Đề thi giữa kì 1 Toán 10 năm 2024-2025 TH-THCS-THPT Lê Thánh Tông (TP.HCM) có đáp án

Đáp án đúng là D

Ta kiểm tra $\left( {0;1} \right)$$\Rightarrow 0 + 1 < 1$ (sai). Nên $\left( {0;1} \right)$ không là nghiệm của $2x + y < 1$

Đáp án đúng là B

Ta kiểm tra $N\left( { - 1;1} \right)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 + 3 - 2 \ge 0\\ - 2 + 1 + 1 \le 0\end{array} \right.$ (đúng) $\Rightarrow N\left( { - 1;1} \right)$ là nghiệm của $\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 2 \ge 0\\2x + y + 1 \le 0\end{array} \right.$

Đáp án đúng là C

Ta có: $AC:y = x + 2$, $BC:x = 2$

Các tọa độ đỉnh của tam giác $ABC$ là $A\left( { - 2;0} \right)$, $B\left( {2;0} \right)$, $C\left( {2;4} \right)$

Với $F\left( { - 2;0} \right) = - 40$; $F\left( {2;0} \right) = 40$; $F\left( {2;4} \right) = 220$

Giá trị nhỏ nhất là $- 40$ ; giá trị lớn nhất là $220$

Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất là: $- 40 + 220 = 180$

Đáp án đúng là C

Xét $\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\x\left( {x - y} \right) + y\left( {1 + x} \right) \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\{x^2} - xy + y + xy \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\{x^2} + y \le 0\end{array} \right.$ không phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án đúng là A

Sau 2 giờ ca nô $B$ đi được quãng đường có độ dài $AB = 2.20 = 40$ (hải lý) và ca nô $C$ đi được quãng đường có độ dài $AC = 5.25 = 50$ (hải lý).

Khoảng cách của hai ca nô sau 2 giờ bằng độ dài đoạn $BC$.

Áp dụng định lý cô - sin trong tam giác $ABC$ có

$$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A$$

$$\Leftrightarrow B{C^2} = {40^2} + {50^2} - 2.40.50.\cos 60^\circ$$

$\Leftrightarrow B{C^2} = 2100 \Leftrightarrow BC = \sqrt {2100} \approx 46$.

Vậy sau 2 giờ hai ca nô cách nhau một khoảng xấp xỉ 46 hải lý.

Đáp án đúng là C

Có 3 vectơ khác vectơ - không, cùng hướng với vectơ $\overrightarrow {AB}$ và có điểm đầu, điểm cuối được lấy từ các điểm đã cho là: $\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {MC} ,\overrightarrow {DM}$.

Đáp án đúng là B

Vì điểm $A\left( {1;1} \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left( * \right)$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}1 + 1 - m \ge 0\\3.1 + 1 + 2m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\m \ge - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le m \le 2$.

Hay $m \in \left[ { - 2;2} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b = - 2 + 2 = 0$.

Đáp án đúng là B

$\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {DN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$

Đáp án đúng là D

Từ hình vẽ ta có điểm $A\left( { - 1;1} \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ phương trình.

 $- 1 > 0$ vô lý nên loại câu $A,C$.

 $3.\left( { - 1} \right) + 2.1 < - 6$ vô lý nên loại câu $B$.

Đáp án đúng là D

$\widehat {AOB} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {OBC} = 120^\circ$.

Trong tam giác,

$OC = \sqrt {O{B^2} + B{C^2} - 2.OB.BC.\cos \widehat {OBC}} = \sqrt {{{400}^2} + {{600}^2} - 2.400.600.\cos 120^\circ } \approx 872$.

$\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC \approx 872N$.

Vì tam giác $ABC$ đều nên có đường cao $AH$ đồng thời là đường trung tuyến.

a) Đúng.

Ta có $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 2$.

Mà tam giác $ABC$ đều nên $AB = BC = AC = 2$.

b) Sai.

Ta có $AH = AC.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3$

Mà $\left| {\overrightarrow {AH} - \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BH} } \right| = \frac{1}{2}BC = 1$

c) Sai

Vì G là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA} \\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| { - \overrightarrow {GA} } \right| = GA\\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right| = \frac{2}{3}AH = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\end{array}$

d) Sai

Ta có $\left| {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {BM} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = 2$(1)

$\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right| = \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = AM$ (2)

Từ $(1)$và $\left( 2 \right) \Rightarrow AM = 2$.

Tập hợp điểm M nằm trên đường tròn tâm A, bán kính bằng 2.

Độ dài đoạn $GM$nhỏ nhất khi $A,G,M$thẳng hàng $\Rightarrow GM = AM - AG = 2 - \frac{{2\sqrt 3 }}{3} = \frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3}$.

a) Đúng.

b) Sai.

c) Đúng.

Xét đường thẳng $d:ax + by + 4 = 0$. Vì $d$đi qua điểm $\left( {0;2} \right)$ và $\left( { - 4;0} \right)$nên $\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow x - 2y + 4 = 0$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b = - 1$

d) Sai.

Xét hệ $\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\y \ge 0\\x - 2y + 4 \ge 0\end{array} \right.$.

Miền nghiệm của hệ là tam giác $AOB$ với $O\left( {0;0} \right),A\left( {0;2} \right);B\left( { - 4;0} \right)$.

${T_{\left( O \right)}} = - 1;{T_{\left( A \right)}} = 23;{T_{\left( B \right)}} = - 41$. Vậy ${T_{{\rm{max}}}} = 23$.

a) Đúng.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2 \ge 0\\2 \ge 0\\2 - 2 = 0 \le 3\\2 + 2 = 4 \le 5\end{array} \right.$ suy ra cặp số $\left( {2\,;\,2} \right)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình.

b) Sai.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}4 \ge 0\\2 \ge 0\\4 - 2 = 2 \le 3\\4 + 2 = 6 \ge 5\end{array} \right.$ suy ra cặp số $\left( {4\,;\,2} \right)$ không phải là nghiệm của hệ bất phương trình.

Vậy việc sản xuất được $4$ tấn sản phẩm loại I và $2$ tấn sản phẩm loại II trong tháng không phù hợp với bài toán kinh tế của doanh nghiệp.

c) Sai.

Ta thấy cặp số $\left( {3\,;\,0} \right)$ là nghiệm của hệ bất phương trình trong khi điểm $M\left( {3\,;\,0} \right)$ không nằm trong phần không được tô đậm trong hình biểu diễn.

d) Sai.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên ta được:

Lợi nhuận của doanh nghiệp được tính theo công thức $L = 650x + 415y$.

Ta có lợi nhuận tối đa của doanh nghiệp đạt được tại các đỉnh của hình tứ giác biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Ta có các đỉnh là: $O\left( {0\,;\,0} \right),A\left( {3;0} \right),B\left( {4;1} \right),C\left( {0;5} \right)$.

Vậy lợi nhuận lớn nhất mà doanh nghiệp đạt được là: $4.650 + 1.415 = 3015$ (triệu đồng).

Đáp số: 10.

Ta có $\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} \Leftrightarrow \cos A = \frac{{{4^2} + {5^2} - {6^2}}}{{2.4.5}} \Leftrightarrow \cos A = \frac{1}{8}$ suy ra$a = 1,b = 8$.

Vậy: $2a + b = 2.1 + 8 = 10$.

Đáp số:$- 1$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x\left( {ay + 1} \right) + y\left( {x - 1} \right) - 3 > 0\\2x + y\left( {by + 2} \right) + 5 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}axy + x + xy - 3 > 0\\2x + b{y^2} + 2y + 5 \ge 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 1} \right)xy + x - 3 > 0\\2x + b{y^2} + 2y + 5 \ge 0\end{array} \right.$

Suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 0\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 0\end{array} \right.$

Suy ra: là $a + b = - 1$.

Đáp số: 60.

Để giữ cho vật không trượt xuống, lực $\overrightarrow F$ phải cân bằng với thành phần của trọng lực $\overrightarrow P$ theo hướng song song với mặt phẳng dốc.

Ta có: $\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow P } \right|.\sin 30^\circ = 120.\sin 30^\circ = 60N$.

a) Chứng minh rằng: $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0$

Ta có : $VT = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = VP$

b) Tìm điểm M thỏa mãn: $\overrightarrow {MD} - \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {OM}$

Ta có: $\overrightarrow {MD} - \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {OM} \Leftrightarrow \overrightarrow {MD} - \overrightarrow {CM} - \overrightarrow {OM} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {OB}$

$$\Leftrightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MO} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {OB}$$

Gọi G là trọng tâm của tam giác DCO, khi đó

$\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MO} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {OB} \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BO} = 2\overrightarrow {BK}$ với K là trung điểm của OC.

Vậy $3\overrightarrow {MG} = 2\overrightarrow {BK} \Rightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BK}$, $M$ là điểm thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BK}$.

a) Viết hệ bất phương trình theo $x,y$.

Gọi:

Từ đề bài, ta có các thông tin sau:

1.Máy M1:

Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại X, cần 3 giờ làm việc của máy M1.

Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại Y, cần 1 giờ làm việc của máy M1.

Máy M1 không làm việc quá 6 giờ mỗi ngày.

Do đó, thời gian sử dụng máy M1 được biểu diễn bằng phương trình: $3x + 1y \le 6$

2.Máy M2:

Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại X, cần 1 giờ làm việc của máy M2.

Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại Y, cần 1 giờ làm việc của máy M2.

Máy M2 không làm việc quá 4 giờ mỗi ngày.

Thời gian sử dụng máy M2 được biểu diễn bằng phương trình: $1x + 1y \le 4$

Ngoài ra, $x \ge 0$ và $y \ge 0$ (khối lượng sản phẩm không thể âm).

Hệ bất phương trình là:

$$\left\{ \begin{array}{l}3x + 1y \le 6\\1x + 1y \le 4\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.$$

b) Biểu diễn miền nghiệm

Miền nghiệm là phần tô đậm trong hình vẽ