Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Hà Huy Tập (Hà Tĩnh) năm 2022-2023 có đáp án - Đề 2

a. $A \cup B = \left[ { - 3;4} \right]$

b. TH1: $A = \emptyset \Leftrightarrow 1 - 2m > m + 3 \Leftrightarrow m < - \frac{2}{3}$

TH2: $A \ne \emptyset$

Để $A \cap B = \emptyset$ thì $\left\{ \begin{array}{l}1 - 2m \le m + 3\\8 - 5m > m + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - \frac{2}{3}\\m < \frac{5}{6}\end{array} \right.$. Vậy giá trị $m$ cần tìm là $m < \frac{5}{6}$

Gọi $x,y$ lần lượt là số lít nước mắm loại I, II xưởng đó sản xuất. Theo đề bài ta có

$x,y$ thoả mãn hệ bất phương trình sau: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{3x + 2y \le 230}\\{2x + 3y \le 220}\end{array}} \right.$

Miền nghiệm trong hệ phương trình được biểu diễn là miền không bị gạch trong hình sau:

Như vậy chúng ta có bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm $F = 50000x + 40000y$

với $x,y$ thỏa mãn hệ bất phương trình trên. Do đó chúng ta xét giá trị của $F = 50000x + 40000y$ tại các đỉnh của tứ giác $OABC$ và suy ra giá trị lớn nhất của F là 4100000 đồng tại $A(50;40)$. Vậy để thu được lãi nhiều nhất thì xưởng đó nên sản xuất 50 lít nước mắm loại I và 40 lít nước mắm loại II.

Ta có: ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = \frac{5}{9} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}$

Vì $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ nên $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$ ; $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$

Ta có:

+) ${a^4} = {b^4} + {c^4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > b\\a > c\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A > B\\A > C\end{array} \right.$. Do đó ta cần chứng minh $A < 90^\circ$

+) ${\left( {{b^2} + {c^2}} \right)^2} = {b^4} + {c^4} + 2{b^2}{c^2} > {a^4} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} > {a^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} > 0$

+) $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} > 0 \Rightarrow A < 90^\circ \,$(đpcm)