Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 trường THCS Cầu Giấy (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: $\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) \ne 0$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\x + 3 \ne 0\end{array} \right.$

Do đó $x \ne 2$ và $x \ne - 3.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có ${x^3} - 3{x^2} + 3x - 1$$= {\left( {x - 1} \right)^3}$$= {\left( {101 - 1} \right)^3} = {100^3} = 1\,\,000\,\,000.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + 2xy + 4{y^2}} \right) - \left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} - 2xy + 4{y^2}} \right)$

$= \left[ {{x^3} - {{\left( {2y} \right)}^3}} \right] - \left[ {{x^3} + {{\left( {2y} \right)}^3}} \right]$

$= {x^3} - 8{y^3} - {x^3} - 8{y^3}$

$= - 16{y^3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Khẳng định đúng là:

3. Trong hình chữ nhật, giao của hai đường chéo cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

a) $2{x^2}y - 4xy + 2y$

$= 2y\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)$

$= 2y{\left( {x - 1} \right)^2}$.

b) ${x^2} - 9 + 4{y^2} - 4xy$

$= \left( {{x^2} - 4xy + 4{y^2}} \right) - 9$

$= {\left( {x - 2y} \right)^2} - {3^2}$

$= \left( {x - 2y + 3} \right)\left( {x - 2y - 3} \right)$.

c) ${x^2} - 9x + 20$

$= {x^2} - 4x - 5x + 20$

$= x\left( {x - 4} \right) - 5\left( {x - 4} \right)$

$= \left( {x - 4} \right)\left( {x - 5} \right)$.

Hướng dẫn giải

c) ${\left( {{x^2} - x} \right)^2} + 2\left( {{x^2} - x} \right) = 8$

${\left( {{x^2} - x} \right)^2} + 2\left( {{x^2} - x} \right) - 8 = 0$

${\left( {{x^2} - x} \right)^2} + 2\left( {{x^2} - x} \right) + 1 - 9 = 0$

${\left[ {\left( {{x^2} - x} \right) + 1} \right]^2} - {3^2} = 0$

$\left( {{x^2} - x + 1 + 3} \right)\left( {{x^2} - x + 1 - 3} \right) = 0$

$\left( {{x^2} - x + 4} \right)\left( {{x^2} - x - 2} \right) = 0$

$\left[ {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{{15}}{4}} \right].\left( {{x^2} + x - 2x - 2} \right) = 0$

Suy ra ${x^2} + x - 2x - 2 = 0$ (Vì ${\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0$)

$x\left( {x + 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 0$

$\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0$

Suy ra $x + 1 = 0$ hoặc $x - 2 = 0$

Do đó $x = - 1$ hoặc $x = 2.$

Vậy $x \in \left\{ { - 1;2} \right\}$.

Hướng dẫn giải

a) Thay $x = 4$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$ ta có: $A = \frac{{2.4 + 3}}{{4 + 1}} = \frac{{11}}{5}$.

Vậy $A = \frac{{11}}{5}$ khi $x = 4$.

b) Với điều kiện $x \ne - 1;x \ne - 3$, biểu thức $B$ được biến đổi như sau:

$B = \frac{{x + 2}}{{x + 1}} + \frac{3}{{x + 3}} - \frac{{6x + 8}}{{{x^2} + 4x + 3}}$

$B = \frac{{x + 2}}{{x + 1}} + \frac{3}{{x + 3}} - \frac{{6x + 8}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}$

$$B = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{6x + 8}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}$$

$$B = \frac{{{x^2} + 5x + 6 + 3x + 3 - 6x - 8}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}$$

$$B = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}$$

$B = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}$.

c) $P = A.B = \frac{{2x + 3}}{{x + 1}}.\frac{{x + 1}}{{x + 3}} = \frac{{2x + 3}}{{x + 3}} = \frac{{2x + 3}}{{x + 3}} = 2 - \frac{3}{{x + 3}}.$

Để $P$ nhận giá trị nguyên khi $\frac{3}{{x + 3}} \in \mathbb{Z}$ tức là $x + 3 \in$Ư$\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}$

Ta có bảng sau:

Vậy $x \in \left\{ { - 2; - 4; - 6} \right\}$.

Hướng dẫn giải

1) Ta có: $BC = 2.61 = 122\,({\rm{m}})$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ ta có

$A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {122^2} - {22^2} = \left( {122 + 22} \right)\left( {122 - 22} \right) = 144 \cdot 100 = 14\,\,400$

Do đó $AB = \sqrt {14400} = 120\,({\rm{m}})$.

2)

a) Theo giả thiết, $P,N$ lần lượt là điểm đối xứng của $M$ và $A$ qua $I$ nên $I$ là trung điểm của $AN,\,MP$

Suy ra tứ giác $AMNP$ là hình bình hành (dhnb).

Do $MP \bot AN$ nên $AMNP$ là hình thoi.

Xét tam giác $AIM$ có $\widehat {AIM} = 90^\circ$, $\widehat {IAM} = 45^\circ$ (do $ABCD$ là hình vuông)

Nên $\Delta AIM$ vuông cân tại $I$ nên $AI = IM$. Do đó $AN = MP$.

Hình thoi $AMNP$ có $AN = MP$ nên $AMNP$ là hình vuông.

b) Xét $\Delta APD$ và $\Delta AMD$, ta có:

$AD$ là cạnh chung;

$\widehat {PAD} = \widehat {MAD}\,\,\,\left( {\widehat {PAD} = \widehat {PAN} = 45^\circ = \widehat {MAN} = \widehat {MAD}} \right);$

$AP = AM$ (do $AMNP$ là hình vuông).

Vậy $\Delta APD = \Delta AMD$ (c.g.c)

Suy ra $PD = MD$ (3)

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ADM$, ta có:

$AM$ là cạnh chung;

$\widehat {BAM} = \widehat {DAM}\,\,\,\left( {\widehat {BAM} = \widehat {BAC} = 45^\circ = \widehat {DAC} = \widehat {DAM}} \right);$

$AB = AD$ (do $ABCD$ là hình vuông).

Vậy $\Delta ABM = \Delta ADM$ (c.g.c).

Suy ra $BM = MD$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $BM = PD.$

c)

Xét tứ giác $APQM$, ta có: $\widehat {MQP} = 360 - \widehat {MAP} - \widehat {APQ} - \widehat {AMQ}$

Mà $\widehat {APQ} = \widehat {AMD} = \widehat {AMB}$

Nên $\widehat {MQP} = 360^\circ - 90^\circ - \left( {\widehat {AMB} + \widehat {AMQ}} \right) = 360^\circ - 90^\circ - 180^\circ = 90^\circ$.

Ta có $I$ là giao 2 đường chéo hình vuông $AMNP$, $O$ là giao điểm của 2 đường chéo hình vuông $ABCD$.

Ta có: $IQ = \frac{1}{2}PM = \frac{1}{2}AN$ nên $\widehat {AQN} = 90^\circ ,\,\,OQ = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC.$

Do đó $\widehat {AQC} = 90^\circ$.

Vậy $\widehat {AQN} + \widehat {AQC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ nên $C,Q,N$ thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) Từ $3{x^2} + 2{y^2} = 5xy$ ta có

$$3{x^2} + 2{y^2} - 5xy = 0$$

$$3{x^2} - 3xy + 2{y^2} - 2xy = 0$$

$$3x\left( {x - y} \right) + 2y\left( {y - x} \right) = 0$$

$$\left( {x - y} \right)\left( {3x - 2y} \right) = 0$$

Suy ra $3x = 2y$ (vì $x < y$ nên $x - y \ne 0)$

Hay $y = 1{,}5x$

Ta có $S = \frac{{y + 2x}}{{y - 2x}} = \frac{{1{,}5x + 2x}}{{1{,}5x - 2x}} = \frac{{3{,}5x}}{{ - 0{,}5x}} = - 7.$

Vậy $S = - 7.$

b) Ta có $\frac{M}{{41}} = \frac{{7{x^2} - 13xy + {y^2}}}{{2{x^2} + xy + 3{y^2}}}$.

Nếu $y = 0$ thì ${x^2} = \frac{{41}}{2}$. Do đó $M = \frac{{287}}{2}$.

Nếu $y \ne 0$ thì $P = \frac{M}{{41}} = \frac{{7{t^2} - 13t + 1}}{{2{t^2} + t + 3}}$ với $t = \frac{x}{y}$.

Ta được $\left( {2P - 7} \right){t^2} + \left( {P + 13} \right)t + 3P - 1 = 0$

Suy ra ${\left[ {t + \frac{{P + 13}}{{2.\left( {2P - 7} \right)}}} \right]^2} = \frac{{{{\left( {P + 13} \right)}^2} - 4\left( {2P - 7} \right)\left( {3P - 1} \right)}}{{4.{{\left( {2P - 7} \right)}^2}}}$.

Phương trình trên có nghiệm nên ${\left( {P + 13} \right)^2} - 4\left( {2P - 7} \right)\left( {3P - 1} \right) \ge 0$

Suy ra $\left( {P + 1} \right)\left( {141 - 23P} \right) \ge 0$

Do đó $- 1 \le P \le \frac{{141}}{{23}}$

Nên $- 41 \le M \le \frac{{5781}}{{23}}$.

Vậy giá trị lớn nhất của $M$ là $\frac{{5781}}{{23}}$ khi $x = \frac{{ - 20}}{{\sqrt {23} }},\,\,y = \frac{{11}}{{\sqrt {23} }}$.