F,A$ nằm trên giao tuyến của 2 mp $\left( {DMN} \right)\& (SAC)$

$\Rightarrow E,F,A$ thẳng hàng. (đpcm)

Ta có: $A = \sqrt {\left( {1 + \tan x} \right){{\cos }^2}x + \left( {1 + \cot x} \right){{\sin }^2}x} \Leftrightarrow A = \sqrt {\left( {1 + \frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right){{\cos }^2}x + \left( {1 + \frac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right){{\sin }^2}x}$

$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow A = \sqrt {\frac{{\sin x + \cos x}}{{\cos x}}.{{\cos }^2}x + \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x}}.{{\sin }^2}x} \\ \Leftrightarrow A = \sqrt {\left( {\sin x + \cos x} \right)(\sin x + \cos x)} = \left| {\sin x + \cos x} \right|\end{array}$$

Do ${180^ \circ } < x < {270^ \circ } \Rightarrow \sin x\,\,\& \,\,\cos x < 0$

Suy ra $A = - \left( {\sin x + \cos x} \right)$.

a)

$2\cos x + \sqrt 3 = 0$

$$\Leftrightarrow \cos x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{{5\pi }}{6}$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) = > S = \left\{ { \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi } \right\}.$$

b)

$\Leftrightarrow \sin 2x = \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} - 2x = x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{\pi }{2} - 2x = - \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 3x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ - x = - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.(k \in Z)$

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {NBC} \right)$ và $\left( {SAD} \right).$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}N \in SA \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow N \in \left( {SAD} \right)\\N \in \left( {NBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {NBC} \right) \cap (SAD)\\AD//BC\end{array} \right.$

Nên giao tuyến của 2 mp là đường thẳng $d$ đi qua $N$ và song song với $BC$ và $AD$

b) Xác định giao điểm $E$ của đường thẳng $CN$ và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$.

Gọi $AC \cap BD = \left\{ O \right\}$

Trong $\left( {SAC} \right)$ có $CN \cap SO = \left\{ E \right\}$

Khi đó $E \in SO \Rightarrow E \in \left( {SBD} \right) \Rightarrow E = CN \cap \left( {SBD} \right)$.

c) Gọi $F$ là giao điểm của đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$. Chứng minh $E,F,B$thẳng hàng.

Khi đó $F = MN \cap \left( {SBD} \right)$.

Các điểm $E,F,B$lần lượt thuộc các đường thẳng $CN$, $MN$, $CM$ nên

Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, gọi $AM \cap BD = \left\{ H \right\}$

Trong mặt phẳng $\left( {SAM} \right)$, gọi $MN \cap SH = \left\{ F \right\}$ $\left\{ \begin{array}{l}E \in CN \subset mp\left( {CMN} \right)\\E \in SO \subset mp\left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {CMN} \right) \cap (SBD)$

$\left\{ \begin{array}{l}F \in MN \subset mp\left( {CMN} \right)\\F \in SH \subset mp\left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {CMN} \right) \cap (SBD)$

$\left\{ \begin{array}{l}B \in CM \subset mp\left( {CMN} \right)\\B \in mp\left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow B \in \left( {CMN} \right) \cap (SBD)$

Nên $E,F,B$ nằm trên giao tuyến của 2 mp$\left( {CMN} \right)\& (SBD)$

$\Rightarrow E,F,B$ thẳng hàng. (đpcm)

$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow M = \sqrt {\left( {1 + \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right){{\sin }^2}\alpha + \left( {1 + \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}} \right){{\cos }^2}\alpha } \\ \Leftrightarrow M = \sqrt {\frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.{{\sin }^2}\alpha + \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\cos \alpha }}.{{\cos }^2}\alpha } \\ \Leftrightarrow M = \sqrt {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)(\sin \alpha + \cos \alpha )} = \left| {\sin \alpha + \cos \alpha } \right|\end{array}$$

Do ${180^ \circ } < \alpha < {270^ \circ } \Rightarrow \sin \alpha \,\,\& \,\,\cos \alpha < 0$

Suy ra $A = - \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)$.