Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Phùng Khắc Khoan (Thạch Thất-Hà Nội) có đáp án (mã đề 123)

Xét hàm số ở đáp án B: $y = {x^3} - {x^2} + 6x - 1$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Đạo hàm: $y' = 3{x^2} - 2x + 6$.

Tam thức bậc hai $y'$ có ${\rm{\Delta '}} = {\left( { - 1} \right)^2} - 3 \cdot 6 = - 17 < 0$ và hệ số $a = 3 > 0$.

Do đó, $y' > 0,\forall x \in \mathbb{R}$, suy ra hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Chọn B.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Đạo hàm: $y' = \frac{{\left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) - 2 \cdot 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1$.

Vì $y' < 0$ trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$ nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.

Chọn B.

Đạo hàm: $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6$.

Cho $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2$. Vì xét trên $\left[ { - 1;4} \right]$, ta nhận nghiệm $x = \sqrt 2$.

Tính các giá trị: $f\left( { - 1} \right) = 5$, $f\left( 4 \right) = 40$, $f\left( {\sqrt 2 } \right) = - 4\sqrt 2$.

So sánh các giá trị trên, ta được giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- 4\sqrt 2$.

Chọn A.

Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$, điểm cao nhất của đồ thị là $\left( { - 1;2} \right)$ ứng với giá trị lớn nhất là $M = 2$.

Điểm thấp nhất của đồ thị là $\left( {2; - 4} \right)$ ứng với giá trị nhỏ nhất $m = - 4$.

Vậy tổng $M + m = 2 + \left( { - 4} \right) = - 2$.

Chọn B.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x + 2}} = 0$.

Tương tự: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 4}} = 0$.

Do đó, đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng $y = 0$.

Chọn B.

Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị có tiệm cận đứng là $x = 2$ và tiệm cận ngang là $y = 2$.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nên đạo hàm phải mang dấu âm ($y' < 0$).

Xét hàm số ở đáp án C: $y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}$ có $y' = \frac{{2 \cdot \left( { - 2} \right) - 1 \cdot 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 2$, thỏa mãn hoàn toàn bảng biến thiên.

Chọn C.

Đạo hàm: $y' = 3{x^2} - 6x$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

Lập bảng xét dấu đạo hàm, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 2$.

Thay vào hàm số ban đầu: $y\left( 2 \right) = {2^3} - 3 \cdot {2^2} + 2 = - 2$.

Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $\left( {2; - 2} \right)$.

Chọn B.

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $\left( { - 1;2} \right)$ và cực tiểu tại $\left( {1; - 2} \right)$, đồ thị đi qua gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$ và nét cuối đi lên vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty$.

Quan sát đồ thị hình I, đồ thị này đi qua đầy đủ các điểm cực trị nêu trên và có hình dáng phù hợp với đồ thị hàm bậc ba hệ số $a > 0$.

Chọn A.

Tọa độ của vectơ $\vec a$ tương ứng với các hệ số đứng trước các vectơ đơn vị $\vec i,\vec j,\vec k$.

Do $\vec a = - 1\vec i + 2\vec j - 3\vec k$ nên $\vec a = \left( { - 1;2; - 3} \right)$.

Chọn D.

Ta có $2\vec b = \left( { - 4;2;8} \right)$.

Khi đó: $\vec u = \vec a - 2\vec b = \left( {1 - \left( { - 4} \right);1 - 2; - 2 - 8} \right) = \left( {5; - 1; - 10} \right)$.

Chọn A.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng giá trị mút phải của nhóm cuối cùng trừ đi giá trị mút trái của nhóm đầu tiên.

Giá trị mút phải nhóm cuối cùng là $65$, giá trị mút trái nhóm đầu tiên là $40$.

Khoảng biến thiên $R = 65 - 40 = 25$.

Chọn A.

Độ lệch chuẩn $s$ bằng căn bậc hai số học của phương sai ${s^2}$.

Ta có $s = \sqrt {25} = 5$.

Chọn A.

a) ĐÚNG. Điều kiện xác định là $x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$ nên tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

b) ĐÚNG. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y = \infty \Rightarrow x = 1$ là TCĐ; $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 2 \Rightarrow y = 2$ là TCN.

c) SAI. Đạo hàm $y' = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1$, hàm số bậc nhất trên bậc nhất không bao giờ có cực trị.

d) SAI. Các đường tiệm cận tạo với 2 trục tọa độ một hình chữ nhật giới hạn bởi các đoạn từ gốc $O\left( {0;0} \right)$ đến $x = 1$ và $y = 2$. Diện tích hình chữ nhật là $S = 1 \cdot 2 = 2$.

a) ĐÚNG. Do $O$ là tâm hình vuông nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$, theo tính chất trung điểm ta có $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \vec 0$ và $\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \vec 0$.

b) SAI. Ta có $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = \left( {\overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OA} } \right) + \left( {\overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OD} } \right) = 4\overrightarrow {SO} + \vec 0 = 4\overrightarrow {SO}$.

Do đó biểu thức phải bằng $4\overrightarrow {SO}$.

c) ĐÚNG. Cạnh hình vuông bằng $4 \Rightarrow$ Đường chéo $AC = 4\sqrt 2 \Rightarrow OA = 2\sqrt 2$. Vì $A$ thuộc tia $Ox$ nên $A\left( {2\sqrt 2 ;0;0} \right)$.

d) ĐÚNG. Vì $B$ nằm trên tia $Oy$ nên $B\left( {0;2\sqrt 2 ;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 ;0} \right)$. Chiều cao $SO = 5$, điểm $S$ thuộc tia $Oz$ nên $S\left( {0;0;5} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OS} = \left( {0;0;5} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {OS} = \left( {0;0;10} \right)$. Suy ra $\vec u = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {OS} = \left( { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 ;10} \right)$. Do đó $a = - 2\sqrt 2 ,b = 2\sqrt 2 ,c = 10 \Rightarrow a + b + c = 10$.

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$. Ta có $y = x + 3 + \frac{4}{{x + 1}} \Rightarrow y' = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$.

Cho $y' = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = - 3$.

Giá trị cực trị tương ứng: $y\left( 1 \right) = 6$ và $y\left( { - 3} \right) = - 2$. Tổng cần tìm là $6 + \left( { - 2} \right) = 4$.

Đáp số: 4.

Ta phân tích vectơ $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB}$.

Khi đó: $\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} \cdot \left( {\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} } \right) = \overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SB} = SA \cdot SC \cdot \cos \widehat {CSA} - SA \cdot SB \cdot \cos \widehat {ASB}$.

Do $SB = SC$ và $\widehat {CSA} = \widehat {ASB}$ nên hai số hạng bằng nhau, hiệu số bằng $0$.

Đáp số: 0.

Vectơ dịch chuyển trong 10 phút đầu là $\overrightarrow {AB} = \left( {140;50;2} \right)$. Trong 5 phút tiếp theo, vì vận tốc và hướng không đổi nên máy bay dịch chuyển một vectơ $\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {70;25;1} \right)$.

Toạ độ điểm $C$ là: $C\left( {940 + 70;550 + 25;9 + 1} \right) = C\left( {1010;575;10} \right)$.

Tổng $x + y + z = 1010 + 575 + 10 = 1595$.

Đáp số: 1595.

Vị trí của tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ trong mẫu số liệu là $\frac{N}{4} = \frac{{20}}{4} = 5$.

Tần số tích lũy cộng dồn các nhóm lần lượt là: Nhóm 1 bằng $1$, nhóm 2 bằng $1 + 3 = 4$, nhóm 3 bằng $4 + 8 = 12$. Do vị trí số 5 nằm trong khoảng tích lũy từ 4 đến 12 nên tứ phân vị thứ nhất nằm ở nhóm 3 là nhóm $\left[ {16;17} \right)$.

Suy ra $a = 16,b = 17 \Rightarrow a + b = 33$.

Đáp số: 33.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho gốc tọa độ tại $O$, tia $OB$ trùng với tia $Ox$ và tia $OA$ trùng với tia $Oy$.

Khi đó các điểm có tọa độ: $A\left( {0;40} \right)$, $B\left( {20;0} \right)$ và tâm hình tròn vườn là $I\left( {40;30} \right)$.

Parabol có đỉnh $A\left( {0;40} \right)$ và trục đối xứng là $Oy$ nên có phương trình dạng: $y = a{x^2} + 40$. Vì parabol đi qua điểm $B\left( {20;0} \right)$ nên: $0 = a \cdot {20^2} + 40 \Rightarrow 400a = - 40 \Rightarrow a = - 0{,}1$.

Do đó, phương trình cung parabol $AB$ là: $y = - 0{,}1{x^2} + 40$ với $x \in \left[ {0;20} \right]$.

Gọi $M\left( {x;y} \right)$ là một điểm bất kỳ nằm trên cung $AB$. Khoảng cách từ tâm $I$ tới điểm $M$ tuân theo hệ thức:

$I{M^2} = {\left( {x - 40} \right)^2} + {\left( {y - 30} \right)^2} = {\left( {x - 40} \right)^2} + {\left( { - 0{,}1{x^2} + 40 - 30} \right)^2}$$= 0{,}01{x^4} - {x^2} - 80x + 1700$.

Xét hàm số $f\left( x \right) = 0{,}01{x^4} - {x^2} - 80x + 1700$ trên đoạn $\left[ {0;20} \right]$. Đạo hàm: $f'\left( x \right) = 0{,}04{x^3} - 2x - 80$.

Giải phương trình $f'\left( x \right) = 0$ trên $\left[ {0;20} \right]$ thu được nghiệm $x \approx 13{,}92$.

Ta có bảng biến thiên:

Thay vào tính khoảng cách ta được $I{M_{min}} \approx 27{,}71{\rm{\;m}}$.

Khoảng cách ngắn nhất từ bờ $AB$ đến rìa khu vườn hình tròn là: $d = I{M_{min}} - R = 27{,}71 - 15 = 12{,}71{\rm{\;m\'e t}}$.

Áp dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng trong không gian $Oxyz$:

${d_1} = AB = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {7 - 1} \right)}^2} + {{\left( {9 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {16 + 36 + 64} = \sqrt {116} = 2\sqrt {29}$

${d_2} = BC = \sqrt {{{\left( {9 - 5} \right)}^2} + {{\left( {11 - 7} \right)}^2} + {{\left( {4 - 9} \right)}^2}} = \sqrt {16 + 16 + 25} = \sqrt {57}$

${d_3} = CA = \sqrt {{{\left( {1 - 9} \right)}^2} + {{\left( {1 - 11} \right)}^2} + {{\left( {1 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {64 + 100 + 9} = \sqrt {173}$

Tổng khoảng cách giữa các cặp drone: ${d_1} + {d_2} + {d_3} = \sqrt {116} + \sqrt {57} + \sqrt {173} \approx 31{,}47$.

Tổng tần số của mẫu số liệu là $N = 13 + 45 + 24 + 12 + 6 = 100$.

Xác định các giá trị đại diện của từng nhóm lần lượt là: ${x_1} = 19{,}25$; ${x_2} = 19{,}75$; ${x_3} = 20{,}25$; ${x_4} = 20{,}75$; ${x_5} = 21{,}25$.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm:

$\bar x = \frac{{13 \cdot 19{,}25 + 45 \cdot 19{,}75 + 24 \cdot 20{,}25 + 12 \cdot 20{,}75 + 6 \cdot 21{,}25}}{{100}} = 20{,}015{\rm{\;m}}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:

${s^2} = \frac{1}{{100}}\left[ {13 \cdot {{\left( {19{,}25} \right)}^2} + 45 \cdot {{\left( {19{,}75} \right)}^2} + 24 \cdot {{\left( {20{,}25} \right)}^2} + 12 \cdot {{\left( {20{,}75} \right)}^2} + 6 \cdot {{\left( {21{,}25} \right)}^2}} \right] - {\left( {20{,}015} \right)^2}$$\approx 0{,}28$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm: $s = \sqrt {{s^2}} \approx 0{,}53{\rm{\;m}}$.