Đề thi giữa kì 1 Toán 10 năm 2023-2024 THPT Phúc Lợi (Hà Nội) có đáp án

Chọn D

Ta có: $\widehat {MNB} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$$\Rightarrow \widehat {MBN} = 180^\circ - 135^\circ - 30^\circ = 15^\circ$.

Áp dụng định lý sin trong tam giác $MNB$ ta có:

$\frac{{BM}}{{\sin \widehat {MNB}}} = \frac{{MN}}{{\sin \widehat {MBN}}}$$\Leftrightarrow \frac{{BM}}{{\sin 135^\circ }} = \frac{{400}}{{\sin 15^\circ }}$$\Leftrightarrow BM = \frac{{400.\sin 135^\circ }}{{\sin 15^\circ }} = 400\left( {\sqrt 3 + 1} \right)$.

Tam giác $MAB$ vuông tại $A$ có cạnh góc vuông $AB$ đối diện góc $30^\circ$ nên chiều cao

$AB = \frac{1}{2}BM$$= 200\left( {\sqrt 3 + 1} \right) \approx 546\,m$.

Chọn D

+ Với $x = - 2,y = - \frac{4}{5}$ ta có $2\left( { - 2} \right) - 5\left( { - \frac{4}{5}} \right) + 1 \ge 0 \Leftrightarrow 1 \ge 0$ là mệnh đề đúng $\Rightarrow {M_1}\left( { - 2; - \frac{4}{5}} \right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Chọn C

+ Áp dụng định lý sin ta có $\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Leftrightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin {{30}^0}}} = BC = 7.$

Chọn A

+ Ta có hàm số xác định khi $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x + 4 \ge 0}\\{3x - 1 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x \ge - 4}\\{x \ne \frac{1}{3}}\end{array}} \right.$.

Chọn D

+ Ta có $A = \frac{{2\sin \alpha - 3\cos \alpha }}{{4\sin \alpha + \cos a}} = \frac{{cosx\left( {2\tan x - 3} \right)}}{{cosx\left( {4\tan x + 1} \right)}} = \frac{{2\tan x - 3}}{{4\tan x + 1}} = \frac{{2.4 - 3}}{{4.4 + 1}} = \frac{5}{{17}}.$

Chọn D

+ Ta có $X = \left\{ {x \in Z\left| {\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {2{x^2} - 7x + 5} \right) = 0} \right.} \right\} = \left\{ { - 6, - 2{,}1{,}2} \right\} \Rightarrow S = - 5.$

Chọn A

+ Đặt $A=''\forall x\in ℝ:{x}^{2}+2x+2<0''\Rightarrow \overline{A}="\exists x\in ℝ:{x}^{2}+2x+2\ge 0".$

Chọn B

+ Dùng MTCT

Chọn C

Ta thấy $A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 \le 1\\m - 10 \ge 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le 3\\m \ge 16\end{array} \right.$

Suy ra $A \cap B \ne \emptyset \Leftrightarrow 3 < m < 16$. Lại có $m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ {4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15} \right\}$

Vậy có 12 giá trị nguyên của $m$ để

.

Chọn A

+ Vì $\left[ { - 1;6} \right] \cap \left( {6;10} \right) = \emptyset .$

Chọn B

+ Từ ${\sin ^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 \Rightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$ vì $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

Chọn D

+ Ta có diện tích tam giác $ABC$ là $S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}8.3.\sin 120^\circ = 6\sqrt 3 .$

Chọn A

+ Vì điểm $O\left( {0;0} \right)$ thuộc miền nghiệm của cả ba bất phương trình trong hệ.

Chọn A

+ Ta có $A \cap B = \left\{ { - 2;4;9} \right\}.$

Chọn C

+ Ta có hàm số xác định khi $5 - x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 5.$ Vậy tập xác định của hàm số là : $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}$

Chọn D

+ Ta thấy điểm $O\left( {0;0} \right)$thuộc miền nghiệm của bất phường trình $3x - 2y \ge - 6$ và đường thẳng $d:3x - 2y = - 6$cắt trục $Oy$ tại $\left( {0;3} \right).$

Chọn C

+ Áp dụng định lý sin ta có $\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Rightarrow AC = \frac{{5.\sin 60^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}.$

Chọn C

+ Vì với $x = - 1 \in \mathbb{Z}$ mệnh đề đúng.

Chọn B

Gọi $x$(xe), $y$(xe) lần lượt là số xe loại A và loại B cần phải thuê. Số tiền cần bỏ ra để thuê xe là: $f\left( {x;y} \right) = 4x + 3y$ (triệu đồng)

Ta có $x$ xe loại A và $y$ xe loại B sẽ chở được $20x + 10y$ thùng sơn và $0{,}5x + 2y$ tấn bột bả.

Theo đề bài, ta có hệ bất phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 9\\0 \le y \le 8\\20x + 10y \ge 120\\0{,}5x + 2y \ge 6{,}5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 9\\0 \le y \le 8\\2x + y \ge 12\\x + 4y \ge 13\end{array} \right.$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là tứ giác $ABCD$(kể cả biên) với $A\left( {5;2} \right),B\left( {9;1} \right)$, $C\left( {9;8} \right)$, $D\left( {2;8} \right)$ như hình vẽ

Ta có: $f\left( {5;2} \right) = 26$; $f\left( {9;1} \right) = 39$; $f\left( {9;8} \right) = 60$; $f\left( {2;8} \right) = 32$

Suy ra $f\left( {x;y} \right)$ nhỏ nhất khi $\left( {x;y} \right) = \left( {5;2} \right)$

Vậy để chi phí thuê là thấp nhất thì cần thuê $5$ xe loại A và $2$ xe loại B.

Chọn B

+ Ta có hàm số xác định khi $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x + 4 > 0}\\{7 - 2x \ge 0}\\{{x^2} - 6x + 5 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x > - 4}\\{x \le \frac{7}{2}}\\{x \ne 1,x \ne 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \in \left( { - 4;\frac{7}{2}} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}.$

Ta có: $- 5 \le x \le 3$ mà $x \in \mathbb{N}$ nên $A = \left\{ {0;1;2;3} \right\}$

Ta có: $\left( {2x - 3{x^2}} \right)\left( {{x^2} - x - 2} \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 3{x^2} = 0\\{x^2} - x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{2}{3}\\x = - 1\\x = 2\end{array} \right.$ Mà $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow B = \left\{ { - 1;0;2} \right\}$.

Ta có: $A \cap B = \left( { - 5;3} \right] \Rightarrow$ ${C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right) = \mathbb{R}\backslash \left( { - 5;3} \right] = \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left( {3; + \infty } \right).$

a) Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}5 - 2x \ge 0\\1 + 3x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{5}{2}\\x \ge - \frac{1}{3}\end{array} \right.$.

Vậy tập xác định $D = \left[ { - \frac{1}{3};\frac{5}{2}} \right]$.

b) Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}x + 4 \ge 0\\{x^2} + 3x - 10 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 4\\x \ne - 5\\x \ne 2\end{array} \right.$.

Vậy tập xác định $D = \left[ { - 4; + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}$.

1) Từ ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha = {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\Rightarrow \sin \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$ vì ${90^0} < \alpha < {180^0}$.

Khi đó: $P = \sqrt 5 \sin \alpha + \cos \alpha \, = \sqrt 5 .\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right) + \left( { - \frac{2}{3}} \right) = 1$

2) a) dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\, = {4^2} + {9^2} - 2.4.9.\cos {60^0} = 61$. Vậy $BC = \sqrt {61}$.

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow a = 2R\sin A = 2.4.\sin {45^0} = 4\sqrt 2$.

$\frac{b}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow b = 2R\sin B = 2.4.\sin {30^0} = 4$. $\widehat {ACB} = {180^0} - \left( {\widehat {BAC} + \widehat {ABC}} \right) = {180^0} - \left( {{{30}^0} + {{45}^0}} \right) = {105^0}$.

Khi đó: $S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}.4.4\sqrt 2 .\sin {105^0} = 4 + 4\sqrt 3$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a,\,b,c > 0\\{a^3} = {b^3} + {c^3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < b < a\\0 < c < a\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < \frac{b}{a} < 1\\0 < \frac{c}{a} < 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\frac{b}{a}} \right)^3} < {\left( {\frac{b}{a}} \right)^2}\\{\left( {\frac{c}{a}} \right)^3} < {\left( {\frac{c}{a}} \right)^2}\end{array} \right.$

$\Rightarrow {\left( {\frac{b}{a}} \right)^3} + {\left( {\frac{c}{a}} \right)^3} < {\left( {\frac{b}{a}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{a}} \right)^2} \Rightarrow \frac{{{b^3} + {c^3}}}{{{a^3}}} < \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}}$

$\Rightarrow 1 < \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}} \Rightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} > 0 \Rightarrow \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} > 0$

Suy ra góc $\widehat {BAC}$ nhọn.

${a^3} = {b^3} + {c^3} = \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} - bc + {c^2}} \right) > a\left( {{b^2} - bc + {c^2}} \right)$ $\Rightarrow {a^2} > {b^2} - bc + {c^2} \Rightarrow \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} < \frac{1}{2} \Rightarrow \cos A < \cos {60^0}$

Vậy $\widehat {BAC} > {60^0}$.