Đề thi cuối kì 2 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 03

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int {\ln xdx} = F\left( x \right) + C$$\Rightarrow F'\left( x \right) = \ln x$.

Đáp án đúng là: D

$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx}$$\Rightarrow \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx - \int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx} } = 10 - 4 = 6$.

Đáp án đúng là: B

Phương trình hoành độ giao điểm: $2x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

Suy ra $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx}$.

Đáp án đúng là: C

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$ với ${A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0$.

Do đó phương trình ở đáp án C là phương trình mặt phẳng.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng ở câu A có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1; - 2;5} \right) = - \left( {1;2; - 5} \right) = - \overrightarrow u$.

Do đó vectơ $\overrightarrow u = \left( {1;2; - 5} \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - t\\y = - 1 - 2t\\z = 5t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: B

Thay tọa độ điểm $M\left( {1;2;0} \right)$ vào phương trình đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}$ ta được

$\frac{{1 - 1}}{2} = \frac{{2 - 2}}{1} = \frac{0}{{ - 2}} = 0$. Do đó điểm $M\left( {1;2;0} \right) \in d$.

Đáp án đúng là: D

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {4; - 1;0} \right)$, bán kính R = 4.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\int {\left( {{e^x} + {e^{ - 2x}}} \right)dx} = {e^x} - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + C$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $S = \int\limits_1^2 {\left| {{{\left( {x - 2} \right)}^2} - 1} \right|dx}$$= \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|dx}$$= \int\limits_1^2 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx}$$= \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} - 3x} \right)} \right|_1^2$

$= - \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0{,}6.0{,}7 + 0{,}4.0{,}4 = 0{,}58$.

Đáp án đúng là: A

Có $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}3.0{,}25}}{{0{,}4}} = 0{,}1875$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow n = \left( {3; - 1;2} \right)$.

b) Thay tọa độ điểm $A\left( {1;0;0} \right)$ vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ ta được $3.1 - 0 + 2.0 - 1 = 2 \ne 0$.

Suy ra $A \notin \left( P \right)$.

c) Ta có $d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 1.1 + 2.2 - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{{5\sqrt {14} }}{{14}}$.

d) Vì mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ nên mặt phẳng cần tìm có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {3; - 1;2} \right)$ và đi qua $H\left( {0; - 3;2} \right)$.

Suy ra $3\left( {x - 0} \right) - \left( {y + 3} \right) + 2\left( {z - 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow 3x - y + 2z - 7 = 0$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 5, biết rằng xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 2 chấm, là xác suất có điều kiện $P\left( {A|B} \right)$.

b) Không gian mẫu có số phần từ là 36.

Biến cố $A \cap B$ chỉ có kết quả thuận lợi là xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 2 chấm và xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt 3 chấm nên $P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{36}}$.

c) Có 6 khả năng xảy ra khi xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 2 chấm là $P\left( B \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}$.

d) Ta có $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{1}{{36}}:\frac{1}{6} = \frac{1}{6}$.

Trả lời: 12

Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} - 4x + 1} \right)dx} = {x^3} - 2{x^2} + x + C$.

Mà $F\left( 2 \right) = 2$ nên suy ra $C = 0$.

Vậy $F\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + x$. Suy ra $F\left( 3 \right) = 12$.

Trả lời: −3

Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1; - 2} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {m;3 - 2m;n} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

Để $\left( P \right)//\left( Q \right)$ thì $\frac{m}{1} = \frac{{3 - m}}{{ - 1}} = \frac{n}{{ - 2}}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2m - 3\\n = - 2m\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\n = - 6\end{array} \right.$.

Suy ra $T = m + n = - 3$.

Trả lời: −6

Mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9$ $\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 5 = 0$.

Suy ra $a = - 1;b = - 2;c = - 3$. Do đó $a + b + c = - 6$.

Trả lời: 0,5

Ta có $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}2}}{{0{,}4}} = 0{,}5$.

Giả sử trong 5 phút đầu vận tốc của ô tô được biểu diễn bởi phương trình $v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c$.

Theo giả thiết ta có $\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\\frac{{ - b}}{{2a}} = 5\\25a + 5b + c = 1000\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\10a + b = 0\\25a + 5b + c = 1000\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 40\\b = 400\\c = 0\end{array} \right.$.

Suy ra $v\left( t \right) = - 40{t^2} + 400t$, khi $t = 6$ thì $v\left( 6 \right) = 960$ (m/phút).

Suy ra trong 10 phút đầu xe ô tô chuyển động được quãng đường là:

$S = \int\limits_0^6 {\left( { - 40{t^2} + 400t} \right)dt} + 960.4 = 8160$ (m).

Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$, khi đó $\left( Q \right)$ nhận $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 1;0} \right)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm $I\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2};1} \right)$ là trung đểm của $AB$.

Ta có phương trình mặt phẳng $\left( Q \right): - 3\left( {x - \frac{3}{2}} \right) - \left( {y - \frac{5}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 7 = 0$.

Theo giả thiết với mọi $M \in d$ thì $AM = BM$, do đó $M \in \left( Q \right)$, từ đó $d \subset \left( Q \right)$.

Mà $d \subset \left( P \right)$ nên đường thẳng $d$ là giao tuyến chung của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

Ta có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1;1} \right);\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;1;0} \right)$lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

Vì $d$ là giao tuyến chung của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên một vectơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( { - 1;3; - 2} \right)$.

Xét hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + y + z - 7 = 0\\3x + y - 7 = 0\end{array} \right.$. Ta thấy $E\left( {0;7;0} \right) \in \left( P \right) \cap \left( Q \right)$ hay đường thẳng $d$ đi qua $E$.

Vậy phương trình đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 7 + 3t\\z = - 2t\end{array} \right.$.

Gọi $\left( R \right)$ là mặt phẳng đi qua $O$ và vuông góc với đường thẳng $d$ nên $\left( R \right)$ nhận $\overrightarrow u = \left( { - 1;3; - 2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra mặt phẳng $\left( R \right)$ có phương trình là $- x + 3y - 2z = 0$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên đường thẳng $d$.

Khi đó tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 7 + 3t\\z = - 2t\\ - x + 3y - 2z = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 7 + 3t\\z = - 2t\\t + 21 + 9t + 4t = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y = \frac{5}{2}\\z = 3\\t = - \frac{3}{2}\end{array} \right.$.

Suy ra $H\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2};3} \right)$. Khi đó $d\left( {O,d} \right) = OH = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {3^2}} = \frac{{\sqrt {70} }}{2}$.

Gọi biến cố A: “Học sinh đó là nữ”;

B là biến cố: “Học sinh đó tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh”.

Theo đề ta có $P\left( A \right) = 0{,}55 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0{,}45$; $P\left( {B|A} \right) = 0{,}2;P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}15$.

Xác suất để học sinh đó tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh là:

$P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$$= 0{,}55.0{,}2 + 0{,}45.0{,}15$$= 0{,}1775$.

Xác suất để học sinh đó là nam biết rằng học sinh đó có tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh là:

$P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}45.0{,}15}}{{0{,}1775}} = \frac{{27}}{{71}}$.