Đề thi giữa kì 1 Toán 10 năm 2024-2025 THPT Minh Hà (Hà Nội) có đáp án

Theo định nghĩa, $\mathbb{Z}$ là tập hợp các số nguyên. Xét điều kiện của tập hợp $E$:

$- 1 < x \le 3$

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên ta liệt kê được các giá trị nguyên thỏa mãn là: $x \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}$.

Do đó, ta viết tập hợp dưới dạng liệt kê phần tử:

$E = \left\{ {0;1;2;3} \right\}$

Chọn đáp án: A.

Dựa vào mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau ($\alpha$ và ${180^ \circ } - \alpha$), ta có các hệ thức lượng giác cơ bản sau:

${\rm{sin}}\left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = {\rm{sin}}\alpha$

${\rm{cos}}\left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - {\rm{cos}}\alpha$

${\rm{tan}}\left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - {\rm{tan}}\alpha$

${\rm{cot}}\left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - {\rm{cot}}\alpha$

Đối chiếu với các phương án lựa chọn, ta thấy đẳng thức ở phương án B là khẳng định chính xác.

Chọn đáp án: B.

Theo hệ thức lượng trong tam giác về các công thức tính diện tích hình tam giác $ABC$, ta có công thức tính diện tích theo độ dài ba cạnh và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ là:

$S = \frac{{abc}}{{4R}}$

Chọn đáp án: D.

Gọi $T$ là tập hợp các học sinh thích môn Toán và $E$ là tập hợp các học sinh thích môn Tiếng Anh. Từ giả thiết, ta có:

Số học sinh thích môn Toán: $n\left( T \right) = 15$.

Số học sinh thích môn Tiếng Anh: $n\left( E \right) = 10$.

Số học sinh thích cả hai môn Toán và Tiếng Anh: $n\left( {T \cap E} \right) = 7$.

Vì mỗi học sinh trong nhóm A đều thích ít nhất một trong hai môn, nên tổng số học sinh của nhóm A chính là số phần tử của tập hợp hợp $T \cup E$:

$n\left( A \right) = n\left( {T \cup E} \right) = n\left( T \right) + n\left( E \right) - n\left( {T \cap E} \right)$

Thay các số liệu vào công thức, ta được:

$n\left( A \right) = 15 + 10 - 7 = 18$

Chọn đáp án: D.

Trước hết, xét đường thẳng ranh giới miền nghiệm $d:3x + 2y = 6$. Tìm giao điểm của đường thẳng $d$ với hai trục tọa độ $Ox$ và $Oy$:

Cho $x = 0 \Rightarrow y = 3$. Vậy $d$ cắt trục tung tại điểm $\left( {0;3} \right)$.

Cho $y = 0 \Rightarrow x = 2$. Vậy $d$ cắt trục hoành tại điểm $\left( {2;0} \right)$.

Dựa vào dữ kiện đồ thị trong đề thi, chỉ có Hình 2 vẽ đường thẳng đi qua chính xác hai điểm $\left( {2;0} \right)$ và $\left( {0;3} \right)$.

Tiếp theo, ta xác định miền nghiệm bằng cách thử tọa độ của gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$ vào bất phương trình $3x + 2y \ge 6$:

$3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0 \ge 6\,\,{\rm{(V\^o \;l\'y )}}$

Do đó gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$ không thuộc miền nghiệm. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa gốc tọa độ $O$ (tính cả đường thẳng $d$). Đối chiếu với đồ thị, Hình 2 thể hiện đúng phần không bị gạch là miền không chứa gốc tọa độ.

Chọn đáp án: B.

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có dạng tổng quát là $ax + by < c$ (hoặc dạng chứa dấu $> , \le , \ge$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, các ẩn số $x,y$ đều ở bậc một.

Xét đáp án A: $2x - 9y > 10$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn với hệ số $a = 2,b = - 9,c = 10$.

Các đáp án khác đều vi phạm vì chứa bậc hai ($3{x^2}$), chứa ẩn ở mẫu ($\frac{2}{y}$) hoặc chứa ba ẩn ($x,y,z$).

Chọn đáp án: A.

Quy tắc phủ định một mệnh đề chứa ký hiệu lượng từ:

Phủ định của lượng từ "Với mọi" ($\forall$) là lượng từ "Tồn tại" ($\exists$).

Phủ định của dấu nhỏ hơn ($<$) là dấu lớn hơn hoặc bằng ($\ge$).

Áp dụng quy tắc trên, ta được mệnh đề phủ định là:

$\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - 2x + 5 \ge 0$

Chọn đáp án: B.

Áp dụng các công thức lượng giác cơ bản:

1. ${\rm{tan}}\left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = {\rm{cot}}\alpha = \frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{sin}}\alpha }}$.

2. Biến đổi phần tử số:

${\rm{tan}}\alpha - {\rm{sin}}\alpha = \frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} - {\rm{sin}}\alpha = {\rm{sin}}\alpha \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{cos}}\alpha }} - 1} \right) = {\rm{sin}}\alpha \cdot \left( {\frac{{1 - {\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }}} \right)$

Thay vào biểu thức $A$, ta có:

$A = \frac{{{\rm{sin}}\alpha \cdot \left( {\frac{{1 - {\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }}} \right)}}{{{\rm{cos}}\alpha - 1}} \cdot \frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{sin}}\alpha }}$

$A = \frac{{{\rm{sin}}\alpha \cdot \left( {1 - {\rm{cos}}\alpha } \right)}}{{{\rm{cos}}\alpha \cdot \left( {{\rm{cos}}\alpha - 1} \right)}} \cdot \frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{sin}}\alpha }}$

Rút gọn lượng ${\rm{sin}}\alpha$ và ${\rm{cos}}\alpha$ ở cả tử số lẫn mẫu số:

$A = \frac{{1 - {\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha - 1}} = \frac{{ - \left( {{\rm{cos}}\alpha - 1} \right)}}{{{\rm{cos}}\alpha - 1}} = - 1$

Chọn đáp án: B.

Thay tọa độ điểm $\left( {1;5} \right)$ vào hệ bất phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{1 - 5 + 2 = - 2 > 0\,\,\,\,\,{\rm{(Sai)}}}\\{2 \cdot 1 + 5 - 1 = 6 < 0\,\,\,\,{\rm{(Sai)}}}\end{array}} \right.$

Do tọa độ điểm $\left( {1;5} \right)$ làm cho cả hai bất phương trình trong hệ đều sai nên nó không thuộc miền nghiệm.

Chọn đáp án: A.

Cặp số $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by + c > 0$ nếu khi thay giá trị $x = {x_0}$ và $y = {y_0}$ vào biểu thức, ta thu được một khẳng định đúng: $a{x_0} + b{y_0} + c > 0$. Do đó, khẳng định D đúng theo định nghĩa.

Chọn đáp án: D.

Mệnh đề là một câu khẳng định có tính đúng hoặc tính sai rõ ràng.

Chọn đáp án: B.

Xét tam giác $ABC$, áp dụng định lý hàm số sin, ta có hệ thức:

$\frac{{AC}}{{{\rm{sin}}B}} = \frac{{AB}}{{{\rm{sin}}C}} \Rightarrow AC = \frac{{AB \cdot {\rm{sin}}B}}{{{\rm{sin}}C}}$

Thay các số liệu vào công thức:

$AC = \frac{{5 \cdot {\rm{sin}}{{30}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{45}^ \circ }}} = \frac{{5 \cdot \frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{5}{{\sqrt 2 }} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}$

Chọn đáp án: C.

Ý a) ĐÚNG: Tập hợp $B = \left[ { - 2;3} \right)$ biểu diễn nửa khoảng trên trục số sẽ lấy dấu ngoặc vuông ở số $- 2$ và dấu ngoặc tròn ở số $3$.

Ý b) ĐÚNG: Phần giao của hai tập hợp $A$ và $B$ lấy phần chung:

$A \cap B = \left( { - \infty ;1} \right) \cap \left[ { - 2;3} \right) = \left[ { - 2;1} \right)$

Ý c) SAI: Tìm hiệu của hai tập hợp $C$ và $A$:

$C \setminus A = \left[ {0;5} \right] \setminus \left( { - \infty ;1} \right) = \left[ {1;5} \right]$

Vì số 1 không thuộc khoảng $A$ nên khi trừ đi tập $A$, giá trị số 1 vẫn giữ lại trong tập hiệu, do đó tại vị trí số 1 phải dùng dấu ngoặc vuông $\left[ {1;5} \right]$. Đề bài ghi ngoặc tròn $\left( {1;5} \right]$ nên sai.

Ý d) ĐÚNG: Thực hiện phép toán hợp với tập $C$:

$\left( {A \cap B} \right) \cup C = \left[ { - 2;1} \right) \cup \left[ {0;5} \right] = \left[ { - 2;5} \right]$.

Vì ${90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }$ (góc tù thuộc góc phần tư thứ II) nên ta có: ${\rm{cos}}\alpha < 0,{\rm{tan}}\alpha < 0,{\rm{cot}}\alpha < 0$.

Ý a) ĐÚNG: Góc tù thì giá trị ${\rm{cos}}\alpha$ luôn âm.

Ý b) SAI: Sử dụng công thức ${\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1$, ta có:

${\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} = \frac{{24}}{{25}}$

Do ${\rm{cos}}\alpha < 0$ nên: ${\rm{cos}}\alpha = - \sqrt {\frac{{24}}{{25}}} = - \frac{{2\sqrt 6 }}{5}$.

Từ đây ta tìm giá trị ${\rm{tan}}\alpha$:

${\rm{tan}}\alpha = \frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} = \frac{{\frac{1}{5}}}{{ - \frac{{2\sqrt 6 }}{5}}} = - \frac{{\sqrt 6 }}{{12}}$

Mệnh đề đưa ra giá trị ${\rm{tan}}\alpha = - 2\sqrt 6$ nên sai.

Ý c) ĐÚNG: Ta tìm giá trị của ${\rm{cot}}\alpha$:

${\rm{cot}}\alpha = \frac{1}{{{\rm{tan}}\alpha }} = - 2\sqrt 6$

Áp dụng hệ thức lượng giác của hai góc bù nhau:

${\rm{cot}}\left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - {\rm{cot}}\alpha = - \left( { - 2\sqrt 6 } \right) = 2\sqrt 6$

Ý d) SAI: Tính toán giá trị biểu thức $C$:

Tử số: ${\rm{tan}}\alpha - {\rm{cot}}\alpha = - \frac{{\sqrt 6 }}{{12}} - \left( { - 2\sqrt 6 } \right) = \frac{{23\sqrt 6 }}{{12}}$

Mẫu số: $29{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + 4{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 29 \cdot \frac{1}{{25}} + 4 \cdot \frac{{24}}{{25}} = \frac{{125}}{{25}} = 5$

Suy ra: $C = \frac{{\frac{{23\sqrt 6 }}{{12}}}}{5} = \frac{{23\sqrt 6 }}{{60}}$. Kết quả đề bài đưa ra sai mẫu số.

Ý a) ĐÚNG: Đây là công thức diện tích tam giác theo hai cạnh và góc xen giữa chính xác.

Ý b) ĐÚNG: Thay số liệu vào công thức:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4\sqrt 2 \cdot {\rm{sin}}{45^ \circ } = 12\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 12$

Ý c) SAI: Áp dụng định lý hàm số cos trong tam giác $ABC$ để tìm độ dài cạnh $AC$:

$A{C^2} = B{A^2} + B{C^2} - 2 \cdot BA \cdot BC \cdot {\rm{cos}}B$

$A{C^2} = {6^2} + {\left( {4\sqrt 2 } \right)^2} - 2 \cdot 6 \cdot 4\sqrt 2 \cdot {\rm{cos}}{45^ \circ } = 36 + 32 - 48 = 20 \Rightarrow AC = \sqrt {20} = 2\sqrt 5$

Ý d) ĐÚNG: Sử dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến $BM$:

$B{M^2} = \frac{{2\left( {B{A^2} + B{C^2}} \right) - A{C^2}}}{4} = \frac{{2\left( {36 + 32} \right) - 20}}{4} = \frac{{116}}{4} = 29 \Rightarrow BM = \sqrt {29}$

Do $M$ là trung điểm của $AC$ nên diện tích tam giác $BMC$ bằng một nửa diện tích tam giác $ABC$: ${S_{\Delta BMC}} = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$.

Khoảng cách $CH$ chính là đường cao hạ từ đỉnh $C$ xuống đáy $BM$ của tam giác $BMC$:

${S_{\Delta BMC}} = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot BM \Rightarrow 6 = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot \sqrt {29} \Rightarrow CH = \frac{{12}}{{\sqrt {29} }} = \frac{{12\sqrt {29} }}{{29}}$

Ý a) ĐÚNG: Cả ba bất phương trình đều ở dạng bậc nhất hai biến số $x,y$.

Ý b) SAI: Thay tọa độ điểm $M\left( {2; - 1} \right)$ vào bất phương trình thứ hai: $2 - 2\left( { - 1} \right) = 4 \le - 4$ (Vô lý). Điểm $M$ không thuộc miền nghiệm.

Ý c) ĐÚNG: Tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng ranh giới bằng cách giải các hệ phương trình đôi một, ta xác định được đúng 3 đỉnh là $A\left( {0;2} \right),B\left( {1;4} \right),C\left( {2;3} \right)$. Miền nghiệm chính là tam giác $ABC$.

Ý d) ĐÚNG: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = y - x$ sẽ đạt được tại một trong ba đỉnh của tam giác:

Tại $A\left( {0;2} \right)$: ${F_A} = 2 - 0 = 2$

Tại $B\left( {1;4} \right)$: ${F_B} = 4 - 1 = 3$

Tại $C\left( {2;3} \right)$: ${F_C} = 3 - 2 = 1$

So sánh các giá trị, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 1, đạt được tại điểm $C$.

A: Là khẳng định toán học chính xác $\to$ Mệnh đề đúng.

B: Đây là câu hỏi $\to$ Không phải mệnh đề.

C: Phương trình có hệ số $a \cdot c = 1 \cdot \left( { - 4} \right) = - 4 < 0$ nên luôn có hai nghiệm trái dấu $\to$ Mệnh đề đúng.

D: Một tam giác chỉ có một góc bằng ${60^ \circ }$ thì chưa đủ điều kiện để là tam giác đều $\to$ Mệnh đề sai.

F: Theo định nghĩa số chẵn luôn chia hết cho 2 $\to$ Mệnh đề đúng.

Tổng cộng có 3 câu là mệnh đề đúng (A, C, F).

Đáp số: 3

Tập hợp hợp $A \cup B$ bao gồm tất cả các phần tử xuất hiện trong cả hai tập hợp (phần tử trùng nhau chỉ viết một lần):

$A \cup B = \left\{ { - 1;0;1;2;4;8;10;12} \right\}$

Tập hợp trên có tổng cộng 8 phần tử.

Đáp số: 8

Áp dụng hệ quả của định lý hàm số cos trong tam giác $ABC$:

${\rm{cos}}A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$

Thay số vào công thức:

${\rm{cos}}A = \frac{{{7^2} + {8^2} - {{13}^2}}}{{2 \cdot 7 \cdot 8}} = \frac{{49 + 64 - 169}}{{112}} = \frac{{ - 56}}{{112}} = - \frac{1}{2} = - 0{,}5$

Đáp số: -0,5

Bước 1: Xét tam giác $ABC$, áp dụng định lý hàm số cos để tính khoảng cách thẳng từ $A$ đến $C$:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot {\rm{cos}}B$

$A{C^2} = {\left( {3{,}6} \right)^2} + {\left( {4{,}2} \right)^2} - 2 \cdot 3{,}6 \cdot 4{,}2 \cdot {\rm{cos}}{140^ \circ }$

$A{C^2} = 12{,}96 + 17{,}64 - 30{,}24 \cdot \left( { - 0{,}766044} \right) \approx 30{,}6 + 23{,}1652 = 53{,}7652$

$\Rightarrow AC = \sqrt {53{,}7652} \approx 7{,}3325{\rm{\;km}}$

Bước 2: Theo hình học sơ đồ thẳng hàng, đoạn thẳng $AC$ được tạo thành từ: $AM + MN + CN$. Do đó:

$MN = AC - AM - CN$

Thay số với $AM = CN = 1{\rm{\;km}}$:

$MN \approx 7{,}3325 - 1 - 1 = 5{,}3325{\rm{\;km}}$

Làm tròn đến hàng phần trăm ta được kết quả: $5{,}33{\rm{\;km}}$.

Đáp số: 5,33

Từ dữ kiện bài toán, lập hệ bất phương trình ràng buộc với điều kiện $x \ge 0,y \ge 0$:

1. Nguyên liệu: $2x + 3y \le 160$

2. Thời gian: $30x + 15y \le 1200 \Rightarrow 2x + y \le 80$

Hàm mục tiêu tính lợi nhuận là: $L\left( {x;y} \right) = 40000x + 30000y$. Miền nghiệm của hệ là đa giác có các đỉnh: $O\left( {0;0} \right)$, $A\left( {40;0} \right)$, $B\left( {0;\frac{{160}}{3}} \right)$ và giao điểm $C\left( {20;40} \right)$ của hai đường ranh giới.

Tính giá trị lợi nhuận tại các đỉnh:

$L\left( O \right) = 0$ đồng

$L\left( A \right) = 40000 \cdot 40 = 1.600.000$ đồng

$L\left( B \right) = 30000 \cdot \frac{{160}}{3} = 1.600.000$ đồng

$L\left( C \right) = 40000 \cdot 20 + 30000 \cdot 40 = 2.000.000$ đồng

Lợi nhuận lớn nhất đạt được tại điểm $C\left( {20;40} \right)$. Tổng khối lượng sản phẩm cần sản xuất là:

$x + y = 20 + 40 = 60{\rm{\;kg}}$

Đáp số: 60

Xét phương trình của tập $A$:

$\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - 7x + m - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - 7x + m - 3 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Giải phương trình (1) được hai nghiệm: $x = 2$ hoặc $x = - 2$. Khi giao với tập số dương $B = \left( {0; + \infty } \right)$, nghiệm $x = - 2$ bị loại, ta giữ lại được nghiệm $x = 2$.

Để tập hợp $A \cap B$ có đúng 3 phần tử, phương trình bậc hai (2) bắt buộc phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 2 (gọi là ${x_1},{x_2}$). Khi đó tập giao là $A \cap B = \left\{ {2;{x_1};{x_2}} \right\}$.

Theo giả thiết, tích của 3 phần tử bằng 24:

$2 \cdot {x_1} \cdot {x_2} = 24 \Rightarrow {x_1} \cdot {x_2} = 12$

Áp dụng định lý Vi-ét cho phương trình (2), tích hai nghiệm là: ${x_1} \cdot {x_2} = m - 3$. Từ đó ta có:

$m - 3 = 12 \Rightarrow m = 15$

Kiểm tra lại: Thay $m = 15$ vào phương trình (2) được ${x^2} - 7x + 12 = 0 \Rightarrow x = 3$ hoặc $x = 4$ (Thỏa mãn 2 nghiệm dương phân biệt và khác 2).

Đáp số: 15