Đề thi cuối kì 1 Toán 8 THCS Giảng Võ (Hà Nội) năm 2023-2024 (có đáp án)

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\left( {x - 3} \right)^3} = {x^3} - 9{x^2} + 27x - 27.$

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${x^3} - 81x = 0$

$$x\left( {{x^2} - 81} \right) = 0$$

Suy ra $x = 0$ hoặc $x = \pm 9$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $P + \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = {x^3}$

Suy ra $P + {x^3} - 1 = {x^3}$

Do đó $P = 1.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${x^2} - 4{y^2} = {x^2} - {\left( {2y} \right)^2} = \left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right).$

Đáp án đúng là: B

Nối $BD.$

Xét $\Delta ABD$ có: $M,Q$ là trung điểm của $AB,\,\,AD$ (gt) nên $MQ$ là đường trung bình của tam giác, do đó $MQ = \frac{{BD}}{2};MQ\,{\rm{//}}\,BD$ (định lí).

Xét $\Delta CBD$ có: $N,P$ là trung điểm của $BC,\,\,CD$ (gt) nên $NP$ là đường trung bình của tam giác, do đó $NP = \frac{{BD}}{2};NP\,{\rm{//}}\,BD$ (định lí).

Xét tứ giác $MNPQ$ có: $MQ = NP;MQ\,{\rm{//}}\,NP$ nên $MNPQ$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Đáp án đúng là: A

Có: $AB = 3MB$ (giả thiết) nên $\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{1}{3}.$

Lại có: $AN = 2NC$ và $N \in AC$ (giả thiết) nên $\frac{{NC}}{{AC}} = \frac{1}{3}$.

Do đó $\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NC}}{{AC}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)$.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có:

⦁ $\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NC}}{{AC}}$ (cmt) và $N \in AC;\,\,M \in AB$ nên $MN\,{\rm{//}}\,BC$ (định lí Thalès đảo)

Suy ra $\widehat {ABC} = \widehat {NMA}$ (hai góc đồng vị)

⦁ $\widehat {ANM} + \widehat {BMN} = 90^\circ$ (định lí)

Thay số: $\widehat {ANM} + 58^\circ = 90^\circ ,$ suy ra $\widehat {ANM} = 32^\circ .$

1) Ta có: $A = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) + x\left( {1 - {x^2}} \right) = {x^3} + 1 + x - {x^3} = 1 + x$.

2)

a) Ta có$B = {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 = {\left( {x + 2} \right)^3}$

Thay $x = - 102$ vào biểu thức $B$ ta được: $B = {\left( { - 102 + 2} \right)^2} = 10\,\,000$.

Vậy $B = 10\,\,000$ khi $x = - 102$.

b) Ta có $C = 4{x^2} - 4xy + {y^2} + 12x - 6y + 9 = {\left( {2x - y} \right)^2} + 6\left( {2x - y} \right) + 9 = {\left( {2x - y + 3} \right)^2}.$

Thay $2x - y = 5$ vào biểu thức $C$ ta được $C = {\left( {5 + 3} \right)^2} = 64$.

Vậy $C = 64$ khi $2x - y = 5$.

1)

a) ${x^2} - {y^2} + 2x + 1$$= \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - {y^2}$$= {\left( {x + 1} \right)^2} - {y^2}$$= \left( {x + 1 + y} \right)\left( {x + 1 - y} \right).$

b) ${a^3} - 4{a^2} + 4a$$= a\left( {{a^2} - 4a + 4} \right)$$= a{\left( {a - 2} \right)^2}.$

2)

1) Xét $\Delta ABC$ có: $D,E$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ (gt) nên $DE$ là đường trung bình của $\Delta ABC,$ do đó $DE = \frac{{BC}}{2}$ (định lí).

Thay số: $21{,}3 = \frac{{BC}}{2},$ suy ra $BC = 21{,}3.2 = 42{,}6{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vậy khoảng cách giữa hai điểm $B$ và $C$ là $42{,}6{\rm{\;cm}}.$

2)

a) Ta có $BH\,{\rm{//}}\,d,\,\,CK\,{\rm{//}}\,d$ nên $BH\,{\rm{//}}\,CK,$ suy ra $\widehat {HBM} = \widehat {KCM}$ (hai góc so le trong).

$\Delta BHM$ và $\Delta CKM$ có:

$\widehat {HBM} = \widehat {KCM};$

$BM = CM;$

$\widehat {BMH} = \widehat {CMK}$

Do đó $\Delta BHM = \Delta CKM$ (g.c.g).

Suy ra $BH = CK$ (hai cạnh tương ứng).

b) ⦁ Ta có $GH + GK = GH + (GH + HK) = 2GH + HK$

$= 2GH + 2HM = 2\left( {GH + HM} \right) = 2GM$.

⦁ Vì $\Delta BHM = \Delta CKM$ nên $HM = KM$ (hai cạnh tương ứng) suy ra $HK = 2HM.$

$\Delta ABH$có $EG\,{\rm{//}}\,BH$ nên $\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{GH}}{{GA}}$ (định lý Thalès) ;

$\Delta AKC$có $CK\,{\rm{//}}\,GF$ nên $\frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{GK}}{{GA}}$ (định lý Thalès).

Do đó $\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{GH}}{{GA}} + \frac{{GK}}{{GA}} = \frac{{GH + GK}}{{GA}} = \frac{{2GM}}{{GA}} = \frac{{GA}}{{GA}} = 1.$

c) Ta có $\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = 1$ nên $\frac{{BE}}{{AE}} = 1 - \frac{{CF}}{{AF}}$

Mà $\frac{{BE}}{{AE}} \cdot \frac{{CF}}{{AF}} = \frac{1}{4}$ nên $\left( {1 - \frac{{CF}}{{AF}}} \right) \cdot \frac{{CF}}{{AF}} = \frac{1}{4}$ suy ra $\frac{{CF}}{{AF}} - {\left( {\frac{{CF}}{{AF}}} \right)^2} = \frac{1}{4}$

Khi đó ${\left( {\frac{{CF}}{{AF}}} \right)^2} - \frac{{CF}}{{AF}} + \frac{1}{4} = 0$ hay ${\left( {\frac{{CF}}{{AF}} - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0$ do đó $\frac{{CF}}{{AF}} = \frac{1}{2}$

Suy ra $\frac{{BE}}{{AE}} = 1 - \frac{{CF}}{{AF}} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.$

$\Delta ABC$ có $\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{CF}}{{AF}} = \frac{1}{2}$ nên $EF\,{\rm{//}}\,BC$ hay $d\,{\rm{//}}\,BC.$

1) Ta có:$P\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 1$

Suy ra $P\left( {x + 1} \right) = a{\left( {x + 1} \right)^3} + b{\left( {x + 1} \right)^2} + c\left( {x + 1} \right) + 1$

$P\left( {x + 1} \right) - P\left( x \right) = a\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^3} - {x^3}} \right] + b\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {x^2}} \right] + c\left[ {x + 1 - x} \right]$

$= a\left[ {{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - {x^3}} \right] + b\left( {{x^2} + 2x + 1 - {x^2}} \right) + c$

$= a\left( {3{x^2} + 3x + 1} \right) + b\left( {2x + 1} \right) + c$

$= 3a{x^2} + 3ax + a + 2bx + b + c$

$= 3a{x^2} + \left( {3a + 2b} \right)x + a + b + c$

Đồng nhất hệ số: $3a{x^2} + \left( {3a + 2b} \right)x + a + b + c = {x^2}$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}3a = 1\\3a + 2b = 0\\a + b + c = 0\end{array} \right.,$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{{ - 1}}{2}\\c = \frac{1}{6}\end{array} \right..$

Vậy $P\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{6}x + 1.$

2) Ta có:

$A = {1^2} + {2^2} + {3^2} + \ldots + {n^2}$$= P\left( 2 \right) - P\left( 1 \right) + P\left( 3 \right) - P\left( 2 \right) + ..... + P\left( {n + 1} \right) - P\left( n \right)$

$= P\left( {n + 1} \right) - P\left( 1 \right) = \frac{1}{3}{n^3} + \frac{1}{2}{n^2} + \frac{1}{6}n$

$= \frac{{2{n^3} + 3{n^2} + n}}{6}$$= \frac{{n\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right)}}{6}.$