Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Lương Ngọc Quyến (Thái Nguyên) năm 2022-2023 có đáp án

a) $A = \left[ { - 2;4} \right],B = \left( {3;15} \right),C = \left[ {10; + \infty } \right)$

$A \cup B = \left[ { - 2;15} \right)$; $\left( {A \cup B} \right) \cap C = \left[ {10;15} \right)$

b) $A\backslash B = \left[ { - 2;3} \right]$; ${C_\mathbb{R}}(A\backslash B) = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$

$$\widehat C = 180^\circ - 105^\circ - 45^\circ = 30^\circ$$

Gọi $BC = a,AC = b,AB = c$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$ ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{b.\sin A}}{{\sin B}} = \frac{{10.\sin 105^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = 5 + 5\sqrt 3 \approx 13{,}7\\c = \frac{{b.\sin C}}{{\sin B}} = \frac{{10.\sin 30^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = 5\sqrt 2 \approx 7{,}1\end{array} \right.$

Gọi $x$ là số kg sản phẩm loại I cần sản xuất, $y$ là số kg sản phẩm loại II cần sản xuất. $(x \ge 0,y \ge 0)$.

Xưởng có 200 kg nguyên liệu nên ta có: $2x + 4y \le 200 \Leftrightarrow x + 2y \le 100$

Xưởng có 1200 giờ làm việc nên ta có: $30x + 15y \le 1200 \Leftrightarrow 2x + y \le 80$

Tổng lợi nhuận là: $40000x + 30000y$

***Bài toán trở thành:* **Xác định $x;\,y$ sao cho $F\left( {x;\,y} \right) = 40000x + 30000y$ đạt giá trị lớn nhất, với điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y \le 100\\2x + y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.$. (I)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ BPT (I) là miền tứ giác không tô màu trong hình vẽ sau (kể cả các cạnh của tứ giác)

GTLN của $F\left( {x;\,y} \right) = 40000x + 30000y$ đạt tại một trong các điểm (0; 0), (40; 0), (0; 50), (20; 40).

Ta có:

$F\left( {0;\,0} \right) = 0,\,F\left( {40;\,0} \right) = 1\,600\,000,\,F\left( {0;\,50} \right) = 1\,500\,000,\,F\left( {20;\,40} \right) = 2\,000\,000$

Giá trị lớn nhất của $F\left( {x;\,y} \right)$ là 2 000 000 khi $\left( {x;\,y} \right)$ = (20; 40).

Vậy cần sản xuất 20 kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại II để có mức lợi nhuận lớn nhất.

Ta có

$\frac{{{h_a}}}{{{h_b}}} + \frac{{{h_b}}}{{{h_c}}} + \frac{{{h_c}}}{{{h_a}}} = \frac{{{h_b}}}{{{h_a}}} + \frac{{{h_c}}}{{{h_b}}} + \frac{{{h_a}}}{{{h_c}}} \Leftrightarrow \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} = \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

$\Leftrightarrow {b^2}c + a{c^2} + {a^2}b = {a^2}c + a{b^2} + b{c^2} \Leftrightarrow bc\left( {b - c} \right) - a\left( {{b^2} - {c^2}} \right) + {a^2}\left( {b - c} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right.$. Suy ra tam giác $ABC$ cân.