Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Nguyễn Huệ (Phú Yên) năm 2022-2023 có đáp án

Tập hợp $A \cap \mathbb{Z} = \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4;5;6} \right\}$.

Cửa hàng thời trang Việt Tiến muốn kinh doanh thêm 2 loại áo thun mẫu mới trong dịp tết này với số vốn đầu tư không quá 72 triệu đồng. Loại dài tay giá mua vào 800 000 đồng và lãi 150 000 đồng 1 áo, loại ngắn tay giá mua vào 600 000 đồng và lãi 120 000 đồng 1 áo. Cửa hàng ước tính nhu cầu của khách không quá 100 cái cho cả 2 loại. Lập phương án kinh doanh sao cho có lãi nhất.

Gọi $x,y$ $(x \ge 0,y \ge 0,x,y \in \mathbb{N})$ lần lượt là số áo dài tay và ngắn tay mà cửa hàng nên mua để kinh doanh có lãi nhất.

Theo yêu cầu bài toán, ta có hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 100\\8x + 6y \le 720\end{array} \right.$(*)

Ta cần tìm $x,y$ để biểu thức $F = 150000x + 120000y$ đạt GTLN trên miền nghiệm của (*)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (*)

Miền nghiệm là tứ giác $OABC$

Các điểm có tọa độ như sau: $O\left( {0;0} \right)$, $A\left( {0;100} \right)$, $B\left( {60;40} \right)$, $C\left( {90;0} \right)$.

Tại $O\left( {0;0} \right)$: $F = 0$

Tại $A\left( {0;100} \right)$: $F = 12\,000\,000$

Tại $B\left( {60;40} \right)$: $F = 13\,800\,000$

Tại $C\left( {90;0} \right)$: $F = 13\,500\,000$

Vậy cửa hàng nên nhập 60 áo dài tay và 40 áo ngắn tay để kinh doanh thì có lãi nhất và lãi thu được là 13 800 000 đồng.

Đặt $O = AM \cap BN$.

Từ giả thiết suy ra diện tích tam giác $ABM$ bằng 36 cm$^{2}$.

Diện tích tam giác $ABO$ bằng 24 cm$^{2}$.

Lại có $AO = \frac{2}{3}AM =$ 8 cm; $BO = \frac{2}{3}BN$= 6 cm.

Suy ra tam giác $OAB$ vuông tại $O$.

Do đó, $AB = \sqrt {A{O^2} + B{O^2}} = \sqrt {{8^2} + {6^2}}$ = 10 cm.

Khi đó $MN = \frac{1}{2}AB =$ 5 cm (tính chất đường trung bình).

Vậy $\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = 5\,\,{\rm{cm}}$.

$\begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} - \overrightarrow {KB} } \right| = \left| {\overrightarrow {KN} + \overrightarrow {MK} } \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right) - \overrightarrow {KB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KN} } \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {KB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MN} } \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {CK} } \right| = \left| {\overrightarrow {MN} } \right|\end{array}$

Vậy tập hợp điểm $K$ là đường tròn tâm $C$ bán kính 5 cm.