Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT chuyên Trần Phú (Hải Phòng) năm 2023-2024 (có đáp án)

Chọn B

Ta có cặp số $\left( {0;1} \right)$: $2.0 - 3.1 = - 3 < 6$ suy ra cặp số $\left( {0;1} \right)$ là một nghiệm của bất phương trình $2x - 3y \le 6$.

Chọn C

Có 2 hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,\,\,y$ là $\left\{ \begin{array}{l}x - 4y \le 0\\2x + y \ge 0\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\5x - \sqrt 3 y < \sqrt {11} \end{array} \right.$.

Chọn B

Theo định lí sin: $\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = 1$.

Chọn A

Công thức tính diện tích sai là $S = \frac{1}{2}ab\sin A$.

Chọn D

Biểu thức định lí cosin sai là ${c^2} = {b^2} + {a^2} - 2ab\cos A$.

Chọn C

Xét phương trình $\left( {{x^2} - 3x - 4} \right)\left( {{x^2} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 3x - 4 = 0\\{x^2} - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\\x = - \sqrt 3 \notin \mathbb{Q}\\x = \sqrt 3 \notin \mathbb{Q}\end{array} \right.$

Vậy $X = \left\{ { - 1;4} \right\}$ có 2 phần tử.

Chọn B

Ta có: $X \subset A$ và $X \subset B$ suy ra $X \subset A \cap B = \left\{ {1;2} \right\}$.

Vậy tập $X$ có thể là các tập hợp sau: $\phi ,\,\,\left\{ 1 \right\},\,\,\left\{ 2 \right\},\,\,\left\{ {1;2} \right\}$. Vậy có 4 tập hợp.

Chọn D

Ta có: $A{M^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4} = \frac{{2\left( {{1^2} + {{\sqrt 2 }^2}} \right) - {{\sqrt 3 }^2}}}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ (cm).

Chọn B

Đẳng thức đúng là $\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha .$

Chọn C

Ta có: ${C_\mathbb{R}}A = \mathbb{R}\backslash A = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right).$

Chọn B

Do $0^\circ < \alpha < 90^\circ \Rightarrow \cos \alpha > 0$.

Từ ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{3}{5}$.

Chọn B

Bất phương trình không là bất phương trình bậc nhất một ẩn là $x + y < 2xy$.

Chọn C

Phát biểu mệnh đề là: Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng $3$.

Chọn A

Do ${\cos ^2}\frac{\alpha }{5} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{5} = 1 \Rightarrow 5\left( {{{\cos }^2}\frac{\alpha }{5} + {{\sin }^2}\frac{\alpha }{5}} \right) = 5.$

Chọn A

Ta có: $S = pr \Leftrightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{10}} = \sqrt 3$.

Chọn C

Mệnh đề đúng là: Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau.

Chọn D

Ta thấy điểm $N\left( { - 1\,;1} \right)$ có: $\left\{ \begin{array}{l}( - 1) + 1 - 2 = - 2 < 0\\2.\left( { - 1} \right) - 3.1 + 2 = - 3 < 0\end{array} \right.$. Vậy $N\left( { - 1\,;1} \right)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 \le 0\\2x - 3y + 2 > 0\end{array} \right.$.

Chọn D

Ta có: $A\backslash B = \left\{ {0;1} \right\}$

Chọn B

Tập hợp $A = \left( {4\,;9} \right]$.

Chọn D

Ta có: $A \cup B = \left[ {2;10} \right)$

Chọn C

Ta có định lí sin: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = \,2R$ nên công thức sai là $b\sin B = 2R\,.$

Chọn D

Theo định lí cosin: $A{B^2} = A{C^2} + B{C^3} - 2.AC.BC.\cos C = {2^2} + {\sqrt 3 ^3} - 2.2.\sqrt 3 .\cos {150^{\rm{o}}} = 13 \Rightarrow AB = \sqrt {13}$

Chọn C

Gọi $A$ là tập hợp các học sinh giỏi Toán.

Gọi $B$ là tập hợp các học sinh giỏi Lý.

Theo bài ra ta có: $n\left( A \right) = 10,\,\,n\left( B \right) = 15$ và $n\left( {A \cup B} \right) = 40 - 22 = 18$.

Ta có:

$n\left( {A \cup B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cap B} \right) \Rightarrow n\left( {A \cap B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cup B} \right) = 10 + 15 - 18 = 7$.

Vậy số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Lý của lớp 10A là 7.

Chọn A

Vì $\alpha$ là góc tù nên $\cot \alpha < 0.$

Chọn A

Ta có: là mệnh đề đúng.

Chọn D

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,\,\,y$ thể hiện số tiền hai bạn đã mua quà mà không vượt quá số tiền 1 triệu đồng là $30x + 10y \le 1000 \Leftrightarrow 3x + y \le 100$

Chọn D

Mệnh đề “$\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} > 0$” là mệnh đề sai vì $\exists x = 0$ mà ${0^2} > 0$ không thỏa mãn.

Chọn D

Ta có: $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{13}^2} + {{15}^2} - {{24}^2}}}{{2.13.15}} = - \frac{7}{{15}} \Rightarrow \widehat A \approx {117^{\rm{o}}}49'$

Chọn C

Bất đẳng thức đúng là $\cos 95^\circ > \cos 100^\circ$.

Chọn A

Ta có: $A \cap B = \left( {1;5} \right)$

Chọn D

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “$\forall x \in \mathbb{R},\,{x^2} + 3x + 5 > 0$” là “$\exists x \in \mathbb{R},\,{x^2} + 3x + 5 \le 0$”.

Chọn C

+ Ta có các đường thẳng $OA,\,\,OB,\,\,AB$ có phương trình lần lượt là $x = 0,\,\,y = 0,\,\,x - 2y = - 2$.

+ Điểm $M\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)$ thuộc miền tam giác $OAB$ và là một điểm biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\y \ge 0\\x - 2y \ge - 2\end{array} \right.$. Vậy miền tam giác $OAB$ là miền nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\y \ge 0\\x - 2y \ge - 2\end{array} \right.$.

Chọn B

Đường thẳng $x - y = 1$ đi qua hai điểm $\left( {0; - 1} \right),\,\,\left( {1;0} \right)$.

Điểm $O\left( {0;0} \right)$ là điểm biểu diễn nghiệm của bất phương trình $x - y \le 1$. Vậy bất phương trình có miền nghiệm như hình vẽ là $x - y \le 1$.

Chọn D

Cách 1. Ta có nửa chu vi là $p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{6 + 8 + 10}}{2} = 12$

Vậy diện tích tam giác $ABC$ là $S = \sqrt {12.\left( {12 - 6} \right).\left( {12 - 8} \right).\left( {12 - 10} \right)} = 24$.

Cách 2. Ta có ${a^2} + {b^2} = {c^2}$ suy ra tam giác $ABC$ vuông tại C.

Vậy diện tích tam giác $ABC$ là $S = \frac{1}{2}.6.8 = 24$.

Chọn D

Phát biểu là một mệnh đề: “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam”.

a) Tập hợp $A \cap \mathbb{Z} = \left\{ { - 1;0;1;2;3;4;5} \right\}$

b) $A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m + 3 \le - 1\\2m - 1 > 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 2\\m > 3\end{array} \right.{\rm{ }}$

Ta có: ${P^2} = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} = 1 - 2\sin x.\cos x$

Theo giả thiết: $\sin x + \cos x = \frac{1}{5} \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \frac{1}{{25}}$ $\Rightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x.\cos x + {\cos ^2}x = \frac{1}{{25}} \Rightarrow 1 + 2\sin x.\cos x = \frac{1}{{25}}$

$\Rightarrow 2\sin x.\cos x = - \frac{{24}}{{25}}$

Do đó: ${P^2} = 1 + \frac{{24}}{{25}} = \frac{{49}}{{25}} \Rightarrow P = \frac{7}{5}$ (vì $P \ge 0$).

Ta có: $\,\widehat {ABC} = 90^\circ \, + \,15^\circ 30'\, = \,105^\circ 30'$.

$\widehat {ACB} = 180^\circ \, - \widehat {ABC} - \widehat {BAC} = 180^\circ \, - 60^\circ - \,105^\circ 30'\, = \,14^\circ 30'$.

Áp dụng định lí sin trong $\Delta ABC$, ta có:

$\frac{{AC}}{{\sin \,\widehat {ABC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \,\widehat {ACB}}} \Rightarrow AC = \frac{{70.\sin \,105^\circ 30'}}{{\sin \,14^\circ 30'}} \approx 269{,}4\left( m \right)$.

$\Delta AHC$ vuông tại $H$ có $\widehat {ACH} = 30^\circ$ nên $CH = \frac{{AC}}{2} \approx 134{,}7\,\left( m \right)$.

Gọi là số tấn trục sắt và đinh ốc sản xuất trong một ngày.

Số tiền lãi mỗi ngày là: $L(x,y) = 2x + y$ (triệu đồng).

Số giờ làm việc mỗi ngày của máy cắt là: $3x + y$ (giờ).

Số giờ làm việc mỗi ngày của máy tiện là: $x + y$ (giờ).

Theo giả thiết bài toán ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}3x + y \le 6\\x + y \le 4\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\,$$\left( * \right)$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (*)

Miền nghiệm của $(*)$ là miền tứ giác $OABC$như hình vẽ với $O(0;0),A(2;0),B(1;3),C(0;4)$.

Ta có: $L(0;0) = 0,L(2;0) = 4,L(1{,}3) = 5,L(0{,}4) = 4$.

Suy ra: GTLN của $L\left( {x;y} \right)$ bằng $5$ khi $\left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)$

Vậy một ngày xưởng nên sản xuất 1 tấn trục sắt và 3 tấn đinh ốc để tiền lãi cao nhất.