Đề thi giữa kì 1 Toán 10 năm 2024-2025 THCS-THPT Nguyễn Khuyến (TP.HCM) có đáp án

Chọn D

Với ${90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }$ ta có ${\rm{sin}}\alpha > 0$, ${\rm{cos}}\alpha < 0$, ${\rm{tan}}\alpha < 0$, ${\rm{cot}}\alpha < 0$.

Chọn B

Phương án A, C, D: hệ bất phương trình hoặc phương trình chứa ẩn bậc 2 $\to$ Loại.

Chọn A

Xét tam giác $ABC$:

$\hat C = {180^ \circ } - {30^ \circ } - {105^ \circ } = {45^ \circ }$

Theo định lý sin: $\frac{{AB}}{{{\rm{sin}}C}} = 2R \Rightarrow AB = 2R{\rm{sin}}C = 2 \cdot 2 \cdot {\rm{sin}}{45^ \circ } = 2\sqrt 2$.

Chọn C

Dựa vào đồ thị, trên khoảng $\left( {1;2} \right)$ đồ thị đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {1;2} \right)$

Chọn A

Ta có:

Với $x = 0 < 1 \Rightarrow f\left( 0 \right) = {0^2} + 4 = 4$

Với $x = 3 \ge 1 \Rightarrow f\left( 3 \right) = 2 \cdot 3 + 3 = 9$

Vậy $f\left( 0 \right) + f\left( 3 \right) = 4 + 9 = 13$.

Chọn C

Dựa trên hình vẽ lưới ô vuông, có 2 vectơ cùng phương với vectơ $\vec v$ (đó là các vectơ $\vec a$ và $\vec d$).

Chọn D

Sử dụng biểu đồ Ven ta có:

Số bạn chỉ chơi cầu lông là: $25 - 15 = 10$

Số bạn chỉ chơi bóng đá là: $22 - 15 = 7$

Vậy số học sinh chơi ít nhất một trong hai môn thể thao bóng đá và cầu lông là: $7 + 10 + 15 = 32$.

Chọn B

Thay $x = 3$, $y = 3$ vào bất phương trình: $- 3\left( 3 \right) + 5\left( 3 \right) - 6 = - 9 + 15 - 6 = 0 \le 0$ (thỏa mãn).

Chọn B

Vì $x$ và $y$ là số chậu cây, nên chúng phải là các số tự nhiên không âm: $x \ge 0$, $y \ge 0$.

Chi phí mua cây phải không vượt quá ngân sách $2.000.000$ đồng:

$70.000x + 150.000y \le 2.000.000 \Leftrightarrow 7x + 15y \le 200$.

Chọn D

Xác định giao: $A \cap B = \left[ { - 2;2} \right] \cap \left( { - 1; + \infty } \right) = \left( { - 1;2} \right]$

Suy ra: $\left( {A \cap B} \right) \cap \mathbb{Z} = \left( { - 1;2} \right] \cap \mathbb{Z} = \left\{ {0;1;2} \right\}$

Tổng các phần tử là: $0 + 1 + 2 = 3$.

Chọn C

Mô hình hóa bài toán bằng tam giác $ABC$ với $A$ là vị trí máy bay, $B$ và $C$ là vị trí hai người điều khiển, $I$ là hình chiếu của $A$ lên $BC$.

Ta có: $\hat A = {180^ \circ } - \left( {{{40}^ \circ } + {{35}^ \circ }} \right) = {105^ \circ }$

Sử dụng định lý sin trong tam giác $ABC$:

$\frac{{AC}}{{{\rm{sin}}{{40}^ \circ }}} = \frac{{BC}}{{{\rm{sin}}{{105}^ \circ }}} \Leftrightarrow AC = \frac{{1000 \times {\rm{sin}}{{40}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{105}^ \circ }}} \approx 665{,}46{\rm{\;ft}}$

Trong tam giác vuông $AIC$, độ cao $h$ bằng:

$h = AI = AC \cdot {\rm{sin}}{35^ \circ } \approx 665{,}46 \cdot {\rm{sin}}{35^ \circ } \approx 382{\rm{\;ft}}$.

Chọn C

Xác định các giao điểm để tìm tọa độ đỉnh của tứ giác $OABC$:

Giao điểm của $x - y = 0$ và $x + y = 0$ là điểm $O\left( {0;0} \right)$.

Giao điểm của $x - y = 0$ và $x + y - 4 = 0$ là điểm $A\left( {2;2} \right)$.

Giao điểm của $x - y - 2 = 0$ và $x + y - 4 = 0$ là điểm $B\left( {3;1} \right)$.

Giao điểm của $x - y - 2 = 0$ và $x + y = 0$ là điểm $C\left( {1; - 1} \right)$.

Tính giá trị của biểu thức $L = 2x + y$ tại các đỉnh:

Tại $O\left( {0;0} \right)$: $L = 2 \times 0 + 0 = 0$

Tại $A\left( {2;2} \right)$: $L = 2 \times 2 + 2 = 6$

Tại $B\left( {3;1} \right)$: $L = 2 \times 3 + 1 = 7$

Tại $C\left( {1; - 1} \right)$: $L = 2 \times 1 + \left( { - 1} \right) = 1$

Giá trị lớn nhất của biểu thức $L = 2x + y$ là $7$ tại đỉnh $B\left( {3;1} \right)$.

a) Sai. Ta có $A \cup B = \left( { - 2;5} \right]$.

b) Sai. Ta có $B \setminus A = \left( {4;5} \right]$.

c) Sai. Ta có $A \cap \mathbb{Z} = \left\{ { - 1;0;1;2;3;4} \right\}$.

d) Sai. Ta có $A \cap B = \left( {0;4} \right] \Rightarrow {C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right) = \mathbb{R} \setminus \left( {A \cap B} \right) = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left( {4; + \infty } \right)$.

a) Đúng. Hàm số xác định trên đoạn $\left[ { - 4;4} \right]$.

b) Sai. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;1} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( {1;4} \right)$.

c) Sai. Vì đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành, tập giá trị của hàm số đã cho là đoạn $\left[ {1;5} \right]$.

d) Đúng. Do hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1;4} \right)$ nên $f\left( 2 \right) < f\left( 3 \right)$.

a) Sai. Vì ${\rm{cos}}{60^ \circ } = \frac{1}{2}$.

b) Đúng. Áp dụng định lý cosin:

$BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2} - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot {\rm{cos}}A} = \sqrt {{6^2} + {3^2} - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot {\rm{cos}}{{60}^ \circ }} = \sqrt {36 + 9 - 18} = \sqrt {27} = 3\sqrt 3$.

c) Sai. Diện tích $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{sin}}A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \cdot {\rm{sin}}{60^ \circ } = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$.

d) Đúng. $AH = \frac{{2S}}{{BC}} = \frac{{2 \cdot \frac{{9\sqrt 3 }}{2}}}{{3\sqrt 3 }} = 3$.

a) Đúng. Chi phí không quá $900$ triệu: $30x + 6y \le 900$.

b) Sai. Hệ đầy đủ phải bao gồm cả điều kiện ràng buộc của $y$ không quá $50$: $\{ \begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge 10}\\{5x + y \le 150}\\{0 \le y \le 50}\end{array}$.

c) Đúng. Tổng số lần phát quảng cáo là $T = x + y$.

d) Đúng.

Các đỉnh của miền nghiệm:

$D\left( {10;0} \right) \Rightarrow T = 10$

$A\left( {10;50} \right) \Rightarrow T = 60$

$B\left( {20;50} \right) \Rightarrow T = 70$

$C\left( {30;0} \right) \Rightarrow T = 30$

Vậy $T$ lớn nhất bằng $70$ khi $x = 20,y = 50$.

Đáp số: 4

Điều kiện tập $T$ khác rỗng: $a - 2 < 20 \Leftrightarrow a < 22$.

Để $T \subset S$ thì: $a - 2 \ge - 6 \Leftrightarrow a \ge - 4$.

Kết hợp điều kiện suy ra $- 4 \le a < 22$.

Do $a$ là số nguyên âm nên $a \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1} \right\}$.

Vậy có $4$ giá trị thỏa mãn đề bài.

Đáp số: 9

Điều kiện xác định của hàm số:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x - 4 > 0}\\{5 - x \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x > 2}\\{x \le 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 2 < x \le 5$.

Tập xác định $D = \left( {2;5} \right]$. Suy ra $m = 2,n = 5$.

Vậy $2m + n = 2 \cdot 2 + 5 = 9$.

Đáp số: -1

Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ABC$, ta có:

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc{\rm{cos}}A = {7^2} + {5^2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 49 + 25 - 42 = 32 \Rightarrow a = 4\sqrt 2$.

Ta có: ${\rm{si}}{{\rm{n}}^2}A + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}A = 1 \Rightarrow {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}A = 1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}A = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}$.

Vì ${0^ \circ } < A\left\langle {{{180}^ \circ } \Rightarrow {\rm{sin}}A} \right\rangle 0 \Rightarrow {\rm{sin}}A = \frac{4}{5}$.

Diện tích tam giác $ABC$ là: $S = \frac{1}{2}bc{\rm{sin}}A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 14$.

Nửa chu vi tam giác $ABC$ là: $p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{4\sqrt 2 + 7 + 5}}{2} = 6 + 2\sqrt 2$.

Mà $S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{14}}{{6 + 2\sqrt 2 }} = \frac{{14\left( {6 - 2\sqrt 2 } \right)}}{{36 - 8}} = \frac{{14\left( {6 - 2\sqrt 2 } \right)}}{{28}} = \frac{{6 - 2\sqrt 2 }}{2} = 3 - \sqrt 2$.

Do đó $a = 3,b = 2 \Rightarrow a - 2b = 3 - 2 \cdot 2 = - 1$.

Đáp số: 344020

Gọi $y$ (đồng) là số tiền bạn Bình phải trả cho chuyến đi ứng với quãng đường $x$ (${\rm{km}}$).

Khi đó ta có hàm số biểu thị số tiền phải trả cho quãng đường mà bạn Bình cần di chuyển là:

$y = \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{5000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,0 < x \le 0{,}3}\\{5000 + \left( {x - 0{,}3} \right) \cdot 20600\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,0{,}3 < x \le 2}\\{5000 + 20600 \cdot 1{,}7 + \left( {x - 2} \right) \cdot 16000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,2 < x \le 10}\\{5000 + 20600 \cdot 1{,}7 + 8 \cdot 16000 + \left( {x - 10} \right) \cdot 17600\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,10 < x \le 25}\\{5000 + 20600 \cdot 1{,}7 + 8 \cdot 16000 + 15 \cdot 17600 + \left( {x - 25} \right) \cdot 15100\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,{\rm{\;}}x > 25}\end{array}} \right.$.

Rút gọn ta được:

$y = \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{5000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,0 < x \le 0{,}3}\\{20600x - 1180\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,0{,}3 < x \le 2}\\{16000x + 8020\,\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,2 < x \le 10}\\{17600x - 7980\,\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,10 < x \le 25}\\{15100x + 54520\,\,\,{\rm{khi}}\,{\rm{\;}}x > 25}\end{array}} \right.$.

Vậy số tiền bạn Bình phải trả cho quãng đường $20{\rm{\;km}}$ từ trường về nhà là:

$17600 \cdot 20 - 7980 = 344020$ đồng.

Đáp số: 57

Do hai tàu cùng đến đảo một lúc nên ta đặt thời gian đi của hai tàu là $t\left( {\rm{h}} \right)$ và vận tốc của tàu từ $B$ là $v\left( {{\rm{km/h}}} \right)$

Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABC$, ta có:

$\frac{{AC}}{{{\rm{sin}}\hat B}} = \frac{{BC}}{{{\rm{sin}}\hat A}} \Leftrightarrow \frac{{80 \cdot t}}{{{\rm{sin}}{{45}^ \circ }}} = \frac{{v \cdot t}}{{{\rm{sin}}{{30}^ \circ }}} \Leftrightarrow v = \frac{{80 \cdot {\rm{sin}}{{30}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{45}^ \circ }}} = \frac{{80 \cdot \frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{40}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 40\sqrt 2 \approx {\rm{\;}}57\left( {{\rm{km/h}}} \right)$.

Vậy tàu 2 cần chuyển động với vận tốc làm tròn đến hàng đơn vị là $57\left( {{\rm{km/h}}} \right)$.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y - 4 \le 0}\\{x - y + 4 \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}\,\,\left( 1 \right)} \right.$.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) là miền trong của tam giác $ABC$ (kể cả bờ) trong đó $A\left( {0;4} \right)$, $B\left( { - 4;0} \right)$ và $C\left( {4;0} \right)$, và tam giác $ABC$ có diện tích là $16$.

Để miền nghiệm của hệ bất phương trình ban đầu là một miền tứ giác thì đường thẳng $y = \frac{a}{b}$ phải cắt hai cạnh $AB$ và $AC$, tức là $0 < y = \frac{a}{b} < 4$.

Khi đó, miền nghiệm của bất phương trình được là hình thang $BCC{\rm{'}}B{\rm{'}}$ (với $B{\rm{'}},C{\rm{'}}$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $y = \frac{a}{b}$ với $AB$ và $AC$).

Đặt $k$ là tỉ số đồng dạng giữa tam giác $AB{\rm{'}}C{\rm{'}}$ và tam giác $ABC$.

Khi đó: ${S_{BCC{\rm{'}}B{\rm{'}}}} = {S_{ABC}} - {S_{AB{\rm{'}}C{\rm{'}}}} = {S_{ABC}} - {k^2}{S_{ABC}}$

$\Leftrightarrow \frac{{80}}{9} = 16 - 16{k^2} \Rightarrow 16{k^2} = 16 - \frac{{80}}{9} = \frac{{64}}{9} \Rightarrow {k^2} = \frac{4}{9} \Rightarrow k = \frac{2}{3}$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $B{\rm{'}}C{\rm{'}}$, suy ra khoảng cách từ $A$ đến $B{\rm{'}}C{\rm{'}}$ là $AH$, và khoảng cách từ $A$ đến $BC$ là $AO = 4$.

Ta có: $\frac{{AH}}{{AO}} = k = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{AO - OH}}{{AO}} = 1 - \frac{{OH}}{{AO}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{OH}}{{AO}} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow OH = \frac{1}{3}AO = \frac{4}{3}$.

Vì đường thẳng $B{\rm{'}}C{\rm{'}}$ có phương trình $y = \frac{a}{b}$ nên khoảng cách từ nó đến trục hoành chính là $OH = \frac{a}{b} = \frac{4}{3}$.

Do $a,b \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}$ và $\frac{4}{3}$ là phân số tối giản nên $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = 4}\\{b = 3}\end{array}} \right.$.

Vậy $a + b = 4 + 3 = 7$.