Đề thi cuối kì 2 Toán 12 cấu trúc mới (có đáp án) - Đề 9

Đáp án đúng là: C

$\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}$$= \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx} = 3 - 2 = 1$.

Đáp án đúng là: B

$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}$.

Đáp án đúng là: D

$\int\limits_0^\pi {\left[ {3f\left( x \right) + 2} \right]dx} = 3\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^\pi {2dx}$$= \left. {\left( {3\cos x + 2x} \right)} \right|_0^\pi = - 3 + 2\pi - 3 = 2\pi - 6$.

Đáp án đúng là: A

$\int\limits_3^5 {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = } \int\limits_3^5 {\left( {x + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx = } \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_3^5 = \frac{{25}}{2} + \ln 6 - \frac{9}{2} - \ln 4 = 8 + \ln \frac{3}{2}$.

Suy ra $S = 8 - 2.3 = 2$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2}} \right)}^2}dx} = \frac{{81\pi }}{{35}}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} - x} \right|dx}$$= \int\limits_{ - 2}^0 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} + \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - x} \right|dx}$$= \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( {x - {x^2}} \right)dx} = \frac{{14}}{3} + \frac{1}{6} = \frac{{29}}{6}$.

Đáp án đúng là: A

Bán kính mặt cầu: $R = \sqrt 9 = 3$.

Đáp án đúng là: C

Phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua gốc tọa độ $O$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {5; - 3;2} \right)$ là

$5x - 3y + 2z = 0$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2;3; - 4} \right)$.

Phương trình $\Delta$ đi qua $A\left( {1; - 2;5} \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {2;3; - 4} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 5}}{{ - 4}}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $d = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.\left( { - 2} \right) + 2.3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {29} }}$.

Đáp án đúng là: A

Vì $A,B$ độc lập nên $P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)$.

Khi đó $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = P\left( B \right) = 0{,}45$.

Đáp án đúng là: D

Theo công thức Bayes, ta có $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}8.0{,}2}}{{0{,}4}} = 0{,}4$.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Vận tốc của vật tại thời điểm $t$ giây là $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt}$.

b) $v\left( t \right) = \int {\frac{1}{{{t^2} + 3t + 2}}dt}$$= \int {\frac{1}{{\left( {t + 1} \right)\left( {t + 2} \right)}}dt}$$= \int {\left( {\frac{1}{{t + 1}} - \frac{1}{{t + 2}}} \right)dt}$$= \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| + C$.

Mà ${v_0} = 3\ln 2\left( {{\rm{m/s}}} \right)$ nên $\ln \frac{1}{2} + C = 3\ln 2 \Rightarrow C = 4\ln 2$.

Do đó $v\left( t \right) = \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| + 4\ln 2$.

c) Có $v\left( {10} \right) = \ln \frac{{11}}{{12}} + 4\ln 2 \approx 2{,}69\;{\rm{m/s}}$.

d) $v\left( t \right) = \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| + 4\ln 2 = 4\ln 2$$\Rightarrow \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| = 0$$\Rightarrow \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| = 1$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{t + 1}}{{t + 2}} = 1\\\frac{{t + 1}}{{t + 2}} = - 1\end{array} \right.$ vô nghiệm.

Do đó không có thời điểm nào vận tốc của vật đạt $v = 4\ln 2\;\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Tọa độ của một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\left( {1;2; - 1} \right)$.

b) Thay tọa độ điểm $A\left( {1;1;2} \right)$ vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - z + 3 = 0$ ta được

$1 + 2.1 - 2 + 3 = 4 \ne 0$. Do đó $A \notin \left( P \right)$.

c) Ta có $R = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.1 - 2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 6 }}$.

Mặt cầu cần tìm là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{{16}}{6} = \frac{8}{3}$.

d) Mặt phẳng $\left( Q \right)//\left( P \right)$ nên ta có $\left( Q \right):x + 2y - z + D = 0\left( {D \ne 3} \right)$.

Vì $\left( Q \right)$ đi qua điểm $A$ nên $1 + 2.1 - 2 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 1$.

Vậy $\left( Q \right):x + 2y - z - 1 = 0$.

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Đường thẳng ${d_1}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;1} \right)$.

b) Ta có $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;3; - 1} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${d_2}$.

Mặt phẳng đi qua điểm $A\left( {1; - 1;3} \right)$ và vuông góc với đường thẳng ${d_2}$ nhận vectơ $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;3; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $3\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 1} \right) - \left( {z - 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow 3x + 3y - z + 3 = 0$.

c) Giả sử $d \cap {d_1} = M$. Khi đó $M\left( {2 + t; - 1 - t;1 + t} \right)$.

Đường thẳng $d$ nhận $\overrightarrow {AM} = \left( {1 + t; - t;t - 2} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Lại có $d \bot {d_2}$ nên $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \Leftrightarrow \left( {1 + t} \right).3 + \left( { - t} \right).3 + \left( {t - 2} \right).\left( { - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow t = 5$.

Suy ra $\overrightarrow {AM} = \left( {6; - 5;3} \right)$.

d) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( {1; - 1;3} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AM} = \left( {6; - 5;3} \right)$ có phương trình là $\frac{{x - 1}}{6} = \frac{{y + 1}}{{ - 5}} = \frac{{z - 3}}{3}$.

Thay tọa độ điểm $K\left( {13; - 11;9} \right)$ vào phương trình đường thẳng d ta được

$\frac{{13 - 1}}{6} = \frac{{ - 11 + 1}}{{ - 5}} = \frac{{9 - 3}}{3}$ (đúng). Do đó đường thẳng $d$ đi qua điểm $K\left( {13; - 11;9} \right)$.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Do ${\rm{P}}\left( {{A_1}} \right) = 0{,}61$.

b) ${\rm{P}}\left( {B\mid {A_2}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {B \cap {A_2}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {{A_2}} \right)}} = 0{,}82$.

c) Ta có: ${\rm{P}}\left( {{A_1}} \right) = 0{,}61;{\rm{P}}\left( {{A_2}} \right) = 0{,}39;{\rm{P}}\left( {B\mid {A_1}} \right) = 0{,}93;{\rm{P}}\left( {B\mid {A_2}} \right) = 0{,}82$.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}\left( B \right) = {\rm{P}}\left( {{A_1}} \right){\rm{.P}}\left( {B\mid {A_1}} \right) + {\rm{P}}\left( {{A_2}} \right){\rm{.P}}\left( {B\mid {A_2}} \right) = 0{,}61.0{,}93 + 0{,}39.0{,}82 = 0{,}8871$.

d) Theo công thức Bayes, ta có: ${\rm{P}}\left( {{A_1}\mid B} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{A_1}} \right){\rm{.P}}\left( {B\mid {A_1}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( B \right)}} = \frac{{0{,}61 \cdot 0{,}93}}{{0{,}8871}} \approx 0{,}64$.

Trả lời: 7,53

Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{{\cos }^2}\frac{x}{2} + \sin x} \right)} dx$$= \int {\left( {3\frac{{1 + \cos x}}{2} + \sin x} \right)} dx$

$= \int {\left( {\frac{3}{2} + \frac{{3\cos x}}{2} + \sin x} \right)} dx$$= \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}\sin x - \cos x + C$.

Vì $F\left( 0 \right) = 5$ nên $F\left( 0 \right) = - 1 + C = 5 \Rightarrow C = 6$.

Do đó $F\left( x \right) = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}\sin x - \cos x + 6$.

Vậy $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{3}{2}.\frac{\pi }{4} + \frac{3}{2}\sin \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{4} + 6 \approx 7{,}53$.

Trả lời: 1,5

$I = \int\limits_1^2 {\left[ {{a^2} + \left( {4 - a} \right)x + 4{x^3}} \right]dx} = \frac{{184}}{9}$

$\Leftrightarrow \left. {\left( {{a^2}x + \left( {4 - a} \right)\frac{{{x^2}}}{2} + {x^4}} \right)} \right|_1^2 = \frac{{184}}{9}$

$\Leftrightarrow \left( {2{a^2} + 2\left( {4 - a} \right) + 16 - {a^2} - \frac{1}{2}\left( {4 - a} \right) - 1} \right) = \frac{{184}}{9}$

$\Leftrightarrow {a^2} + \frac{3}{2}\left( {4 - a} \right) + 15 = \frac{{184}}{9}$

$\Leftrightarrow {a^2} - \frac{3}{2}a + \frac{5}{9} = 0$

$\Leftrightarrow a = \frac{5}{6}$ hoặc $a = \frac{2}{3}$. Suy ra $S = \left\{ {\frac{5}{6};\frac{2}{3}} \right\}$

Do đó tổng các phần tử của $S$ là $1{,}5$.

Trả lời: 1008

Ta có diện tích bức tường hình chữ nhật là $10.8 = 80\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho gốc $O$ trùng với chân bên trái cổng parabol như hình sau:

Giả sử $P:y = a{x^2} + bx + c$.

Vì $\left( P \right)$ đi qua $\left( {0;0} \right),\left( {2;4{,}8} \right),\left( {4;0} \right)$ nên ta có $\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 4{,}8\\16a + 4b + c = 0\\c = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{6}{5}\\b = \frac{{24}}{5}\\c = 0\end{array} \right.$.

Do đó $\left( P \right):y = - \frac{6}{5}{x^2} + \frac{{24}}{5}x$.

Diện tích của chiếc cổng là: $S = \int\limits_0^4 {\left| { - \frac{6}{5}{x^2} + \frac{{24}}{5}x} \right|dx} = \frac{{64}}{5}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Suy ra diện tích cần sơn là: $80 - \frac{{64}}{5} = 67{,}2\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Chi phí cần để sơn là: $67{,}2.15000 = 100800$ đồng = 1008 nghìn đồng.

Trả lời: 27

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2;0; - 1} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( {2;9; - 1} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {9;0;18} \right) = 9\left( {1;0;2} \right)$.

Mặt phẳng $(ABC)$ và $(Oxy)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là:${\vec n_1} = (1;0;2)$,${\vec n_2} = (0;0;1)$.

Gọi $\alpha$ là góc giữa mặt phẳng mái nhà bên phải và nền nhà.

Ta có $\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$. Suy ra $\alpha \approx 27^\circ$.

Trả lời: −180

Vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {300;50; - 50} \right)$ nên $\overrightarrow u = \left( {6;1; - 1} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$. Phương trình đường thẳng $AB$ là: $\frac{{x + 500}}{6} = \frac{{y + 250}}{1} = \frac{{z - 150}}{{ - 1}}$.

Gọi $H$ là hình chiếu của điểm $O$ trên đường thẳng $AB$thì $OH$ là khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát. Khi đó $H\left( {6t - 500;t - 250; - t + 150} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {OH} .\overrightarrow u = \left( {6t - 500} \right).6 + t - 250 + \left( { - t + 150} \right).\left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{1700}}{9}$.

Suy ra toạ độ của vị trí máy bay khi đó là $\left( {\frac{{1900}}{3}; - \frac{{550}}{9}; - \frac{{350}}{9}} \right)$.

Vậy $\frac{{ - 3a - b - c}}{{10}} = - 180.$

Trả lời: 0,3

Xét các biến cố: $A$: “Lần thứ nhất rút ra được thẻ ghi số nguyên tố”;

$B$: “Lần thứ hai rút được thẻ ghi số nguyên tố”.

Từ $1$ đến $40$ có $12$ số nguyên tố nên $P\left( A \right) = \frac{{12}}{{40}} = 0{,}3$ và $P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$.

Vì rút không hoàn lại nên $P\left( {B|A} \right) = \frac{{11}}{{39}}$, $P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{12}}{{39}} = \frac{4}{{13}}$.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}3.\frac{{11}}{{39}} + 0{,}7.\frac{4}{{13}} = 0{,}3$.