Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Vạn Xuân (Hoài Đức-Hà Nội) có đáp án (đề lẻ)

Ta có: $y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 2$.

$\Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

Chọn đáp án D.

Trên đoạn $\left[ { - 5; - 1} \right]$ ta có hàm số đã cho liên tục và có

$y{\rm{'}} = 3{x^2} + 6x \Rightarrow 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{x = - 2}\end{array}} \right. \Rightarrow x = - 2 \in \left[ { - 5; - 1} \right]$;

$y\left( { - 5} \right) = - 40;y\left( { - 2} \right) = 14;y\left( { - 1} \right) = 12$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\left[ { - 5; - 1} \right]$ bằng 14.

Chọn đáp án D.

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 2x}} = 1$;

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{x - 2}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x + 1}}{{x - 2}} = - 1$.

Tương tự do $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = 1$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = - 1$.

Vậy đường thẳng $y = x - 1$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Chọn đáp án D.

Ta thấy đây là hàm số bậc ba và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = - \infty$ nên hệ số $a < 0$.

Ta có $f\left( 0 \right) = 1$ nên hàm số cần tìm là $y = - {x^3} + 3{x^2} + 1$.

Chọn đáp án D.

Vì $M$ là trung điểm của $BC \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}$.

Mặt khác $\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}$

$= \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\vec a + \frac{1}{2}\vec b - \vec c = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b - 2\vec c} \right)$

Chọn đáp án A.

Xét $m = n = p = 0$ ta luôn có $m + n + p = 0$ và $m\vec a + n\vec b + p\vec c = \vec 0$ nhưng không thể suy ra được $\vec a,\vec b,\vec c$ đồng phẳng.

Xét $m + n + p \ne 0$ thì chắc chắn có một trong ba số $m,n,p$ khác $0$.

Giả sử $m \ne 0 \Rightarrow m\vec a + n\vec b + p\vec c = \vec 0 \Leftrightarrow \vec a = - \frac{n}{m}\vec b - \frac{p}{m}\vec c \Rightarrow \vec a,\vec b,\vec c$ đồng phẳng.

Chọn đáp án B.

Ta có ${\left( {\vec a - \vec b} \right)^2} = {\left| {\vec a} \right|^2} + {\left| {\vec b} \right|^2} - 2\vec a.\vec b \Rightarrow \vec a.\vec b = \frac{9}{2}$. Do đó: ${\rm{cos}}\alpha = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|}} = \frac{3}{8}$.

Chọn đáp án A.

Ta có: $\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} .\left( {\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} } \right) = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} = SA.SC.{\rm{cos}}\widehat {ASC} - SA.SB.{\rm{cos}}\widehat {ASB} = 0$$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 90^\circ$.

Chọn đáp án B.

Gọi $Q\left( {x;y;z} \right)$ khi đó $\overrightarrow {MN} = \left( { - 2; - 3;0} \right);\overrightarrow {QP} = \left( { - x; - y;4 - z} \right)$.

Tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - x = - 2}\\{ - y = - 3}\\{4 - z = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{y = 3}\\{z = 4}\end{array}} \right.$. Vậy $Q\left( {2;3;4} \right)$.

Chọn đáp án C.

Tần số tích lũy của các nhóm lần lượt là $c{f_1} = 3,c{f_2} = 9,c{f_3} = 28,c{f_4} = 51,c{f_5} = 60$.

Ta có: $\frac{n}{4} = \frac{{60}}{4} = 15$ mà $9 < 15 < 28$ suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 15. Xét nhóm 3 là nhóm $\left[ {60;70} \right)$ có $s = 60,h = 10,{n_3} = 19$ và nhóm 2 là nhóm $\left[ {50;60} \right)$ có $c{f_2} = 9$.

Ta có tứ phân vị thứ nhất là: ${Q_1} = s + \left( {\frac{{15 - c{f_2}}}{{{n_3}}}} \right).h = 60 + \left( {\frac{{15 - 9}}{{19}}} \right).10 = \frac{{1200}}{{19}}$.

Ta có: $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3 \cdot 60}}{4} = 45$ mà $28 < 45 < 51$ suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 45. Xét nhóm 4 là nhóm $\left[ {70;80} \right)$ có $t = 70,l = 10,{n_4} = 23$ và nhóm 3 là nhóm $\left[ {60;70} \right)$ có $c{f_3} = 28$.

Ta có tứ phân vị thứ ba là: ${Q_3} = t + \left( {\frac{{45 - c{f_3}}}{{{n_4}}}} \right).l = 70 + \left( {\frac{{45 - 28}}{{23}}} \right).10 = \frac{{1780}}{{23}}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ${Q_3} - {Q_1} = \frac{{1780}}{{23}} - \frac{{1200}}{{19}} \approx 14{,}23$.

Chọn đáp án C.

Số trung bình cộng: $\bar x = \frac{{3 \cdot 2{,}85 + 6 \cdot 3{,}15 + 5 \cdot 3{,}45 + 4 \cdot 3{,}75 + 2 \cdot 4{,}05}}{{20}}$$= \frac{{67{,}8}}{{20}} = 3{,}39$.

Phương sai cho mẫu số liệu ghép nhóm:

${s^2} = \frac{1}{{20}}\left( {3 \cdot 2,{{85}^2} + 6 \cdot 3,{{15}^2} + 5 \cdot 3,{{45}^2} + 4 \cdot 3,{{75}^2} + 2 \cdot 4,{{05}^2}} \right) - 3,{39^2}$$= 0{,}1314$.

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: $s = \sqrt {0{,}1314} \approx 0{,}3625$.

Giá trị này gần nhất với 0,36.

Chọn đáp án D.

Ta có khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là: $11 - 6 = 5$.

Chọn đáp án A.

a) Sai. Do $B$ nằm trên trục $Oz$ nên $B\left( {0;0;2} \right)$.

b) Đúng. Điểm $N$ đối xứng với $A$ qua mặt phẳng tọa độ $\left( {Oxy} \right)$ có tọa độ là $N\left( {2; - 2; - 1} \right)$.

c) Đúng. Ta có $A\left( {2; - 2;1} \right)$ suy ra $\overrightarrow {OA} = 2\vec i - 2\vec j + \vec k$.

d) Đúng. Vì $N\left( {2; - 2; - 1} \right)$ đối xứng với $A$ qua mặt phẳng tọa độ $\left( {Oxy} \right) \Rightarrow AN = 2$.

Gọi $H$ là chân đường cao của tam giác ứng với cạnh $AN \Rightarrow H\left( {2; - 2;0} \right) \Rightarrow OH = 2\sqrt 2$.

$\Rightarrow {S_{\Delta OAN}} = \frac{{OH \cdot AN}}{2} = 2\sqrt 2$.

Cỡ của mẫu số liệu là: $n = 15 + 10 + 5 + 2 = 32$.

a) Đúng. Giá trị đại diện của nhóm thứ I, II, III, IV theo chiều từ trái sang phải lần lượt là:

${x_1} = \frac{{0 + 10}}{2} = 5,{x_2} = \frac{{10 + 20}}{2} = 15,{x_3} = \frac{{20 + 30}}{2} = 25,{x_4} = \frac{{30 + 40}}{2} = 35$.

b) Sai. Thời gian trung bình dùng Facebook của mỗi bạn trong lớp 12C1 là:

$\bar x = \frac{1}{{32}}\left( {15.5 + 10.15 + 5.25 + 2.35} \right) = 13{,}125$.

c) Đúng. Phương sai của mẫu số liệu trên là

${s^2} = \frac{1}{{32}}\left[ {15.{{\left( 5 \right)}^2} + 10.{{\left( {15} \right)}^2} + 5.{{\left( {25} \right)}^2} + 2.{{\left( {35} \right)}^2}} \right] - {\left( {13{,}125} \right)^2} \approx 251$.

d) Sai. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: $s = \sqrt {{s^2}} \approx \sqrt {251} \approx 15{,}8$.

Trả lời: 52.

Xét hàm số: $f\left( x \right) = TR - TC = - 2{x^2} + 1312x - \left( {{x^3} - 77{x^2} + 1000x + 40000} \right)$.

$f\left( x \right) = - {x^3} + 75{x^2} + 312x - 40000$.

TXĐ: $D = \left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có $f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 150x + 312 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 52\left( N \right)}\\{x = - 2\left( L \right)}\end{array}} \right.$.

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt giá trị cực đại tại $x = 52$.

Vậy lợi nhuận của công ty đạt cực đại khi số sản phẩm $x = 52$.

Trả lời: 1,8.

Ta có tam giác $IA'M$ đồng dạng với tam giác $INB'$ nên suy ra: $\frac{{IA'}}{{IN}} = \frac{{A'M}}{{B'N}} = \frac{{\frac{1}{2}A'D'}}{{\frac{1}{3}A'D'}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \overrightarrow {A'I} = \frac{3}{5}\overrightarrow {A'N}$.

Ta có $\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'I} = \overrightarrow {AA'} + \frac{3}{5}\overrightarrow {A'N} = \overrightarrow {AA'} + \frac{3}{5}\left( {\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {B'N} } \right) = \overrightarrow {AA'} + \frac{3}{5}\left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} } \right)$$= \overrightarrow {AA'} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AD}$.

Suy ra $a + b + c = \frac{9}{5} = 1{,}8$.

Trả lời: 5,02.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó ta có điểm $A\left( {4;0;3} \right)$ và điểm $B\left( {0;3;\frac{5}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 4;3; - \frac{1}{2}} \right)$.

Do đó độ dài đoạn thẳng $AB \approx 5{,}02$.

Trả lời: 3,03.

Cỡ mẫu là $n = 45 + 34 + 23 + 18 + 5 = 125$.

Nhóm chứa tứ phân vị thứ hai là nhóm $\left[ {2;4} \right)$.

Vậy tứ phân vị thứ hai là ${Q_2} = 2 + \left[ {\frac{{\frac{{125}}{2} - 45}}{{34}}} \right].2 \approx 3{,}03$.

Chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ. Khi đó, điểm góc $M$ có tọa độ $M\left( { - 2{,}6;m} \right)$.

Tọa độ điểm $B$ là $B\left( { - a;0} \right)$ khi đó $A\left( {0;\sqrt {25 - {a^2}} } \right)$.

Phương trình đường thẳng $AB$ là $AB:\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - 1 = 0$.

Do $CD{\rm{//}}AB$ nên phương trình đường thẳng $CD$ là $CD:\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - T = 0$.

Mà khoảng cách giữa $AB$ và $CD$ bằng $1{,}9{\rm{m}}$ nên

$d\left( {AB,CD} \right) = \frac{{\left| {T - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt {25 - {a^2}} }}} \right)}^2}} }} = 1{,}9 \Rightarrow T = 1 + \frac{{9{,}5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }}$.

Điều kiện để ô tô đi qua được là $M,O$ nằm khác phía đối với bờ là đường thẳng $CD$.

Suy ra: $\frac{{ - 2{,}6}}{{ - a}} + \frac{m}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - 1 - \frac{{9{,}5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }} \ge 0$

$\Leftrightarrow m \ge \sqrt {25 - {a^2}} + \frac{{9{,}5 - 2{,}6\sqrt {25 - {a^2}} }}{a}$ đúng với mọi $a \in \left( {0;5} \right]$.

Xét hàm số: $f\left( a \right) = \sqrt {25 - {a^2}} + \frac{{9{,}5}}{a} - \frac{{2{,}6\sqrt {25 - {a^2}} }}{a}$ trên nửa khoảng $\left( {0;5} \right]$ ta có:

$f'\left( a \right) = - \frac{a}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} + \frac{{9{,}5}}{{{a^2}}} + \frac{{65}}{{{a^2}\sqrt {25 - {a^2}} }} = \frac{{65 - 9{,}5\sqrt {25 - {a^2}} - {a^3}}}{{{a^2}.\sqrt {25 - {a^2}} }}$$\Rightarrow f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = 3 \in \left( {0;5} \right)$.

BBT:

Do đó $m \ge f\left( a \right),\forall a \in \left( {0;5} \right] \Leftrightarrow m \ge {\rm{ma}}{{\rm{x}}_{\left( {0;5} \right]}}f\left( a \right) \Leftrightarrow m \ge \frac{{37}}{{10}} = 3{,}7$.

Vậy $x = 3{,}7$ là giá trị cần tìm.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ, gốc đặt tại điểm xuất phát, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ là mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía Bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây, trục $Oz$ hướng thẳng lên trời.

Chiếc Flycam thứ nhất có tọa độ $A\left( {100;200;50} \right)$;

Chiếc Flycam thứ hai có tọa độ $B\left( { - 300; - 200;100} \right)$.

Chiếc Flycam thứ ba có tọa độ $C\left( {100; - 150;50} \right)$.

Hai chiếc Flycam thứ nhất và thứ hai tạo với chiếc thứ ba một góc bằng $\alpha$. Nên $\widehat {ACB} = \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \alpha$.

$\overrightarrow {CA} = \left( {0;350;0} \right);\overrightarrow {CB} = \left( { - 400; - 50;50} \right)$.

Ta có ${\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} }}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|}} = \frac{{0.\left( { - 400} \right) + 350.\left( { - 50} \right) + 0.50}}{{\sqrt {{0^2} + {{350}^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - 400} \right)}^2} + {{\left( { - 50} \right)}^2} + {{50}^2}} }}$.

Vậy $\alpha = \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) \approx 97{,}1^\circ$.

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm $\left[ {10;12} \right)$ và nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm $\left[ {14;16} \right)$.

Ta có ${Q_1} = 10 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 4}}{6}.2 = 10{,}75$ và ${Q_3} = 14 + \frac{{\frac{{25.3}}{4} - 4 - 6 - 8}}{4}.2 = 14{,}375$.

Do đó ${\Delta _Q} = 14{,}375 - 10{,}75 = 3{,}625 \approx 3{,}6$.