Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 năm 2024-2025 THCS&THPT Ban Mai School (Hà Nội) có đáp án

a) Với $x = 12$ thỏa mãn điều kiện ($x \ne 3,\,\,\,x \ne - 3$). Thay $x = 12$vào biểu thức A ta được: $A = \frac{{12}}{{12 + 3}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}$.

Vậy khi $x = 12$thì $A = \frac{4}{5}$

b) Với $x \ne 3,\,\,\,x \ne - 3$, ta có:

$$B = \frac{{3{x^2} + 9}}{{{x^2} - 9}} - \frac{{2x}}{{x - 3}} = \frac{{3{x^2} + 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{2x}}{{x - 3}}$$

$$= \frac{{3{x^2} + 9 - 2x\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{3{x^2} + 9 - 2{x^2} - 6x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$$

$$= \frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x - 3}}{{x + 3}}$$

Vậy $B = \frac{{x - 3}}{{x + 3}}$ với $x \ne 3,\,\,\,x \ne - 3$

c) Với $x \ne 3,\,\,\,x \ne - 3$, ta có $T = A - B = \frac{x}{{x + 3}} - \frac{{x - 3}}{{x + 3}} = \frac{3}{{x + 3}}$

Biểu thức $T$ nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi $\frac{3}{{x + 3}}$ nguyên.

Khi đó $\frac{3}{{x + 3}}$ nguyên khi $3 \vdots x + 3$, suy ra $x + 3 \in \left\{ { \pm 1;\, \pm 3} \right\}$.

Suy ra, $x \in \left\{ {0; - 6; - 4; - 2} \right\}$ thỏa mãn điều kiện $x \ne 3,\,\,\,x \ne - 3$

Vậy $x \in \left\{ {0; - 6; - 4; - 2} \right\}$ thì T nhận giá trị nguyên.

a) Hàm số của $y$ theo $x$ là$y = 96\,000 - 5\,000\,.\,x$.

b) Thay $x = 3$ vào $y = 96\,000 - 5\,000\,.\,x$, ta có $y = 96\,000 - 5\,000\,.\,3 = 81\,000$ (đồng).

c) Thay $x = 21$ vào $y = 96\,000 - 5\,000\,.\,x$, ta có$y = 96\,000 - 5\,000\,.\,21 = - 9000 < 0$.

Vậy sau khi mua $21$ quyển thì số tiền bạn Mai không có đủ để trả tiền.

a) Tứ giác AMND có:

$\widehat A = \widehat D\, = 90^\circ$(vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật)

$\widehat N\, = 90^\circ$ (MN vuông góc với CD)

Suy ra tứ giác AMDN là hình chữ nhật.

Tứ giác ADBK có hai đường chéo AB, DK cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường nên $ADBK$ là hình bình hành.

c) Vì$ADBK$ là hình bình hành nên $AD = BK.$

Mà $AD = BC$(hai cạnh đối của hình chữ nhật) nên $BK = BC.$

Tứ giác ADBK là hình bình hành nên AD song song với BK.

Tứ giác ADCB là hình chữ nhật nên AD song song với BC.

Suy ra 3 điểm C, B, K thẳng hàng.

Tam giác KAC có AB là đường cao và đồng thời là đường trung tuyến nên tam giác KAC cân tại A

${a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc$

${a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0$

${\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) + {c^3} - 3abc = 0$

$\begin{array}{l}\left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - c\left( {a + b} \right) + {c^2}} \right]\\ - 3ab\left( {a + b + c} \right) = 0\end{array}$

$\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc} \right) = 0$

${a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc = 0{\rm{ }}\left( {a + b + c \ne 0} \right)$

${a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + ac + bc$

$2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = 2\left( {ab + ac + bc} \right)$

$3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = {\left( {a + b + c} \right)^2}$

$\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} = \frac{1}{3}{\rm{ }}\left( {a + b + c \ne 0} \right)$

Vậy $N = \frac{1}{3}$.

a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( { - 3;0} \right)$ nên thay $x = - 3;\,\,y = 0$ vào hàm số, ta được:

$\begin{array}{l}0 = (2m - 1).( - 3) + 3\\ - 6m + 3 + 3 = 0\\ - 6m = - 6\\m = 1\,\end{array}$

Với $m = 1\,$(TMĐK). Vậy $m = 1\,$.

b) Với $m = 1\,$(TMĐK), hàm số có dạng $y = - x + 3$

HS vẽ đồ thị hàm số.

c) Hoành độ giao điểm của (d) và đường thẳng $y = 2x - 5$ là:

$(2m - 1)x + 3 = 2x - 5$ (1)

Vì 2 đường thẳng cắt nhau tại điểm hoành độ bằng $3$ nên thay $x = 3$ và (1), ta được:

$\begin{array}{l}(2m - 1).3 + 3 = 2.3 - 5\\m = \frac{1}{6}\end{array}$

Vậy $m = \frac{1}{6}$.

d) Để $\left( d \right)$ song song với đường thẳng $y = 4x - 7$ thì

$2m - 1 = 4$ và $3 \ne - 7$

$m = \frac{5}{2}$(TMĐK)

Vậy $m = \frac{5}{2}$.

a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm $M(2;\,1)$ nên thay $x = 2;\,\,y = 1$ vào hàm số, ta được:

$\begin{array}{l}1 = \left( {1 - m} \right)2 + m - 1\\2 - 2m + m - 1 = 1\\m = 0\end{array}$

Với $m = 0$(TMĐK). Vậy $m = 0$.

Với $m = 0$(TMĐK), hàm số có dạng $y = x - 1$

HS vẽ đồ thị hàm số.

b) Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $- 3$ nên thay $x = 0;\,\,y = - 3$ vào hàm số, ta được:

$- 3 = \left( {1 - m} \right).0 + m - 1$

$- 3 = m - 1$

$m = - 2$(TMĐK)

Vậy $m = - 2$.

c) Gọi $I({x_0};\,{y_0})$ là điểm cố định mà hàm số đi qua với mọi m.

Khi đó ${y_0} = \left( {1 - m} \right){x_0} + m - 1$ với mọi $m$ hay $m\left( {{x_0} - 1} \right) + {y_0} - {x_0} + 1 = 0$ với mọi $m$.

Suy ra ${x_0} - 1 = 0$ và ${y_0} - {x_0} + 1 = 0$.

Suy ra ${x_0} = 1;$${y_0} = 0.$

Vậy điểm cố định mà hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m là $I(1;\,0)$.

d) Bảng giá trị hàm số $y = \left( {1 - m} \right)x + m - 1$

Đồ thị hàm số $y = \left( {1 - m} \right)x + m - 1$ lần lượt cắt hai trục tọa độ $Ox;Oy$ tại $A\left( {1;0} \right)$ và $B\left( {0;m - 1} \right)$.

Ta có $OA = \left| 1 \right| = 1;\,OB = \left| {m - 1} \right|$

Vì $\left( d \right)$ cùng các trục tọa độ $Ox;Oy$ tạo thành một tam giác có diện tích bằng $2$

$\begin{array}{l}\quad {S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB\\\frac{1}{2}.1.\left| {m - 1} \right| = 2\\\left| {m - 1} \right| = 4\end{array}$

$m - 1 = 4$ hoặc $m - 1 = - 4$

$m = 5$ hoặc $m = - 3$ (thỏa mãn điều kiện $m \ne - 1$)

Vậy $\left( d \right)$ cùng các trục tọa độ $Ox\,;\,\,Oy$ tạo thành một tam giác có diện tích bằng $2$$m = 5$ hoặc $m = - 3$.