Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 trường THCS Lương Thế Vinh (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án

Hướng dẫn giải

a) $A = 2x{y^2} \cdot \left( {\frac{{ - 7}}{2}{x^4}y} \right) = - 7{x^5}{y^3}$

Bậc của đơn thức $A$ là: 8.

b) Ta có $B + C = 4{x^3}y - 4{y^2} + 3.$

Suy ra $C = 4{x^3}y - 4{y^2} + 3 - B$

$= 4{x^3}y - 4{y^2} + 3 - \left( {2xy + 4{x^3}y - 5{y^2} - 4} \right)$

$= 4{x^3}y - 4{y^2} + 3 - 2xy - 4{x^3}y + 5{y^2} + 4$

$= {y^2} - 2xy + 7.$

Vậy $C = {y^2} - 2xy + 7.$

Hướng dẫn giải

a) $6x(3 - x) + 6{x^2} - 15x = 18$

$18x - 6{x^2} + 6{x^2} - 15x = 18$

$3x = 18$

$x = 6$

Vậy $x = 6.$

b) $4\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right) - x\left( {4{x^2} - 3x} \right) = 6x + 108$

$4\left( {{x^3} + {3^3}} \right) - \left( {4{x^3} - 3{x^2}} \right) = 6x + 108$

$4{x^3} + 108 - 4{x^3} + 3{x^2} - 6x - 108 = 0$

$3{x^2} - 6x = 0$
$3x\left( {x - 2} \right) = 0$

$3x = 0$ hoặc $x - 2 = 0$

$x = 0$ hoặc $x = 2.$

Vậy $x \in \left\{ {0;\,\,2} \right\}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\left| {x - 1} \right| = 2$

$x - 1 = 2$ hoặc $x - 1 = - 2$

$x = 3$ hoặc $x = - 1.$

⦁ Thay $x = 3$ vào biểu thức $D,$ ta được:

$D = {3^3} - 3 \cdot {3^2} - 8 \cdot 3 + 12 = 27 - 27 - 24 + 12 = - 12.$

⦁ Thay $x = - 1$ vào biểu thức $D,$ ta được:

$D = {\left( { - 1} \right)^3} - 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} - 8 \cdot \left( { - 1} \right) + 12 = - 1 - 3 + 8 + 12 = 16.$

b) $E = {\left( {2x - y} \right)^2} + {\left( {3x + y} \right)^2} + 2\left( {2x - y} \right)\left( {3x + y} \right) - 25\left( {1 + x} \right)\left( {x - 1} \right).$

$= \left[ {{{\left( {2x - y} \right)}^2} + 2 \cdot \left( {2x - y} \right) \cdot \left( {3x + y} \right) + {{\left( {3x + y} \right)}^2}} \right] - 25\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)$

$$= {\left( {2x - y + 3x + y} \right)^2} - 25\left( {{x^2} - 1} \right)$$

$$= {\left( {5x} \right)^2} - 25{x^2} + 25$$

$$= 25{x^2} - 25{x^2} + 25 = 25.$$

Vậy giá trị của biểu thức $E$ không phụ thuộc vào giá trị của biến $x$ và $y.$

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABI$ và $\Delta CDI$ có:

$\widehat {BIA} = \widehat {DIC}$ (đối đỉnh);

$IA = IC$ (do $I$ là trung điểm của cạnh $AC);$

$\widehat {BAC} = \widehat {DCA}$ (cặp góc so le trong do $AB\,{\rm{//}}\,CD).$

Do đó $\Delta ABI = \Delta CDI$ (g.c.g).

Suy ra $AB = CD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét tứ giác $ABCD$ có $AB\,{\rm{//}}\,CD$ và $AB = CD$ nên là hình bình hành.

b) ***Cách 1:* **Vì $AC \bot AB$ (do $\Delta ABC$ vuông tại $A)$ và $KH \bot AB$ nên $HK\,{\rm{//}}\,AI.$

Xét tứ giác $AIKH$ có $HK\,{\rm{//}}\,AI$ và $IK\,{\rm{//}}\,AH$ nên là hình bình hành.

Lại có $\widehat {HAI} = 90^\circ$ nên $AIKH$ là hình chữ nhật.

Suy ra $AK = IH$ (tính chất hình chữ nhật).

Cách 2: Vì $IK\,{\rm{//}}\,AB$ mà $AB \bot AC$ nên $IK \bot AC,$ hay $\widehat {AIK} = 90^\circ .$

Xét tứ giác $AIKH$ có $\widehat {AHK} = \widehat {AIK} = \widehat {HAI} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật.

Suy ra $AK = IH$ (tính chất hình chữ nhật).

c) Vì $AIKH$ là hình chữ nhật nên $AI = HK$ và $AH = IK$ (tính chất hình chữ nhật).

Mà $AI = IC$ nên $HK = IC.$

Xét tứ giác $IHKC$ có $HK\,{\rm{//}}\,IC$ và $HK = IC$ nên là hình bình hành.

Do đó $HI = KC$ và $HI\,{\rm{//}}\,KC$ (tính chất hình bình hành).

Xét tứ giác $HIKB$ có $HI\,{\rm{//}}\,BK$ và $BH\,{\rm{//}}\,IK$ nên là hình bình hành.

Do đó $HI = BK$ và $HB = IK$ (tính chất hình bình hành).

Ta có $BK = HI$ và $HI = KC$ nên $BK = KC,$ hay $K$ là trung điểm của $BC.$

$AH = IK$ và $HB = IK$ nên $AH = HB,$ hay $H$ là trung điểm của $AB.$

Khi đó $\Delta ABC$ có hai đường trung tuyến $AK$ và $BI$ cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm của tam giác, do đó đường trung tuyến $CH$ đi qua $G,$ nên ba điểm $H,{\rm{ }}G,{\rm{ }}C$ thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Ta có: ${x^2} + {y^2} + xy - 3x - 3y + 3 = 0$

$4{x^2} + 4{y^2} + 4xy - 12x - 12y + 12 = 0$

$4{x^2} + 2 \cdot 2x \cdot \left( {y - 3} \right) + {\left( {y - 3} \right)^2} + 3{y^2} - 6y + 3 = 0$

${\left( {2x + y - 3} \right)^2} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 0$

Với mọi $x,\,\,y$ ta có ${\left( {2x + y - 3} \right)^2} \ge 0;\,\,{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0$ nên ${\left( {2x + y - 3} \right)^2} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left( {2x + y - 3} \right)^2} = 0;\,\,{\left( {y - 1} \right)^2} = 0$ hay $x = y = 1.$

Thay $x = y = 1$ vào biểu thức $P,$ ta được:

$P = {\left( {3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 6} \right)^{1010}} + {\left( {1 - 1 + 1} \right)^{1011}} + 2\,\,021 = {\left( { - 1} \right)^{1010}} + {1^{1011}} + 2\,\,021 = 2\,\,023.$

Vậy biểu thức $P$ có giá trị là một số nguyên.