Đề thi giữa kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THCS-THPT Nguyễn Khuyến (TP.HCM) có đáp án

Ta có giá trị lượng giác của các góc đặc biệt:

${\rm{tan}}30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

${\rm{cot}}30^\circ = \sqrt 3$

Thay vào biểu thức ta được: ${\rm{tan}}{30^ \circ } + {\rm{cot}}{30^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \sqrt 3 = \frac{{\sqrt 3 + 3\sqrt 3 }}{3} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$.

Chọn D.

Gọi $x$ là số chiếc bàn và $y$ là số chiếc ghế mà xưởng sản xuất trong một ngày ($x \ge 0$, $y \ge 0$, $x,y \in \mathbb{N}$).

Tổng số giờ làm việc tối đa của bộ phận lắp ráp trong một ngày là: $3 \times 8 = 24$ (giờ). Do đó, ta có bất phương trình: $1{,}5x + 1y \le 24$.

Tổng số giờ làm việc tối đa của bộ phận hoàn thiện trong một ngày là: $4 \times 8 = 32$ (giờ). Do đó, ta có bất phương trình: $1x + 2y \le 32$.

Lượng ghế tiêu thụ không vượt quá $3{,}5$ lần số bàn: $y \le 3{,}5x \Leftrightarrow 3{,}5x - y \ge 0$.

Ta có hệ bất phương trình ràng buộc: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{1{,}5x + y \le 24}\\{x + 2y \le 32}\\{3{,}5x - y \ge 0}\end{array}} \right.$.

Số tiền lãi miền nghiệm thu được là: $F\left( {x;y} \right) = 600x + 450y$ (nghìn đồng).

Miền nghiệm của hệ là miền đa giác tạo bởi các đỉnh giao điểm. Để tìm điểm tối ưu, ta kiểm tra giá trị của các phương án được cho sẵn trong các đáp án xem có thỏa mãn hệ bất phương trình hay không và tính lợi nhuận:

Xét đáp án A ($x = 8,y = 12$):

$1{,}5 \times 8 + 12 = 24 \le 24$ (Thỏa mãn)

$8 + 2 \times 12 = 32 \le 32$ (Thỏa mãn)

$3{,}5 \times 8 - 12 = 16 \ge 0$ (Thỏa mãn)

Lợi nhuận: $F\left( {8;12} \right) = 600 \times 8 + 450 \times 12 = 4800 + 5400 = 10200$ nghìn đồng.

Xét đáp án B ($x = 4,y = 14$):

$1{,}5 \times 4 + 14 = 20 \le 24$ (Thỏa mãn)

$4 + 2 \times 14 = 32 \le 32$ (Thỏa mãn)

$3{,}5 \times 4 - 14 = 0 \ge 0$ (Thỏa mãn)

Lợi nhuận: $F\left( {4;14} \right) = 600 \times 4 + 450 \times 14 = 2400 + 6300 = 8700$ nghìn đồng.

Xét đáp án C ($x = 10,y = 12$):

$1{,}5 \times 10 + 12 = 27 > 24$ (Không thỏa mãn hệ)

Xét đáp án D ($x = 4,y = 12$):

Thỏa mãn hệ, lợi nhuận: $F\left( {4;12} \right) = 600 \times 4 + 450 \times 12 = 2400 + 5400 = 7800$ nghìn đồng.

So sánh các giá trị thỏa mãn, lợi nhuận lớn nhất là $10200$ nghìn đồng khi sản xuất $8$ chiếc bàn và $12$ chiếc ghế.

Chọn A.

Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Miền nghiệm nằm hoàn toàn ở phía dưới trục hoành $Ox$ (trục $y = 0$). Do đó ta phải có $y \le 0$. Loại đáp án C và D.

Đường thẳng ranh giới thứ hai cắt trục $Ox$ tại điểm $\left( { - 2;0} \right)$ và cắt trục $Oy$ tại điểm $\left( {0; - 2} \right)$. Phương trình đường thẳng này có dạng: $\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{{ - 2}} = 1 \Leftrightarrow x + y = - 2$.

Thử tọa độ điểm gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$ vào biểu thức $x + y$: ta có $0 + 0 = 0 > - 2$. Trên hình vẽ, phần chứa điểm $O\left( {0;0} \right)$ không bị gạch (thuộc miền nghiệm). Do đó bất phương trình phải là $x + y \ge - 2$.

Hệ bất phương trình tương ứng là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{y \le 0}\\{x + y \ge - 2}\end{array}} \right.$.

Chọn B.

Theo lý thuyết hệ thức lượng trong tam giác, diện tích tam giác $ABC$ được tính theo công thức bán kính đường tròn nội tiếp là: $S = pr$.

Phương án A sai vì thiếu hệ số $p$ trong căn (công thức đúng là Heron: $S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$).

Phương án B sai vì công thức đúng theo bán kính đường tròn ngoại tiếp phải là $S = \frac{{abc}}{{4R}}$.

Phương án D sai vì công thức đúng phải là $S = \frac{1}{2}ac{\rm{sin}}B$ hoặc $S = \frac{1}{2}bc{\rm{sin}}A$.

Chọn C.

Ta có phủ định của ký hiệu tồn tại ($\exists$) là với mọi ($\forall$), phủ định của dấu lớn hơn ($>$) là dấu nhỏ hơn hoặc bằng ($\le$).

Do đó, phủ định của mệnh đề $T$ là $\bar T$: "$\forall x \in \mathbb{R},{x^2} \le 0$".

Chọn A.

Tập hợp hiệu $A\backslash B$ gồm các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$.

Ta có: $A = \left( {1;5} \right]$ và $B = \left( {2;7} \right]$. Do đó, $A\backslash B = \left( {1;2} \right]$.

Chọn C.

Phép toán hiệu của hai tập hợp $A\backslash B$ lấy các phần tử chỉ thuộc $A$ mà không thuộc $B$.

Các phần tử của $A$ là $2{,}4{,}6{,}9$.

Các phần tử $2$ và $4$ cũng thuộc $B$ nên ta loại bỏ.

Còn lại các phần tử $6$ và $9$ thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$.

Vậy $A\backslash B = \left\{ {6;9} \right\}$.

Chọn A.

Giải phương trình bậc hai trên tập số thực: $2{x^2} - 5x + 3 = 0$.

Ta có các hệ số $a = 2,b = - 5,c = 3$. Nhận thấy $a + b + c = 2 - 5 + 3 = 0$.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = 1$

${x_2} = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$

Cả hai nghiệm này đều là các số thực, vì vậy tập hợp $X$ gồm hai phần tử: $X = \left\{ {1;\frac{3}{2}} \right\}$.

Chọn A.

Thay tọa độ từng cặp số $\left( {x;y} \right)$ vào vế trái $VT = 2x + y$ của bất phương trình:

Với $\left( { - 2;1} \right)$: $VT = 2\left( { - 2} \right) + 1 = - 3 < 1$ (Thỏa mãn)

Với $\left( {0;0} \right)$: $VT = 2\left( 0 \right) + 0 = 0 < 1$ (Thỏa mãn)

Với $\left( {3; - 7} \right)$: $VT = 2\left( 3 \right) + \left( { - 7} \right) = - 1 < 1$ (Thỏa mãn)

Với $\left( {0;1} \right)$: $VT = 2\left( 0 \right) + 1 = 1 < 1$ (Sai, vì $1 = 1$)

Do đó, cặp số $\left( {0;1} \right)$ không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Chọn D.

Xét tam giác vuông $ABC$ tại $B$: ${\rm{tan}}\widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow BC = \frac{{AB}}{{{\rm{tan}}60^\circ }} = \frac{{AB}}{{\sqrt 3 }}$.

Xét tam giác vuông $ABD$ tại $B$: ${\rm{tan}}\widehat {ADB} = \frac{{AB}}{{BD}} \Rightarrow BD = \frac{{AB}}{{{\rm{tan}}49^\circ }}$.

Vì ba điểm $B,C,D$ thẳng hàng và theo hình vẽ điểm $C$ nằm giữa $B$ và $D$, ta có:

$BD - BC = CD$

$\frac{{AB}}{{{\rm{tan}}49^\circ }} - \frac{{AB}}{{\sqrt 3 }} = 44$

$AB\left( {\frac{1}{{{\rm{tan}}49^\circ }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = 44$

$AB = \frac{{44}}{{\frac{1}{{{\rm{tan}}49^\circ }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}}} \approx 151{\rm{\;m}}$

Chọn D.

Ý b): Áp dụng định lý côsin trong tam giác $ABC$ để tính cạnh $BC$:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{cos}}A$

$B{C^2} = {6^2} + {4^2} - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot {\rm{cos}}26^\circ = 36 + 16 - 48 \cdot {\rm{cos}}26^\circ$

$BC \approx 2{,}98$

Do đó ý b) khẳng định $BC \approx 5{,}52$ là Sai.

Ý a): Áp dụng định lý sin để tìm góc $B$:

$\frac{{BC}}{{{\rm{sin}}A}} = \frac{{AC}}{{{\rm{sin}}B}} \Rightarrow {\rm{sin}}B = \frac{{AC \cdot {\rm{sin}}A}}{{BC}}$ (không thay giá trị 2,98 để có kết quả chính xác).

$\Rightarrow \hat B \approx 36{,}1^\circ$

Do đó ý a) khẳng định $\widehat B \approx 36{,}1^\circ$ là Đúng.

Ý c): Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$:

$R = \frac{{BC}}{{2{\rm{sin}}A}} = \frac{{\sqrt {B{C^2}} }}{{2\sin A}} \approx 3{,}39$ (không thay giá trị 2,98 để có kết quả chính xác).

Khẳng định $R \approx 3{,}39$ là Đúng.

Ý d): Diện tích tam giác $ABC$:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{sin}}A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot {\rm{sin}}26^\circ = 12 \cdot {\rm{sin}}26^\circ \approx 12 \cdot 0{,}43837 \approx 5{,}26$

Khẳng định diện tích tam giác là $S \approx 5{,}26$ là Đúng.

Kết luận: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Trước hết, ta viết lại tập hợp $A$ dưới dạng liệt kê các phần tử thuộc tập số tự nhiên:

$A = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}$

Ý a): Vì $B \subset A$ nên phần bù của $B$ trong $A$ là ${C_A}B = A\backslash B$:

${C_A}B = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\backslash \left\{ {0;1;2} \right\} = \left\{ {3;4} \right\}$

Do đó khẳng định ${C_A}B = \left\{ {1;3;4} \right\}$ là Sai.

Ý b): Thực hiện phép toán hiệu $C\backslash B$:

$C\backslash B = \left\{ { - 3;0;1;2} \right\}\backslash \left\{ {0;1;2} \right\} = \left\{ { - 3} \right\}$

Thực hiện phép hợp với $A$:

$A \cup \left( {C\backslash B} \right) = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\} \cup \left\{ { - 3} \right\} = \left\{ { - 3;0;1;2;3;4} \right\}$

Do đó khẳng định ý b) là Sai.

Ý c): Thực hiện phép giao $A \cap C$:

$A \cap C = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\} \cap \left\{ { - 3;0;1;2} \right\} = \left\{ {0;1;2} \right\}$

Thực hiện tiếp phép hiệu với $B$:

$\left( {A \cap C} \right)\backslash B = \left\{ {0;1;2} \right\}\backslash \left\{ {0;1;2} \right\} = \emptyset$

Do đó khẳng định ý c) là Đúng.

Ý d): Tập hợp $B$ có $3$ phần tử. Số tập hợp con của $B$ được tính bằng công thức:

${2^3} = 8$

Do đó khẳng định tập $B$ có $8$ tập con là Đúng.

Kết luận: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Biểu diễn các tập hợp dưới dạng khoảng, nửa khoảng:

$A = \left( { - \infty ;2} \right]$

$B = \left[ {0;4} \right)$

Áp dụng các quy tắc phép toán tập hợp trên trục số, ta xác định được:

Phép hợp $A \cup B$: Lấy tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp.

$A \cup B = \left( { - \infty ;4} \right)$.

Phép giao $A \cap B$: Lấy phần giao nhau chung của hai tập hợp.

$A \cap B = \left[ {0;2} \right]$.

Phép hiệu $A\backslash B$: Lấy các phần tử thuộc $A$ nhưng loại đi những phần tử thuộc $B$.

$A\backslash B = \left( { - \infty ;0} \right)$.

Ta có ${\rm{cos}}B = \frac{1}{7}$. Sử dụng máy tính bỏ túi ta tính được: $\widehat B \approx 81{,}78678^\circ$.

Đổi sang đơn vị độ, phút: $\widehat B \approx 81^\circ 47{\rm{'}}$.

Trước tiên, từ ${\rm{cos}}B = \frac{1}{7}$, ta tính giá trị ${\rm{sin}}B$ (vì góc $B$ của tam giác có ${\rm{sin}}B > 0$):

${\rm{si}}{{\rm{n}}^2}B + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}B = 1 \Rightarrow {\rm{sin}}B = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{7}} \right)}^2}} = \sqrt {1 - \frac{1}{{49}}} = \frac{{\sqrt {48} }}{7} = \frac{{4\sqrt 3 }}{7}$.

Áp dụng định lý sin trong tam giác $ABC$: $\frac{{AC}}{{{\rm{sin}}B}} = \frac{{AB}}{{{\rm{sin}}C}}$.

Suy ra $AC = \frac{{AB \cdot {\rm{sin}}B}}{{{\rm{sin}}C}} = \frac{{7 \cdot \frac{{4\sqrt 3 }}{7}}}{{{\rm{sin}}60^\circ }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = 4\sqrt 3 \cdot \frac{2}{{\sqrt 3 }} = 8{\rm{\;cm}}$.

Vậy số đo góc $B$ xấp xỉ $81^\circ 47{\rm{'}}$ và độ dài cạnh $AC = 8{\rm{\;cm}}$.

Theo đề bài và hình vẽ mô tả hình học:

Đoạn $FE = 21{\rm{\;m}}$ chính là chiều cao phần mái hình chóp được xây thêm.

$BD$ là đường nằm ngang kẻ từ vị trí đặt giác kế đến trục thẳng đứng của tòa tháp. Do đó $BD \bot FD$ tại $D$.

Các tia ngắm tạo ra các góc: $\widehat {EBD} = 19^\circ$ và $\widehat {FBE} = 10^\circ$. Từ đó suy ra

$\widehat {FBD} = \widehat {FBE} + \widehat {EBD} = 10^\circ + 19^\circ = 29^\circ$.

Xét hai tam giác vuông $FBD$ và $EBD$ vuông tại $D$:

$FD = BD \cdot {\rm{tan}}\widehat {FBD} = BD \cdot {\rm{tan}}29^\circ$

$ED = BD \cdot {\rm{tan}}\widehat {EBD} = BD \cdot {\rm{tan}}19^\circ$

Ta có $FE = FD - ED$

$21 = BD \cdot {\rm{tan}}29^\circ - BD \cdot {\rm{tan}}19^\circ$

$21 = BD \cdot \left( {{\rm{tan}}29^\circ - {\rm{tan}}19^\circ } \right)$

Suy ra $BD = \frac{{21}}{{{\rm{tan}}29^\circ - {\rm{tan}}19^\circ }}$.

Khi đó, $ED = BD \cdot {\rm{tan}}19^\circ = \frac{{21 \cdot {\rm{tan}}19^\circ }}{{{\rm{tan}}29^\circ - {\rm{tan}}19^\circ }}$.

Chiều cao tổng thể từ đỉnh tháp $F$ đến mặt đất $C$ bằng tổng chiều cao từ đỉnh tháp đến tia nằm ngang giác kế cộng thêm chiều cao của chân giác kế $AC = 1{,}6{\rm{\;m}}$:

$FC = FD + DC = \left( {FE + ED} \right) + AC$$= 21 + \frac{{21 \cdot {\rm{tan}}19^\circ }}{{{\rm{tan}}29^\circ - {\rm{tan}}19^\circ }} + 1{,}6 \approx 57{,}04{\rm{\;m}}$.

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, ta được chiều cao của nhà thờ Đức Bà là $57{,}04{\rm{\;m}}$.