Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Lương Thế Vinh (Quảng Nam) năm 2022-2023 có đáp án

${\rm{a/}}\,A \cap B = \left[ { - 2;\,5} \right] \cap \left[ {2;\, + \infty } \right) = \left[ {2;\,5} \right].$

b/$A\backslash B = \left[ { - 2;\,5} \right]\backslash \left[ {2;\, + \infty } \right) = \left[ { - 2;2} \right)$.

Gọi $x,\,y$ là số tấn sản phẩm loại X, Y cần sản xuất, điều kiện: $x,y \ge 0$.

Lập được hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{6x + 2y \le 12}\\{2x + 2y \le 8}\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{3x + y \le 6}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.$ (I).

Và biểu thức $F\left( {x;\,y} \right) = 10x + 8y$ (triệu đồng).

Miền nghiệm của hệ (I) là miền tứ giác $OABC$ với $O\left( {0;\,0} \right)$, $A\left( {2;\,0} \right)$, $B\left( {1;\,3} \right)$, $C\left( {0;\,4} \right)$.

Ta có: $F\left( {0;\,0} \right) = 10.0 + 8.0 = 0$; $F\left( {2;\,0} \right) = 10.2 + 8.0 = 20$;

$F\left( {1;\,3} \right) = 10.1 + 8.3 = 34$; $F\left( {0;\,4} \right) = 10.0 + 8.4 = 32$.

$F\left( {x;\,y} \right)$ lớn nhất bằng 34 tại $\left( {x;\,y} \right) = \left( {1;\,3} \right)$.

Vậy xưởng mỗi ngày cần sản xuất 1 tấn sản phẩm loại X và 3 tấn sản phẩm loại Y để thu được lãi lớn nhất.

+ Biến đổi đẳng thức đề cho về $c = 2.\,b.\cos A$:

Ta có: $\sin C = 2.\,\sin B.\cos A$

$\Leftrightarrow \frac{c}{{2R}} = 2.\frac{b}{{2R}}.\cos A$ (áp dụng định lí sin, suy ra được $\sin C = \frac{c}{{2R}},\,\sin B = \frac{b}{{2R}}$)

$\Leftrightarrow c = 2.b.\cos A$ (1)

+ Sử dụng định lí côsin đưa ra kết quả $a = b$ và kết luận tam giác cân tại $C$.

Theo hệ quả định lí côsin trong tam giác $ABC$, ta có: $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$.

Khi đó (1) $\Leftrightarrow c = 2.b.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$$\Leftrightarrow {b^2} = {a^2} \Rightarrow a = b$ hay $BC = AC$.

Vậy tam giác $ABC$ cân tại $C$.