Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (Bình Dương) năm 2022-2023 có đáp án - Mã đề 104

Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\{x^2} - 4x + 3 \ne 0\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\{x^2} - 4x + 3 \ne 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ne 1\\x \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ne 3\end{array} \right.$

Tập xác định $D = \left( {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 3 \right\}$.

a) Với $m = 2$ ta có: $y = {x^2} - 4x + 2$

Đồ thị hàm số$y = {x^2} - 4x + 2$ là một parabol có:

+ Đỉnh $S\left( {2; - 2} \right)$.

+ Trục đối xứng là đường thẳng $x = 2$.

+ Bề lõm của đồ thị quay lên vì $a > 0$.

+ Bảng giá trị

b)

Để parabol $\left( P \right)$ cắt trục hoành tại hai điểm $A,\,B$ phân biệt thì phương trình ${x^2} - 2mx + {m^2} - m = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_A},{x_B}$.

Khi đó: $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m > 0$

Đỉnh $S\left( {m; - m} \right)$.

Kẻ $SH$ vuông góc $AB$ tại $H$, khi đó $H$ là trung điểm $AB$ (do $\Delta ABS$ cân tại $S$).

Ta có: $SH = \left| { - m} \right| = m\,\,\,\,\,\left( {m > 0} \right)$

$$AB = \left| {{x_A} - {x_B}} \right| = 2\sqrt m$$

Để $\Delta ABS$ vuông tại $S$ thì $SH = \frac{1}{2}AB$

$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow m = \sqrt m \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,(l)\\m = 1(n)\end{array} \right.\end{array}$$

Vậy $m = 1$ thoả yêu cầu bài toán.

Áp dụng định lí côsin, ta có:

$\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot {\rm{cos}}A \Leftrightarrow {a^2} = {8^2} + {5^2} - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot {\rm{cos}}120^\circ = 129\\ \Rightarrow a = \sqrt {129} \end{array}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\frac{a}{{{\rm{sin}}A}} = \frac{b}{{{\rm{sin}}B}} = \frac{c}{{{\rm{sin}}C}} \Rightarrow \frac{{\sqrt {129} }}{{{\rm{sin}}120^\circ }} = \frac{8}{{{\rm{sin}}B}} = \frac{5}{{{\rm{sin}}C}}$

$\; \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{sin}}B = \frac{{8 \cdot \sin 120^\circ }}{{\sqrt {129} }} \approx 0{,}61\\{\rm{sin}}C = \frac{{5 \cdot {\rm{sin}}120^\circ }}{{\sqrt {129} }} \approx 0{,}38\end{array} \right.$

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Bộ phận chống đỡ có dạng Parabol đi qua ba điểm $A\left( { - 50;0} \right),\,$ $B\left( {120;0} \right),\,C\left( {0;45} \right)$.

Hàm số bậc hai tương ứng với parabol này có công thức $y = a{x^2} + bx + c$ với $a \ne 0$.

Ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}a.{\left( { - 50} \right)^2} + b.\left( { - 50} \right) + c = 0\\a{.120^2} + b.120 + c = 0\\c = 45\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 3}}{{400}}\\b = \frac{{21}}{{40}}\\c = 45\end{array} \right.$

Khi đó, $\left( P \right):\,y = \frac{{ - 3}}{{400}}{x^2} + \frac{{21}}{{40}}x + 45$ có đỉnh $S\left( {35;\frac{{867}}{{16}}} \right)$.

Chiều dài sợi dây an toàn cần trang bị bằng một phần ba khoảng cách từ vị trí bắt đầu nhảy xuống mặt nước, nên ta tính như sau:

$L = \frac{1}{3} \cdot \left( {{y_S} + 1 + 43} \right) = \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{{867}}{{16}} + 1 + 43} \right) = \frac{{1571}}{{48}} \approx 32{,}73$

Vậy người đó cần trang bị sợi dây bảo hiểm dài khoảng 33 m.