Đề thi cuối kì 2 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 02

Đáp án đúng là: A

$F'\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in K$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\int\limits_1^3 {2f\left( x \right)dx} = 2\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 2.3 = 6$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{e^{3x}}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^1 {{e^{6x}}dx}$.

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + 3z - 4 = 0$ nhận vectơ $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng $d$ nhận $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 2;3} \right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9$.

Suy ra bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$ là $\sqrt 9 = 3$.

Đáp án đúng là: C

Vì $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên $A$ và $\overline B$ cũng là hai biến cố độc lập.

Do đó $P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right).P\left( {\overline B } \right)$.

Suy ra $P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {A\overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{P\left( A \right).P\left( {\overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = P\left( A \right)$.

Đáp án đúng là: C

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}$.

Đáp án đúng là: D

$\int {\cos 3xdx} = \frac{1}{3}\int {\cos 3xd\left( {3x} \right)} = \frac{{\sin 3x}}{3} + C$.

Đáp án đúng là: A

$\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} - 2}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} - 1 - 1}}{{x + 1}}dx}$$= \int\limits_0^1 {\left( {x - 1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx}$$= \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1 = - \frac{1}{2} - \ln 2$.

Suy ra $m = 2;n = - 1$. Do đó $S = 1$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $S = \int\limits_0^m {\left| {2x + 4} \right|dx} = 21$$\Leftrightarrow \int\limits_0^m {\left( {2x + 4} \right)dx} = 21$$\Leftrightarrow \left. {\left( {{x^2} + 4x} \right)} \right|_0^m = 21$$\Leftrightarrow {m^2} + 4m - 21 = 0$

$\Leftrightarrow m = 3$ (do $m > 0$). Suy ra $m \in \left( {\frac{5}{2};4} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 1;2;1} \right),\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;0} \right)$.

Ta có $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1.1 + 2.\left( { - 1} \right) + 1.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{3}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$$\Rightarrow \left( {d,\left( P \right)} \right) = 60^\circ$.

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Đường thẳng $d$ đi qua $O\left( {0;0;0} \right)$ và có $\overrightarrow v = \left( {1;2;3} \right)$ là vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$.

b) Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $\frac{{ - 1}}{1} \ne \frac{2}{2} = \frac{3}{3} \Rightarrow A\left( { - 1;2;3} \right) \notin d$.

c) Đường thẳng $d$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2t\\z = 3t\end{array} \right.$.

Xét hệ $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2t\\z = 3t\\{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2t\\z = 3t\\{t^2} + 4{t^2} + {\left( {3t - 1} \right)^2} = 9\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\x = 1\\y = 2\\z = 3\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}t = - \frac{4}{7}\\x = - \frac{4}{7}\\y = - \frac{8}{7}\\z = - \frac{{12}}{7}\end{array} \right.$.

Vậy $d$ và $\left( S \right)$ có 2 điểm chung.

d) Vì trục $Ox$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$ nên để mặt phẳng $\left( P \right)$ song song $d$ và trục $Ox$ thì $\left( P \right)$ nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow i } \right] = \left( {0;3; - 2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mà $\overrightarrow a = - \overrightarrow n$ nên $\left( P \right)$ cũng nhận $\overrightarrow a = \left( {0; - 3;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

Xét các biến cố A: “Chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress”;

Biến cố B: “Chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày”.

Theo đề ta có $P\left( A \right) = 0{,}3;P\left( B \right) = 0{,}4;P\left( {B|A} \right) = 0{,}8$.

Suy ra xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress vừa bị đau dạ dày là

$P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = 0{,}3.0{,}8 = 0{,}24$.

Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress, biết bệnh nhân đó bị đau dạ dày là

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}24}}{{0{,}4}} = 0{,}6$.

Trả lời: 0

Ta có $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x\sin 2x}}{{1 + \sin x}}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2\sin x{{\cos }^2}x}}{{1 + \sin x}}} dx$$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2\sin x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}}{{1 + \sin x}}} dx$$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2\sin x\left( {1 - \sin x} \right)} dx$

$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2\sin x} dx - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2{{\sin }^2}x} dx$$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2\sin x} dx - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos 2x} \right)} dx$$= \left. { - 2\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\left( {x - \frac{{\sin 2x}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$

$= 2 - \frac{\pi }{2}$.

Suy ra $a = 2;b = - 2$. Do đó $a + b = 0$.

Trả lời: 4

Vì $M\left( { - 1;a;b} \right) \in d$ nên $d:\frac{{ - 1 - 1}}{2} = \frac{{a - 2}}{1} = \frac{b}{{ - 2}}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2 = - 1\\\frac{b}{{ - 2}} = - 1\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.$.

Suy ra ${2^{ab}} = {2^2} = 4$.

Trả lời: 2

Ta có $I\left( {0;0;2} \right)$. Do đó $\left| {\overrightarrow {OI} } \right| = 2$.

Trả lời: 0,8

Vì $A,B$ là hai biến cố độc lập nên $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0{,}8.0{,}25 = 0{,}2$.

Có $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}2}}{{0{,}25}} = 0{,}8$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ

Ta có $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c$ đi qua $\left( {0;2} \right);\left( {2{,}5;1{,}5} \right);\left( { - 2{,}5;1{,}5} \right)$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}c = 2\\{2{,}5^2}a + 2{,}5b + c = 1{,}5\\{\left( { - 2{,}5} \right)^2}a - 2{,}5b + c = 1{,}5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{2}{{25}}\\b = 0\\c = 2\end{array} \right.$. Suy ra $\left( P \right):y = - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2$.

Suy ra diện tích cổng sắt là

$S = 2\int\limits_0^{2{,}5} {\left| { - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2} \right|dx} = 2\int\limits_0^{2{,}5} {\left( { - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2} \right)dx} = \left. {2\left( { - \frac{2}{{75}}{x^3} + 2x} \right)} \right|_0^{2{,}5} = \frac{{55}}{6}$ (m$^{2}$).

Ông Bình cần phải trả số tiền là $\frac{{55}}{6}.1200000 = 11000000$ (đồng).

Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của Modem wifi quán cafe X trong không gian là mặt cầu tâm $C\left( {1; - 1;1} \right)$, bán kính $R = 1{,}5$.

Ta có $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2{,}25$.

Ta có khoảng cách $CA = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {10} \approx 3{,}16 > 1{,}5$.

Vì $CA > R$ nên điểm A nằm ngoài mặt cầu.

Vậy bạn A đã không bắt được tín hiệu phát sóng từ Modem wifi quán cafe X.

Ta có khoảng cách $CB = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2}} = 3 > 1{,}5$.

Vì $CB > R$ nên điểm B nằm ngoài mặt cầu.

Vậy bạn B đã không bắt được tín hiệu phát sóng từ Modem wifi quán cafe X.

Gọi biến cố A: “Lấy được 1 viên bi màu trắng từ hộp thứ II”;

Biến cố ${A_1}$: “Lấy được 2 viên bi màu trắng ở hộp I”;

Biến cố ${A_2}$: “Lấy được 1 viên bi màu trắng và 1 viên bi màu đen ở hộp I”;

Biến cố ${A_3}$: “Lấy được 2 viên bi màu đen ở hộp I”.

Biến cố B: “Viên bi màu trắng đó thuộc hộp I”.

Cần tính $P\left( {B|A} \right)$.

Theo đề ta có $P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{2}{9}$; $P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{C_5^1.C_5^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{5}{9}$; $P\left( {{A_3}} \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{2}{9}$.

Ta có $P\left( {A|{A_1}} \right) = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3};P\left( {A|{A_2}} \right) = \frac{7}{{12}};P\left( {A|{A_3}} \right) = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}$.

Ta có $P\left( A \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {A|{A_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right).P\left( {A|{A_2}} \right) + P\left( {{A_3}} \right).P\left( {A|{A_3}} \right)$

$= \frac{2}{9}.\frac{2}{3} + \frac{5}{9}.\frac{7}{{12}} + \frac{2}{9}.\frac{1}{2} = \frac{7}{{12}}$.

Suy ra $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {{A_2}} \right).P\left( {A|{A_2}} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{5}{9}.\frac{7}{{12}}}}{{\frac{7}{{12}}}} = \frac{5}{9}$.