Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Hòa Vang (Đà Nẵng) năm 2022-2023 có đáp án

$A \cap B = \left\{ {1;2;5} \right\}$

$A \cup B = \left\{ {1;2;3;4;5;7;8} \right\}$

$A\backslash B = \left\{ {3;4;7} \right\}$

$B\backslash A = \left\{ 8 \right\}$

Gọi $x,\,y$ lần lượt là số máy điều hòa hai chiều và số máy điều hòa một chiều mà chủ cửa hàng đầu tư $\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)$.

Vì nhu cầu của thị trường không vượt quá 100 máy cả hai loại nên $x + y \le 100$.

Số tiền đầu tư là $20x + 10y$ (triệu đồng).

Vì số vốn ban đầu không qua 1,2 tỉ nên $20x + 10y \le 1200$.

Lợi nhuận thu về dự kiến: $F\left( {x;\,y} \right) = 3{,}5x + 2y$ (triệu đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của $F\left( {x;\,y} \right)$ trên miền hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 100\\20x + 10y \le 1200\end{array} \right.\,\left( * \right)$.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tứ giác $OMNP$ với $O\left( {0;\,0} \right),\,M\left( {0;\,100} \right),\,N\left( {20;\,80} \right),\,P\left( {60;0} \right)$.

Tính giá trị của $F\left( {x;\,y} \right)$ tại các đỉnh của tứ giác ta thu được giá trị lớn nhất của $F\left( {x;\,y} \right)$ là $F\left( {20;\,80} \right)$. Kết luận : $x = 20;y = 80$.

$\sin A\left( {2\cos B + \cos C} \right) = \sin B + 2\sin C$

Thay $\left\{ \begin{array}{l}\sin A = \frac{a}{{2R}};\sin B = \frac{b}{{2R}};\sin C = \frac{c}{{2R}}\\\cos B = \frac{{{a^2} + c{}^2 - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + b{}^2 - {c^2}}}{{2ab}}\end{array} \right.$

$$\frac{a}{{2R}}\left( {2\frac{{{a^2} + c{}^2 - {b^2}}}{{2ac}} + \frac{{{a^2} + b{}^2 - {c^2}}}{{2ab}}} \right) = \frac{b}{{2R}} + \frac{{2c}}{{2R}}$$

$$a\left( {\frac{{2b\left( {{a^2} + c{}^2 - {b^2}} \right) + c\left( {{a^2} + b{}^2 - {c^2}} \right)}}{{2abc}}} \right) = b + 2c$$

$$2{a^2}b + 2c{}^2b - 2{b^3} + {a^2}c + b{}^2c - {c^3} = 2{b^2}c + 4b{c^2}$$

$$\begin{array}{l}2{a^2}b - 2c{}^2b - 2{b^3} + {a^2}c - b{}^2c - {c^3} = 0\\\left( {2{a^2}b + {a^2}c} \right) - \left( {2c{}^2b + {c^3}} \right) - \left( {2{b^3} + b{}^2c} \right) = 0\end{array}$$

$${a^2}\left( {2b + c} \right) - c{}^2\left( {2b + c} \right) - b{}^2\left( {2b + c} \right) = 0$$

$\Leftrightarrow \left( {2b + c} \right)\left( {{a^2} - {c^2} - {b^2}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2b + c = 0\left( {loai{\rm{ }}vi{\rm{ }}b,c > 0} \right)\\{a^2} = {c^2} + {b^2}\end{array} \right.$. Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A$.