Đề thi Cuối kì 2 Toán 8 phòng GD&ĐT Thạch Thất (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án

a) $- 6x + 16 = 0$

$$6x = 16$$

$$x = \frac{8}{3}.$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = \frac{8}{3}.$

b) $4\left( {x - 1} \right) - 6 = - 8$

$$4x - 4 - 6 = - 8$$

$$4x = 4 + 6 - 8$$

$$4x = 2$$

$$x = \frac{1}{2}.$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = \frac{1}{2}.$

c) $5\left( {x - 3} \right) - 4 = 2\left( {x - 1} \right) + 7$

$5x - 15 - 4 = 2x - 2 + 7$

$5x - 19 = 2x + 5$

$5x - 2x = 19 + 5$

$3x = 24$

$x = 8$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = 8$.

Nửa chu vi của mảnh vườn là: $56:2 = 28\,\,{\rm{(m)}}{\rm{.}}$

Gọi $x\,\,{\rm{(m)}}$ là chiều dài ban đầu của mảnh vườn hình chữ nhật $\left( {0 < x < 28} \right).$

Khi đó chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật là: $28 - x\,\,{\rm{(m)}}$.

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là: $x\left( {28 - x} \right)\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Chiều dài của mảnh vườn sau khi tăng là: $x + 4\,\,{\rm{(m)}}$.

Chiều rộng của mảnh vườn sau khi giảm là: $28 - x - 2 = 26 - x\,\,{\rm{(m)}}{\rm{.}}$

Diện tích mảnh vườn sau khi thay đổi là: $\left( {x + 4} \right)\left( {26 - x} \right)\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Vì diện tích mảnh vườn sau khi thay đổi tăng $8\,\,{{\rm{m}}^2}$ nên ta có phương trình:

$x\left( {28 - x} \right) + 8 = \left( {x + 4} \right)\left( {26 - x} \right)\,$

$28x - {x^2} + 8 = 104 + 22x - {x^2}$

$28x + 8 = 104 + 22x$

$28x - 22x = 104 - 8$

$6x = 96$

$x = 16$ (TMĐK)

Vậy chiều dài ban đầu của mảnh vườn là 16 m.

a) Xét $\Delta OAB$ và $\Delta MEB$ có: $\widehat {AOB} = \widehat {EMB} = 90^\circ$; $\widehat {OBA}$ chung.

Do đó (g.g).

b) Xét $\Delta AMN$ và $\Delta AOB$ có: $\widehat {AMN} = \widehat {AOB} = 90^\circ$; $\widehat {MAN}$ chung.

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{{AM}}{{AO}} = \frac{{AN}}{{AB}}$, do đó $AN \cdot AO = AM \cdot AB$.

c) Vì $\frac{{AM}}{{AO}} = \frac{{AN}}{{AB}}$ (cmt) nên $\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AO}}{{AB}}$.

Xét $\Delta AOM$ và $\Delta ABN$ có: $\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AO}}{{AB}}$; $\widehat {MAN}$ chung.

Do đó (c.g.c).

Suy ra $\widehat {AOM} = \widehat {ABN}$ (hai góc tương ứng).

Xét $\Delta EBA$ có $AO,\,\,EM$ là đường cao (vì $AO \bot BE;\,\,EM \bot AB)$

Suy ra $N$ là trực tâm của $\Delta EBA$ nên $BF \bot AE$ hay $\widehat {AFN} = 90^\circ$.

Xét $\Delta AFN$ và $\Delta AOE$ có: $\widehat {AFN} = \widehat {AOE} = 90^\circ$; $\widehat {NAF}$ chung.

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{{AF}}{{AN}} = \frac{{AO}}{{AE}}$ nên $\frac{{AF}}{{AO}} = \frac{{AN}}{{AE}}$.

Xét $\Delta AOF$ và $\Delta AEN$ có: $\frac{{AF}}{{AO}} = \frac{{AN}}{{AE}}$; $\widehat {NAF}$ chung.

Do đó (c.g.c).

Suy ra $\widehat {AOF} = \widehat {AEN}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat {AEN} = \widehat {ABF}$ (cùng phụ $\widehat {BAF}\,)$và $\widehat {AOM} = \widehat {ABF}$ (cmt).

Suy ra $\widehat {AOM} = \widehat {AOF}$.

Vậy $OA$ là tia phân giác $\widehat {FOM}$.