Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Phan Ngọc Hiển (Cà Mau) năm 2022-2023 có đáp án

a) $A = \left( {2; + \infty } \right),B = \left( { - 6;5} \right],C = \left[ {3;10} \right)$

$A \cap B = \left( {2;5} \right]$; $\left( {A \cap B} \right) \cup C = \left( {2;10} \right)$

b) $B\backslash A = \left( { - 6;2} \right]$; ${C_\mathbb{R}}(B\backslash A) = \left( { - \infty ; - 6} \right] \cup \left( {2; + \infty } \right)$

Gọi $BC = a,AC = b,AB = c$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$, ta có:

$$\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\ = {10^2} + {6^2} - 2.10.6.\cos 60^\circ \\ = 76\end{array}$$

Suy ra $a = \sqrt {76} = 2\sqrt {19} \approx 8{,}7$

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$ ta có:

$$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} \Rightarrow \sin B = \frac{{b.\sin A}}{a} = \frac{{10.\sin 60^\circ }}{{2\sqrt {19} }} = \frac{{5\sqrt {57} }}{{38}} \Rightarrow \widehat B \approx 83^\circ$$

(Học sinh có thể lấy giá trị gần đúng của **$a \approx 8{,}7$ thì $\widehat B \approx 84^\circ$. Suy ra $\widehat C \approx 36^\circ$*)***

$\widehat C = 180^\circ - 60^\circ - 83^\circ = 37^\circ$.

Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh là $x$ (phút), trên truyền hình là $y$ (phút). Chi phí cho việc này là: $800\,000x + 4\,000\,000y$ (đồng).

Mức chi này không được phép vượt quá mức chi tối đa, tức là:

$800\,000x + 4\,000\,000y \le 16\,000\,000$ hay $x + 5y \le 20$.

Do các điều kiện đài phát thanh, truyền hình đưa ra, ta có: $x \ge 5$ và $y \le 4$.

Đồng thời do $x;\,y$ là thời lượng nên $x;\,y \ge 0$.

Hiệu quả chung của quảng cáo là $x + 6y$.

***Bài toán trở thành:* **Xác định $x;\,y$ sao cho $F\left( {x;\,y} \right) = x + 6y$ đạt giá trị lớn nhất.

Với các điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 5y \le 20\\x \ge 5\\0 \le y \le 4\end{array} \right.$ (I).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ BPT (I) là miền tam giác không tô màu trong hình vẽ sau (kể cả các cạnh của tam giác)

Giá trị lớn nhất của $F\left( {x;\,y} \right) = x + 6y$ đạt tại một trong các điểm (5; 3); (5; 0) và (20; 0).

Ta có $F\left( {5;\,3} \right) = 23,\,F\left( {5;\,0} \right) = 5$ và $F\left( {20;\,0} \right) = 20$.

Vậy GTLN của $F\left( {x;\,y} \right)$ bằng 23 tại (5; 3).

Vậy, nếu đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh là 5 phút và trên truyền hình là 3 phút thì sẽ đạt hiệu quả nhất.

Ta có

$abc\left( {\cos A + \cos B + \cos C} \right) = abc\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}} \right)$

$\begin{array}{l} = a.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2} + b.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{2} + c.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{2}\\ = \frac{{{a^2}}}{2}\left( {b + c - a} \right) + \frac{{{b^2}}}{2}\left( {c + a - b} \right) + \frac{{{c^2}}}{2}\left( {a + b - c} \right)\end{array}$

$= {a^2}\left( {p - a} \right) + {b^2}\left( {p - b} \right) + {c^2}\left( {p - c} \right)$.