Đề thi cuối kì 2 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 04

Đáp án đúng là: B

Ta có $\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_2^1 {f\left( x \right)dx} = - \left( { - 2} \right) = 2$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^4 = F\left( 4 \right) - F\left( 1 \right) = 2 - 3 = - 1$.

Đáp án đúng là: D

$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}$.

Đáp án đúng là: D

$S = \int\limits_1^e {\left| {\ln x} \right|dx} = \int\limits_1^e {\ln xdx}$.

Đáp án đúng là: A

$\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2;3;1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Đáp án đúng là: A

$\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {0; - 1;4} \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow u = \left( {3; - 1;5} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = - 1 - t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: B

$P\left( {B|A} \right)$ gọi là xác suất của $B$ với điều kiện $A$ .

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {MN} = \left( {4;6;2} \right) = 2\left( {2;3;1} \right)$.

Đường thẳng $MN$ đi qua $M\left( {1; - 1; - 1} \right)$ và nhận $\overrightarrow u = \left( {2;3;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 + 3t\\z = - 1 + t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 1;2;1} \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\left( d \right)$ và $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;0} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Ta có $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + 2.\left( { - 1} \right) + 1.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left( {d,\left( P \right)} \right) = 60^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Suy ra $I\left( {3;1;0} \right)$.

Có $IA = \sqrt {{{\left( {5 - 3} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 6$.

Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I\left( {3;1;0} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 6$ có phương trình là:

${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 6$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0{,}6.0{,}75 + 0{,}4.0{,}5 = 0{,}65$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Có $F'\left( x \right) = f\left( x \right) = {\tan ^2}x$.

b) Có ${\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$.

c) $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {{{\tan }^2}x} dx = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx}$.

d) $F\left( x \right) = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} = \tan x - x + C$.

Có $F\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0$. Do đó $F\left( x \right) = \tan x - x$.

Suy ra $F\left( \pi \right) = \tan \pi - \pi = - \pi$.

a) S, b) S, c) S, d) Đ

a) Ta có $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 2z + 5 = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9$.

Suy ra mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {3; - 2;1} \right)$ và bán kính $R = 3$.

b) Ta có $OI = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {14} > 3$.

Do đó điểm $O$ nằm ngoài mặt cầu.

c)

Ta có $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{3^2} - {2^2}} = \sqrt 5$.

d) Vì $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa trục $Ox$ nên $\left( P \right)$ có dạng $ay + bz = 0\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)$.

Vì $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt 5$ nên $\frac{{\left| { - 2a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt 5$$\Leftrightarrow \left| { - 2a + b} \right| = \sqrt 5 \sqrt {{a^2} + {b^2}}$$\Leftrightarrow 4{a^2} - 4ab + {b^2} = 5\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$

$\Leftrightarrow {a^2} + 4ab + 4{b^2} = 0$$\Leftrightarrow {\left( {a + 2b} \right)^2} = 0$$\Leftrightarrow a = - 2b$.

Chọn $b = 1 \Rightarrow a = - 2$. Do đó $\left( P \right): - 2y + z = 0 \Leftrightarrow 2y - z = 0$.

Trả lời: 5

Ta có ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 4z + m = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 6 - m$.

Để phương trình trên là phương trình mặt cầu thì $6 - m > 0 \Leftrightarrow m < 6$.

Vì $m$nguyên dương nên $m \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$.

Vậy có 5 giá trị thỏa mãn.

Trả lời: 4

Tập hợp các kết quả làm cho biến cố $B$ xảy ra là $B = \left\{ {\left( {4;1} \right);\left( {4;2} \right);\left( {4;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {4;5} \right);\left( {4;6} \right)} \right\}$.

Trong 6 kết quả đồng khả năng xảy ra này thì có 4 kết quả $\left( {4;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {4;5} \right);\left( {4;6} \right)$ là thuận lợi cho biến cố $A$.

Trả lời: 0,5

Ta có $P\left( {B|A} \right) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}$.

Trả lời: 0,03

Gọi biến cố $A$: “Người được chọn mắc bệnh X”;

Biến cố B: “Người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y”.

Theo đề ta có $P\left( A \right) = 0{,}002 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0{,}998;P\left( {B|A} \right) = 1;P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}06$.

Xác suất để người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y là:

$P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}002.1 + 0{,}998.0{,}06 = 0{,}06188$.

Xác suất để người đó bị mắc bệnh X với điều kiện có phản ứng dương tính với xét nghiệm X là

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}002.1}}{{0{,}06188}} \approx 0{,}03$.

Giả sử $M\left( {a;{a^2}} \right)$. Suy ra đường thẳng $OM$ có phương trình là $y = ax$.

Diện tích mảnh vườn nhỏ là $S = \int\limits_0^a {\left| {ax - {x^2}} \right|dx} = \int\limits_0^a {\left( {ax - {x^2}} \right)dx} = \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \left. {\left( {\frac{{a{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^a = \frac{9}{2}$$\Leftrightarrow \frac{{{a^3}}}{6} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow a = 3$.

Khi đó $M\left( {3;9} \right)$. Do đó $OM = \sqrt {{3^2} + {9^2}} = 3\sqrt {10}$.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {3;2;5} \right)$ và bán kính $R = 6$.

Ta có $IE = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} = \sqrt 6 < R$, suy ra điểm $E$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$, $A$ và $B$ là hai giao điểm của $\Delta$ với $\left( S \right)$.

Khi đó, $AB$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow d\left( {J,\Delta } \right)$ lớn nhất ($J$ là tâm đường tròn giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$), mà $d\left( {J,\Delta } \right) \le EJ$.

Do đó $AB$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow AB \bot HE$ mà $AB \bot IH$ nên $AB \bot \left( {HIE} \right) \Rightarrow AB \bot IE$.

Suy ra $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,EI} \right] = \left( {5; - 5;0} \right) = 5\left( {1; - 1;0} \right)$.

Vậy phương trình của đường thẳng $\Delta$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 3\end{array} \right.$.

a) Ta có $P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$.

Ta có $P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0{,}8.0{,}7 + 0{,}2.0{,}45 = 0{,}65$.

b) Theo công thức Bayes, ta có $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}8.0{,}7}}{{0{,}65}} = \frac{{56}}{{65}}$.